江苏大联考2015届高三第二次联考数学(文)试题


江苏大联考
2015 届高三第二次联考·数学试卷
考生注意:
1.本试卷共 160 分.考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上. 4.交卷时,可根据需要在加注“ ”标志的夹缝处进行裁剪. 5.本试卷主要考试内容:第 1 次联考内容+三角函数与解三角形+平面向量.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设集合 M={x|- <x< },N={x|x2≤x},则 M∩N= 2.函数 y=ln x-2x 在点(1,2)处的切线方程为 3.已知 sin 2α=
1 2 3 sin 3 1 2 1 2

▲ ▲ ▲ . .

.

α,α∈(0,π),则 sin 2α=

4.设 a=(2,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ=



. ▲ ▲ . .

5.在正三角形 ABC 中,AB=3,D 是 BC 上一点,且BC=3BD,则AB·AD= -x + a,x < 2 , 6.设函数 f(x)= 1 的最小值为-1,则实数 a 的取值范围是 4x -3,x ≥ 2
1

7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的一部分图象如右图所示,如果 A>0,ω>0,|φ|<2,则 φ= ▲ . ▲ .

π

8.若四边形 ABCD 满足:AB+CD=0,(AB+DA)·AC=0,则该四边形的形状是
20

9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 atan B= 3 ,bsin A=4,则 a= ▲ . ▲ .
3π 4

10.已知非零向量 a,b 的夹角为 60°,且满足|a-2b|=2,则 a·b 的最大值为

11.若函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(x∈R,ω>0),又 f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为 ,则 函数 g(x)=f(x)-1 在[-2π,0]上零点的个数为 ▲
b

.
c

12.已知△ABC 各角的对应边分别为 a,b,c,且满足a+c+a+b≥ 1,则角 A 的取值范围是 ▲ .
2x2 ,函数 x+1

13.已知函数 f(x)=

g(x)=asin( x)-2a+2(a>0),若存在 x1∈[0,1],对任意 x2∈[0,1]都 ▲ . ▲ .

π 6

有 f(x1)=g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是

14.已知△ABC 的三边 a,b,c 和其面积 S 满足 S=c2-(a-b)2,则 tan C= 15.(本小题满分 14 分) 已知两个集合 A={x|m< 的必要不充分条件. (1)若 p 是真命题,求 A∩B; (2)若 p 且 q 为真命题,求 m 的值.
1-x },B={x|log 1 x>2},p:实数 x 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. m 为小于 5 的正整数,q:“x∈A”是“x∈B”

16.(本小题满分 14 分) 已知向量 m=( 3sin ωx,cos ωx),n=(cos ωx,-cos ωx)(ω>0),函数 f(x)=m·n 的最小正周期 为2 . (1)求 ω 的值; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足:b2=ac,且边 b 所对的角为 x,若关于 x 的方程 f(x)=k 有 两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. 17.(本小题满分 14 分) 已知在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,△ABC 的面积 S= 4 ,且 bc=1. (1)求 b2+c2 的最大值; (2)当 b2+c2 最大时,若 bsin(4-C)-csin(4-B)=a,求角 B 和 C. 18.(本小题满分 16 分) 在平行四边形 ABCD 中,E 是 DC 的中点,AE 交 BD 于点 M,|AB|=4,|AD|=2,AB,AD的夹角 为 . (1)若AM=λAC+μBD,求 λ+3μ 的值; (2)当点 P 在平行四边形 ABCD 的边 BC 和 CD 上运动时,求AP·AE的取值范围.
π 3 π π a2 π

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=cos(2x-3)+2sin(x-4)cos(x-4),x∈R. (1)若对任意 x∈[-12,2],都有 f(x)≥a 成立,求 a 的取值范围; (2)若先将 y=f(x)的图象上每个点纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,然后再向左平移 个单位得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)- 在区间[-2π,4π]内的所有零点之和. 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 φ(x)=x+1,a 为常数.
a 1 3 π 6 π π π π π

(1)若 a=2,求函数 f(x)=ln x+φ(x)的单调增区间; (2)若 g(x)=|ln x|+φ(x),对任意 x1,x2∈(0,2],且 x1≠x2,都有
g(x2 )-g(x1 ) <-1,求 x2 -x1

9

a 的取值范围.

