广东省实验中学2014-2015学年高二数学上学期9月月考试卷 理(含解析)


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广东省实验中学 2014-2015 学年高二上学期 9 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 2 2 1. (5 分)过椭圆 4x +2y =1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点,则 A、B 与椭圆的 另一焦点 F2 构成△ABF2,那么△ABF2 的周长是() A. 2 B. C. D. 1

2. (5 分)已知双曲线
2



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y=

x,它的一个

焦点在抛物线 y =48x 的准线上,则双曲线的方程为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1

D.



=1

3. (5 分)设圆 C 与圆 x +(y﹣3) =1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为() A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆

2

2

4. (5 分)双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为



则 C 的焦距等于() A. 2 B. 2
2

C. 4
2 2

D. 4

5. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切,则 p 的值为() A. B. 1 C. 2 D. 4

6. (5 分)设 F1,F2 是椭圆 则△MF1F2 的面积等于() A. B.

+

=1 的两个焦点,点 M 在椭圆上,若△MF1F2 是直角三角形,

C. 16

D.

或 16

7. (5 分)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足 离心率的取值范围是() A. (0,1) B. (0, ]

?

=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆

C. (0,



D. [

, 1)

1

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8. (5 分)如图,点 F 为椭圆

=1(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在一点 P,满

足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点,则该椭圆的离心率为()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)抛物线 的准线方程为.

10. (5 分)抛物线

的焦点与双曲线

的上焦点重合,则 m=.

11. (5 分)与双曲线

有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程为.

12. (5 分)双曲线 焦点的距离等于.



=1 上一点 P 到它的一个焦点 的距离等于 9,那么点 P 到另一个

13. (5 分)若命题 p:曲线



=1 为双曲线,命题 q:函数 f(x)=(4﹣a) 在 R

x

上是增函数,且 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则实数 a 的取值范围是. 14. (5 分)已知抛物线 y =4x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2,则|AB|的最大值为.
2

三、解答题(写出必要的解题过程) 2 2 15. (12 分)已知双曲线过点(3,﹣2) ,且与椭圆 4x +9y =36 有相同的焦点. (Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.

2

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16. (13 分)已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1(﹣2 ,0) 、F2(2 ,0) ,长轴长为 6, (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的长度.

17. (13 分) 双曲线 C 的中心在原点, 右焦点为

, 渐近线方程为



(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l:y=kx+1 与双曲线 C 交于 A、B 两点,问:当 k 为何值时,以 AB 为直径的圆 过原点.

18. (14 分)设椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,过原点 O 斜率为 1 的直线 l

与椭圆 C 相交于 M,N 两点,椭圆右焦点 F 到直线 l 的距离为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆上异于 M,N 外的一点,当直线 PM,PN 的斜率存在且不为零时,记直线 PM 的斜率为 k1,直线 PN 的斜率为 k2,试探究 k1?k2 是否为定值?若是,求出定值;若不是, 说明理由. 19. (14 分)已知 P、Q 是抛物线 C:y=x 上两动点,直线 l1、l2 分别是抛物线 C 在点 P、Q 处的切线,且 l1⊥l2,l1∩l2=M. (1)求点 M 的纵坐标; (2)直线 PQ 是否经过一定点?试证之; (3)求△PQM 的面积的最小值.
2

20. (14 分)已知向量 =(x,

y) , =(1,0) ,且( +

)?( ﹣

)=0.

(1)求点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)设曲线 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0,﹣1) ,当|AM|=|AN|时, 求实数 m 的 取值范围.

广东省实验中学 2014-2015 学年高二上学期 9 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 2 2 1. (5 分)过椭圆 4x +2y =1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点,则 A、B 与椭圆的 另一焦点 F2 构成△ABF2,那么△ABF2 的周长是() A. 2 B. C. D. 1 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题.

3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 把椭圆的方程化为标准方程,求出 a 的值,由△ABF2 的周长是 (|AF1|+|AF2|)+ (|BF1|+|BF2|)=2a+2a 求出结果. 解答: 解:椭圆 4x +2y =1 即
2 2



∴a=

,b= ,c= .

△ABF2 的周长是 (|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=2 , 故选 B. 点评: 本题考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用椭圆的定义是解题的 关键.

2. (5 分)已知双曲线
2



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y=

x,它的一个

焦点在抛物线 y =48x 的准线上,则双曲线的方程为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1

D.



