YALE 圆锥曲线中的存在性问题


圆锥曲线中的存在性问题
(2010 湖北高考)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都
FB <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 有 FA ·

1

(2012 湖北高考)设 A 是单位圆 x2 +y 2 =1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是 直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 DM =m DA ? m>0,且m ? 1? .当点 A 在圆上运动 时,记点 M 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求焦点坐标; (2)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影 为点 N,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H ,是否存在 m ,使得对任意的 k >0 ,都有 PQ ? PH ? 若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。

2

x2 y2 ? 1交于 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 两不同点,且 (2011 山东高考)已知动直线 l 与椭圆 C : ? 3 2
?OPQ 的面积 S?OPQ ?

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(Ⅰ )证明: x12 ? x22和y12 ? y22 均为定值; (Ⅱ )设线段 PQ 的中点为 M ,求 OM PQ 的最大值; (Ⅲ ) 椭圆 C 上是否存在三点 D , E , G , 使得 S ?ODE ? S ?OEG ? S ?ODG ? 的形状;若不存在,请说明理由.
6 ?若存在, 判断 ?DEG 2

3

(2010 北京高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是

1 动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? . 3
(Ⅰ )求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ )设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N, 问: 是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

4

(2009 全国高考) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 过右焦点 F 的直线 l 与 C 2 3 a b
2 . 2

相交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (I)求 a , b 的值;

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。

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(2012 江西高考)已知三点 O(0,0) ,A(-2,1) ,B(2,1) ,曲线 C 上任意一点 M(x,y) 满足 MA ? MB ? OM ? OA ? OB ? 2 (1) 求曲线 C 的方程; (2) 动点 Q(x0,y0) (-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存 在定点 P(0,t) (t<0) ,使得 l 与 PA,PB 都相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的 面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。

?

?

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