2015 届高三第二次联考·数学试卷 参 考 答 案
1.[0, )
1 2

由已知得:N={x|0≤x≤1},所以 M∩N={x|0≤x< }.
1

1 2

2.x+y-3=0 y'= -2,y' x=1 =-1,所以切线方程为 y-2=-(x-1),化简为 x+y-3=0. x 3.
2 2 3

由已知得 2sin αcos α=

2 3 3 sin α,即 cos α= , 3 3

∵α∈(0,π),∴sin α= 4.5.
1 2

6 3 6 2 2 ,sin 2α=2× × = . 3 3 3 3 1 2 1 4 1 4 1 2

根据题意得- +2cos2θ=0,∴cos2θ= ,则 cos 2θ=2cos2θ-1=2× -1=- . 因为BC=3BD,所以BD= BC,
1 3 1 3 15 2 1 3

15 2

所以AB·AD=AB·(AB+BD)=AB 2 +AB· BC=32+ ×32cos 120°= . 6.[- ,+∞) 7.
π 6 1 2

当 x≥ 时,4x-3≥-1,∴当 x< 时,f(x)=-x+a≥-1,即- +a≥-1,得 a≥- .
5 12 π 6 2π π π =2,将( ,4)代入 y=2sin(2x+φ)+2 得 φ= . T 6 6

1 2

1 2

1 2

1 2

由图知 A=2,B=2.T=( π- )×4=π,则 ω=

8.菱形 ∵AB+CD=0,∴AB∥DC 且 AB=DC,即四边形 ABCD 是平行四边形, 又∵(AB+DA)·AC=0,∴BD·AC=0,即 BD⊥AC,∴四边形 ABCD 是菱形. 9.5
4 3

∵atan B= ,bsin A=4,∴
20 3

20 3

bsinA 3 sinBcosBsinA 3 4 = ,即 =cos B= ,则 tan B= , atanB 5 sinAsinB 5 3

∴ a= ?a=5. 10.1 ∵a,b 的夹角为 60°,且|a-2b|=2,∴a2+4b2-4a·b=|a|2+4|b|2-2|a|·|b|=4≥4|a|·|b|-2|a|·|b|=2|a|·|b|,即
1 2

|a|·|b|≤2,∴a·b= |a|·|b|≤1. 11.1 ∵|α-β|的最小值为
3π T 3π 2π 2 2 π ,∴ = ,则 T=3π,又∵ω>0,∴ω= = .令 g(x)=f(x)-1=2sin( x+ )-1=0,得 4 4 4 3π 3 3 3

2 π π 2 π 5π π 3π π x+ =2kπ+ 或 x+ =2kπ+ (k∈Z),即 x=3kπ- 或 x=3kπ+ (k∈Z).当且仅当 k=0 时,有 x=- 符合题意. 3 3 6 3 3 6 4 4 4

12.(0, ]

π 3

由已知得:b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),即 b2+c2-a2≥bc,将不等式两边同除以 2bc 得
1 2 π 3

b2 +c2 -a2 1 ≥ , 2bc 2

即 cos A≥ (0<A<π),所以 0<A≤ . 13.[ ,1]
π 6 2 3

因为 f(x)=
1 2

2x2 π π ,所以当 x1∈[0,1]时,f(x1)∈[0,1],因为 x2∈[0,1],所以 x2∈[0, ],又 a>0,所以 x+1 6 6 3 2

asin( x2)∈[0, a],所以 g(x2)∈[2-2a,2- a],因为若存在 x1∈[0,1],对任意 x2∈[0,1]都有 f(x1)=g(x2)成立,所以

2- 2 a ≤ 1, 2-2a ≥ 0,
14.
8 15

3

解得 a∈[ ,1].