=1

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线标准方程易得其准线方程 6,可得双曲线的左焦点,此时由双曲线的性质 2 2 2 a +b =c 可得 a、b 的一个方程;再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程得 a、b 的另一 个方程.那么只需解 a、b 的方程组,问题即可解决. 2 解答: 解:因为抛物线 y =48x 的准线方程为 x=﹣12, 则由题意知,点 F(﹣12,0)是双曲线的左焦点, 2 2 2 所以 a +b =c =144, 又双曲线的一条渐近线方程是 y= x, 所以 =
2


2

解得 a =36,b =108, 所以双曲线的方程为 ﹣ =1.

故选:A. 2 点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,确定 c 和 a 的值, 是解题的关键. 3. (5 分)设圆 C 与圆 x +(y﹣3) =1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为() A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆
2 2

4

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考点: 圆的切线方程;圆与圆的位置关系及其判定;抛物线的定义. 专题: 直线与圆. 分析: 由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系, 然后利用圆与直线相切可得圆 心到直线的距离与半径的关系,借助等量关系可得动点满足的条件,即可的动点的轨迹. 2 2 解答: 解:设 C 的坐标为(x,y) ,圆 C 的半径为 r,圆 x +(y﹣3) =1 的圆心为 A, 2 2 ∵圆 C 与圆 x +(y﹣3) =1 外切,与直线 y=0 相切∴|CA|=r+1,C 到直线 y=0 的距离 d=r ∴|CA|=d+1,即动点 C 定点 A 的距离等于到定直线 y=﹣1 的距离 由抛物线的定义知:C 的轨迹为抛物线. 故选 A 点评: 本题考查了圆的切线,两圆的位置关系及抛物线的定义,动点的轨迹的求法,是个 基础题.

4. (5 分)双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为



则 C 的焦距等于() A. 2 B. 2

C. 4

D. 4

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论. 解答: 解:∵: ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 2,

∴e=

,双曲线的渐近线方程为 y= ,

,不妨取 y=

,即 bx﹣ay=0,

则 c=2a,b=

∵焦点 F(c,0)到渐近线 bx﹣ay=0 的距离为 ∴d= ,







解得 c=2, 则焦距为 2c=4, 故选:C 点评: 本题主要考查是双曲线的基本运算, 利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公 式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础. 5. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切,则 p 的值为()
2 2 2

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. 1 C. 2 D. 4

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据抛物线的标准方程可知准线方程为 求得 p. 解答: 解:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为
2 2 2 2

,根据抛物线的准线与圆相切可知



因为抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切, 所以 ;

故选 C. 点评: 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.

6. (5 分)设 F1,F2 是椭圆 则△MF1F2 的面积等于() A. B.

+

=1 的两个焦点,点 M 在椭圆上,若△MF1F2 是直角三角形,

C. 16

D.

或 16

考点: 椭圆的应用;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 令|F1M|=m、|MF2|=n,由椭圆的定义可得 m+n=2a①,Rt△F1PF2 中,由勾股定理 可 2 2 得 n ﹣m =36②,由①②可得 m、n 的值,利用△F1PF2 的面积求得结果. 解答: 解:由椭圆的方程可得 a=5,b=4,c=3,令|F1M|=m、|MF2|=n, 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①,Rt△MF1F2 中, 2 2 由勾股定理可得 n ﹣m =36 ②, 由①②可得 m= ,n= , ?6? =

∴△MF1F2 的面积是

故选 A. 点评: 本题主要考查椭圆的定义及几何性质, 直角三角形相关结论, 基础题, 涉及椭圆“焦 点三角形”问题,通常要利用椭圆的定义. 7. (5 分)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足 离心率的取值范围是() A. (0,1) B. (0, ] C. (0, ) D. [ , 1) ? =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆

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考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: 由 ? =0 知 M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆.又 M 点总
2 2 2 2

在椭圆内部,∴c<b,c <b =a ﹣c .由此能够推导出椭圆离心率的取值范围. 解答: 解:设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a,b,c, ∵ ? =0,

∴M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆. 又 M 点总在椭圆内部, 2 2 2 2 ∴该圆内含于椭圆,即 c<b,c <b =a ﹣c . ∴e =
2

< ,∴0<e<



故选:C. 点 评: 本题考查椭圆的基本知识和基础内容,解题时要注意公式的选取,认真解答.

8. (5 分)如图,点 F 为椭圆

=1(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在一点 P,满

足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点,则该椭圆的离心率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 椭圆的定义;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设线段 PF 的中点为 M,另一个焦点 F′,利用 OM 是△FPF′的中位线,以及椭圆的 定义求出直角三角形 OMF 的三边之长,使用勾股定理求离心率. 解答: 解:设线段 PF 的中点为 M,另一个焦点 F′,由题意知,OM=b,又 OM 是△FPF′的 中位线, ∴OM= PF′=b,PF′=2b,由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b, 又 MF= P F= (2a﹣2b)=a﹣b,又 OF=c, 直角三角形 OMF 中,由勾股定理得: (a﹣b) +b =c ,又 a ﹣b =c , 可得 2a=3b,故有 4a =9b =9(a ﹣c ) ,由此可求得离心率 e= =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:B. 点评: 本题考查椭圆的定义,椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数 2a. 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)抛物线 的准线方程为 x=﹣1.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先把抛物线方程整理成标准方程,进而利用抛物线的性质求得准线方程. 2 解答: 解:整理抛物线方程得 y =4x,∴p=2 ∴准线方程为 x=﹣1 故答案为 x=﹣1 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题.

10. (5 分)抛物线

的焦点与双曲线

的上焦点重合,则 m=13.

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题. 分析: 先根据抛物线 的方程求出焦点坐标,得到双曲线的 c 值,再由双曲线

的上焦点与之重合求出 m 的值即可. 解答: 解:∵抛物线 它的焦点坐标为(0,4) , ∴双曲线 的上焦点坐标为: (0,4) ,
2 2 2

即 x =16y,∴p=8

2

故双曲线中的 c=4,且满足 c =a +b , 即有 =4,故 m=13, 故答案为:13. 点评: 本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题,同时双曲线、椭圆的 相应知 识也进行了综合性考查.

11. (5 分)与双曲线

有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程为



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考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 由于与双曲线 过点(2,2)即可求 解答: 解:设双曲线方程为 ∵过点(2,2) ,∴λ =3 ∴所求双曲线方程为 有共同的渐近线, 故方程可假设为 , 再利用

故答案为 点评: 本题的考点是双曲线的标准方程, 主要考查待定系数法求双曲线的标准方程, 关键 是方程的假设方法.

12. (5 分)双曲线



=1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 9,那么点 P 到另一个焦

点的距离等于 3 或 15. 考点: 圆锥曲线的实际背景及作用;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过双曲线方程求出 a,再由已知条件,利用双曲线的定义能求出结果. 解答: 解:∵双曲线的标准方程是 ﹣ =1,

∴a=3, 设点 P 到另一个焦点的距离为 x, ∵双曲线上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 9, ∴由双曲线定义知:|x﹣9|=6, 解得 x=15,或 x=3. ∴点 P 到另一个焦点的距离是 15 或 3. 故答案为:3 或 15. 点评: 本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法,解题时要熟练掌握双曲线性质.

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13. (5 分)若命题 p:曲线



=1 为双曲线,命题 q:函数 f(x)=(4﹣a) 在 R

x

上是增函数,且 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]∪[3, 6) . 考点: 复合命题的真假;双曲线的简单性质. 专题: 简易逻辑. 分析: 通过 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,判断两个命题的真假关系,分别求出命题是 真命题时 a 的范围,即可求解结果. 解答: 解:当 p 为真命题时, (a﹣2) (6﹣a)>0,解之得 2<a<6. 当 q 为真命题时,4﹣a>1,即 a<3. 由 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题知 p、q 一真一假. 当 p 真 q 假时,3≤a<6.当 p 假 q 真时,a≤2. 因此实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]∪[3,6) . 故答案为: (﹣∞,2]∪[3,6) . 点评: 本题考查复合命题的真假的判断与应用, 双曲线的性质的应用, 考查基本知识的应 用. 14. (5 分)已知抛物线 y =4x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2,则|AB|的最大值为 6. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 压轴题;数形结合;转化思想. 2 分析: 由题意,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入抛物线 y =4x,再结合弦长公式 |AB|= 表示出|AB|,把弦长用引入的参数表示出来,再由中点的横坐标
2

为 2,研究出参数 k,b 的关系,使得弦长公式中只有一个参数,再根据其形式判断即可得 出最值 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=4,令直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入抛 2 2 2 2 物线 y =4x 得 k x +2(kb﹣2)x+b =0 故有