2 3

S=c2-(a2+b2)+2ab=-2abcos C+2ab=2ab(1-cos C)= absin C,
C C 1

1 2

2sin2 2 1 2tan2 2× 4 8 1-cosC 1 C 1 = ,∴ = ,∴tan = ,tan C= C= 1 2 =15. sinC 4 2sinCcosC 4 2 4 2 1-tan 2 1-(4) 2 2

15.解:(1)由 p 为真命题,得 0<m<5,m∈N+, 则集合 A={x|m<
1-x 1 }={x|0<x< }, x m+1 1 4

又 B={x|log 1 x>2}={x|0<x< },
2

当 0<m<4,m∈N+时,B?A,所以 A∩B=B={x|0<x< }. 当 m=4 时,A?B,所以 A∩B=A={x|0<x< }. ....................................................................................... 6 分 (2)因为 p 且 q 为真命题,所以 p 为真命题,q 为真命题, 即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件, 所以集合 B 是集合 A 的真子集,所以
1 1 > 且 0<m<5,m∈N+,所以 m=1 或 m=2. .......................... 14 分 m+1 4 3 3 1+cos2ωx π sin 2ωx-cos2ωx= sin 2ωx=sin(2ωx- )2 2 2 6 1 5

1 4

16.解:(1)f(x)=m·n= 3sin ωxcos ωx-cos2ωx=

1 2π π ,∴T= = ,ω=2. ............................................................................................................................ 6 分 2 2ω 2

(2)由余弦定理得 cos x=
π 3

a2 +c2 -b2 a2 +c2 -ac 2ac-ac 1 = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2 π 6 1 2

∴0<x≤ ,由 f(x)=k 得 sin(4x- )=k+ , 由函数 y=sin(4x- )(0<x≤ )的图象知,方程 sin(4x- )=k+ 有两个不同的实数解等价于- <k+ <1,所以1<k< . ......................................................................................................................................... 14 分
1 2 π 6 π 3 π 6 1 2 1 2 1 2

17.解:(1)因为 cos A=

b2 +c2 -a2 a2 1 ,又因为面积 S= = bcsin A, 2bc 4 2

所以 a2=2bcsin A,b2+c2=2bccos A+2bcsin A,又因为 bc=1, 所以 b2+c2=2(cos A+sin A)=2 2sin(A+ ),当 A= 时 b2+c2 取得最大值 2 2. ................................. 6 分 (2)由 bsin( -C)-csin( -B)=a,根据正弦定理得 sin Bsin( -C)-sin Csin( -B)=sin A. ∴sin B(
2 2 2 2 2 cos C- sin C)-sin C( cos B- sin B)= ,即 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 2 2 2 2 2 π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π 4

∴sin(B-C)=1. ∵0<B,C< π,∴- π<B-C< π,∴B-C= , 又 A= ,∴B+C= π,解得 B= π,C= . .............................................................................................. 14 分
π 4 3 4 5 8 π 8 3 4 3 4 3 4 π 2

18.解:(1)如图所示,易得△ABM 与△EDM 相似,且
2 3 2 3 1 2 1 2

AM BM AB = = =2, ME MD DE

∴AM= AE,又AE=AD+DE=AD+ DC=AD+ AB, ∴AM= (AD+ AB)= AD+ AB,
1 2 2 3 1 3

AC=AD+AB,BD=AD-AB,代入AM=λAC+μBD,
得 AD+ AB=λ(AD+AB)+μ(AD-AB)=(λ+μ)AD+(λ-μ)AB,
2 3 1 3



λ+μ=3 λ-μ =
1 3

2

,解得 λ= ,μ= ,∴λ+3μ= +3× =1. ................................................................................ 6 分

1 2

1 6

1 2

1 6

(2)如图所示,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系. 则 A(0,0),B(4,0),C(5, 3),D(1, 3),E(3, 3). ∴AB=(4,0)=DC,BC=(1, 3)=AD,AE=(3, 3), ................................................................................. 8 分

①当点 P 位于边 BC 上时,设BP=mBC(0≤m≤1). 则AP=AB+BP=AB+mBC=(4,0)+m(1, 3)=(4+m, 3m). ∴AP·AE=(4+m, 3m)·(3, 3)=3(4+m)+3m=6m+12, ∵0≤m≤1,∴12≤6m+12≤18,∴AP·AE的取值范围[12,18]. ................................................................. 12 分 ②当点 P 位于边 CD 上时,设DP=nDC(0≤n≤1).