故有 又 |AB|=

,解得

,即

=

=

=

=

=4×





=6

10

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故|AB|的最大值为 6 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系, 解题的关键是用弦垂公式表示出弦长, 再结合题 设中所给的条件将弦长表示成某个量的函数,利用求最值的方法求出最值.本题比较抽象, 难点在二把弦长用参数表示出来之间,需要做大量的运算,做题时要有耐心,平时要注意提 高符号运算能力. 三、解答题(写出必要的解题过程) 2 2 15. (12 分)已知双曲线过点(3,﹣2) ,且与椭圆 4x +9y =36 有相同的焦点. (Ⅰ)求双曲线的标准方程; (Ⅱ)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程. 考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 计算题. 分析: (I)先求出椭圆的焦点坐标,再根据双曲线的定理求出 a,b,c,从而求出双曲 线的方程; (II)由(1)得双曲线的右准线方程,从而求出 p,这样就可求出抛物线的标准方程. 解答: 解: (I)由椭圆方程得焦点 由条件可知,双曲线过点(3,﹣2) 根据双曲线定义,2a= 即得 ,所以 ?(7 分) ,?(9 分) =2 ?(5 分) ,?(2 分)

双曲线方程为:

(II)由(1)得双曲线的右准线方程为: ∴ ?(13 分)

?(11 分)

从而可得抛物线的标准方程为:

?(15 分)

点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程,在求曲线方程的问题中,巧设方程,减少待定 系数,是非常重要的方法技巧.特别是具有公共焦点的两种曲线,它们的公共点同时具有这 两种曲线的性质,解题时要充分注意. 16. (13 分)已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1(﹣2 ,0) 、F2(2 ,0) ,长轴长为 6, (1 )求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的长度. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: (1)由 ,长轴长为 6,能得到椭圆方程.

11

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(2)设
2

,由椭圆方程为

,直线 AB 的方程为 y=x+2

得 10x +36x+27=0,由此能得到线段 AB 的长度. 解答: 解: (1)由 得: ∴椭圆方程为 所以 b=1 ?(5 分) ,长轴长为 6

(2)设

,由(1)可知椭圆方程为

①,

∵直线 AB 的方程为 y=x+2②?(7 分) 2 把②代入①得化简并整理得 10x +36x+27=0 ∴ ?(10 分)



?(12 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法和弦长的运算, 解题时要注意椭圆性质的灵活运用和弦长 公式的合理运用. 17. (13 分) 双曲线 C 的中心在原点, 右焦点为 , 渐近线方程为 .

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l:y=kx+1 与双曲线 C 交于 A、B 两点,问:当 k 为何值时,以 AB 为直径的圆 过原点. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)设双曲线的方程是 此能求出双曲线的方程. (Ⅱ) 由 , 得 (3﹣k ) x ﹣2kx﹣2=0, 由△>0, 且 3﹣k ≠0, 得
2 2 2

,则



.由



且 .设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,由以 AB 为直径的圆过原点,知 x1x2+y1y2=0.由 此能够求出 k=±1. 解答: 解: (Ⅰ)设双曲线的方程是 ,则 , .

又∵c =a +b ,∴b =1,

2

2

2

2



12

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以双曲线的方程是 3x ﹣y =1. (Ⅱ)①由 得(3﹣k )x ﹣2kx﹣2=0, 由△>0,且 3﹣k ≠0,得 ,且 . 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA⊥OB, 所以 x1x2+y1y2=0. 又 ,
2 2 2 2 2 2



所以 y1y2=(kx1+1) (kx2+1)=k x1x2+k(x1+x2)+1=1, 所以 ,解得 k=±1.

点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与双曲线的相关知识,解题时要认真审题,注意双曲线性质的灵活运用,合理地进行等价转 化.

18. (14 分)设椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,过原点 O 斜率为 1 的直线 l

与椭圆 C 相交于 M,N 两点,椭圆右焦点 F 到直线 l 的距离为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆上异于 M,N 外的一点,当直线 PM,PN 的斜 率存在且不为零时,记 直线 PM 的斜率为 k1,直线 PN 的斜率为 k2,试探究 k1?k2 是否为定值?若是,求出定值;若不是, 说明理由. 考点: 椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (I) 设椭圆的焦距为 2c (c>0) , F (c, 0) , 直线 l: x﹣y=0, F 到 l 的距离为 解得 c,进一步求得 a,b 的值,从而写出椭圆 C 的方程; ,

(Ⅱ)由

解得

,或

,表示出直线 PM 和 PN 的斜率,求的

两直线斜率乘积的表达式,把 y 和 x 的表达式代入发现结果与 p 无关. 解答: 解: (I)设椭圆的焦距为 2c(c>0) ,F(c,0) ,直线 l:x﹣y=0,F 到 l 的距离 为 ,解得 c=2.又∵ ,∴ ,∴b=2.

∴椭圆 C 的方程为

. (6 分)

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(Ⅱ)由

解得

,或



不妨设

,P(x,y) ,







,即 x =8﹣2y ,代入化简得

2

2

为定值. (12 分)

点评: 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.考查了学生综合分析问题和解决问题的能 力. 19. (14 分)已知 P、Q 是抛物线 C:y=x 上两动点,直线 l1、l2 分别是抛物线 C 在点 P、Q 处的切线,且 l1⊥l2,l1∩l2=M. (1)求点 M 的纵坐标; (2)直线 PQ 是否经过一定点?试证之; (3)求△PQM 的面积的最小值. 考点: 圆锥曲线的综合;抛物线的简单性质. 专题: 综合题;数形结合;函数思想;转化思想;数形结合法. 分析: (1)由题意,点 M 是两切线的交点,故可以求出两条切线的方程,解出两切线交 点的坐标即点 M 的坐标,再由两切线垂直,其斜率的乘积为﹣1,求出点 M 的纵坐标; (2)由点斜式写出过两点的直线的方程,易得其过定点(0, ) ; (3)由题意,可由两点间距离公式求出线段 PQ 的参数表达式,再由点到直线的距离公式求 出点 M 到直线 PQ 的参数表达式,由面积公式建立面积关于参数的函数,求出函数的最值, 即可得到面积的最值. 2 2 解答: 解: (1)设 P(x1,x1 ) ,Q(x2,x2 ) , (x1≠x2) , 又 y'=2x,则: )
2

又 l1⊥l2,则 4x1?x2=﹣1? x1?x2=﹣ ,∴yM=﹣ ?. (4 分)

(2)PQ:y﹣x1 =

2

∴PQ 恒过定点(0, )?(8 分) (3)令 x1+x2=k,则 M( ) ,PQ:y=kx+

14

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

∴M 到 PQ 的距离 d= 又 |PQ|=

=

∴S△PQM=

(此时 k=0)?..(14 分)

点评: 本题考查圆锥曲线的综合, 考查了切线的求法, 恒过定点的问题, 求面积的最值等, 解题的关键是理解题意, 由圆锥曲线中的相关计算根据题设中的等量关系建立方程或函数关 系,本题考查了推理判断的能力,符号计算的能力,是综合性较强的题

20. (14 分)已知向量 =(x,

y) , =(1,0) ,且( +

)?( ﹣

)=0.

(1)求点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)设曲线 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0,﹣1) ,当|AM|=|AN|时, 求实数 m 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用向量的数量积公式,结合( + )?( ﹣ )=0,即可求点 Q(x,

y)的轨迹 C 的方程; (2)直线方程代入椭圆方程,分类讨论,设弦 MN 的中点为 P,利用|AM|=|AN|,AP⊥MN, 即可求出实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意向量 =(x, ∴ 化简得 , .?(4 分) y) , =(1,0) ,且( + , )?( ﹣ )=0,

∴Q 点的轨迹 C 的方程为

( 2)由

得(3k +1)x +6mkx+3(m ﹣1)=0,

2

2

2

由于直线与椭圆有两个不同的交点,∴△>0,即 m <3k +1.①?(6 分)

2

2

15

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (i)当 k≠0 时,设弦 MN 的中点为 P(xP,yP) ,xM、xN 分别为点 M、N 的横坐标,则 ,

从而



,?(8 分)

又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN. 则
2

,即 2m=3k +1,② ,解得 ,

2

将②代入①得 2m>m ,解得 0<m<2,由②得 故所求的 m 的取值范围是( ,2) .?(10 分) (ii)当 k=0 时,|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,m <3k +1, 解得﹣1<m<1.?(12 分) 综上,当 k≠0 时,m 的取值范围是( ,2) ,
2 2

当 k=0 时,m 的取值范围是(﹣1,1) .?(13 分) 点评: 本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查小时分析解决问题的能力, 属于中档题.

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