AP=AD+DP=AD+nDC=(1, 3)+n(4,0)=(1+4n, 3),
∴AP·AE=(1+4n, 3)·(3, 3)=3(1+4n)+3=12n+6. ∵0≤n≤1,∴6≤12n+6≤18.∴AP·AE的取值范围是[6,18]. 综上①②可知:AP·AE的取值范围是[6,18]. ................................................................................... 16 分 19.解:(1)f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )cos(x- ) =cos(2x- )+sin(2x- ) = cos 2x+ =
π 3 π 2 1 2 3 sin 2x-cos 2x 2 π 3 π 4 π 4

3 1 π sin 2x- cos 2x=sin(2x- ).......................................................................................................... 4 分 2 2 6 π π 12 2

若对任意 x∈[- , ],都有 f(x)≥a 成立,则只需 fmin(x)≥a 即可. ∵- ≤x≤ ,∴ - ≤2x- ≤
π 6 π 3 π 12 π 12 π 2 π 3 π 5π , 6 6 3 3 ,故 a≤- . ........................................................................ 8 分 2 2 1 3 1 3

∴当 2x- =- ,即 x=- 时,f(x)有最小值 1 3

(2)依题意可得 g(x)=sin x,由 g(x)- =0 得 sin x= ,由图可知,sin x= 在[-2π,4π]上有 6 个零 点:x1,x2,x3,x4,x5,x6.根据对称性有
x1 +x2 3π x3 +x4 π x5 +x6 5π =- , = , = , 2 2 2 2 2 2

从而所有零点和为 x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π. .................................................................................. 16 分

20.解:(1)由 a= 得 f(x)=ln x+ f'(x)= -

9 2

9 , 2(x+1)

1 9 2x2 -5x+2 (x-2)(2x-1) = = ,(x>0), x 2(x+1)2 2x(x+1)2 2x(x+1)2 1 2

令 f'(x)>0,得 x>2,或 0<x< , ∴函数 f(x)的单调增区间为(0, )和(2,+∞).......................................................................................... 6 分 (2)∵ ∴
g(x2 )-g(x1 ) g(x2 )-g(x1 ) <-1,∴ +1<0, x2 -x1 x2 -x1 1 2

g(x2 )+x2 -[g(x1 )+x1 ] <0. x2 -x1

设 h(x)=g(x)+x,依题意,h(x)在(0,2]上是减函数,所以 h'(x)≤0. ①当 1≤x≤2 时,h(x)=ln x+
a 1 a +x,h'(x)= +1, x+1 x (x+1)2

令 h'(x)≤0,得 a≥

(x+1)2 1 +(x+1)2=x2+3x+ +3 对 x∈[1,2]恒成立, x x 1 x

设 m(x)=x2+3x+ +3,则 m'(x)=2x+3- 2 , ∵1≤x≤2,∴m'(x)=2x+3- 2 >0, ∴m(x)在[1,2]上是增函数,m(x)的最大值为 m(2)= ,∴a≥ . ........................................................... 10 分 ②当 0<x≤1 时,h(x)=-ln x+
a 1 a +x,h'(x)=- +1, x+1 x (x+1)2 27 2 27 2 1 x

1 x

令 h' (x)≤0,得 a≥1 x

(x+1)2 1 +(x+1)2=x2+x- -1, x x 1 x

设 t(x)=x2+x- -1,则 t'(x)=2x+1+ 2 >0,∴t(x)在(0,1]上是增函数, ∴t(x)≤t(1)=0,∴a≥0. 综合①②,知 a≥ . ....................................................................................................................... 16 分
27 2


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