2016届东北三省四市教研联合体高三第一次模拟考试理科数学试题(解析版)


2016 高三第一次模拟考试 理科数学
一、单选题 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给 出的 4 个选项中,有且只有一项是符合题目要求。

1.已知全集 U=R,集合 A={x|x<一 1 或 x>4},B={x|-2≤x≤3},那么阴影部分 表示的集合为()

A{x|-2≤x<4} C{x|-2≤x≤一 1} 正确答案:D

B{x|x≤3 或 x≥4} D{x|-1≤x≤3}

解析:由韦恩图可知阴影部分表示的集合为
又集合 A={x|x<一 1 或 x>4)}={X| 所以 = {x|-1≤x≤3},故选 D }

2.若复数 z 满足 iz= 2-4i,则 z 在复平面内对应的点的坐标是() A(2,4) B(2,-4) C(-4,-2) D(-4,2)

正确答案:C

解析: 由 iz= 2-4i 可知

可得 z 在复平面内对应的点的坐标是 (-4, -2)

故选 C

3.右图所示的程序运行后输出的结果是()

A .-5

B. -3

C. 0

D. 1

正确答案:B 解析:
,故选 B

4.如图所示的数阵中,每行、每列的三个数均成等差数列,如果数阵中所有数 之和等于 63,那么 a52=()

A.2 正确答案:C

B. 8

C.

7

D.4

解析:由题可知

得 a52=7

故选 C

5.“吸烟有害健康,吸烟会对身体造成伤害”,哈尔滨市于 2012 年 5 月 31 日规定室内场所禁止吸烟.美国癌症协会研究表明,开始吸烟年龄(X)分别为 16 岁、18 岁、20 岁和 22 岁,其得肺癌的相对危险度(Y)依次为 15.10、12.81、 9.72、3.21;每天吸烟(U)10 支、20 支、30 支者,其得肺癌的相对危险度(v) 分别为 7.5、9.5 和 16.6.用 r1 表示变量 X 与 y 之间的线性相关系数,用 r2 表示 变量 U 与 V 之间的线性相关系数,则下列说法正确的是() A. rl=r2 B. r1>r2>0 C.0<r1<r2 D.r1<0< r2

正确答案:D 解析:开始吸烟年龄(X)分别为 16 岁、18 岁、20 岁和 22 岁与得肺癌的相对危险度(Y)依
次为 15.10、12.81、9.72、3.21 做为横纵坐标绘出散点图可得图像走势由左上到右下,所 以 r1<0;每天吸烟(U)10 支、20 支、30 支者与得肺癌的相对危险度(v)分别为 7.5、9.5 和 16.6 做为横纵坐标绘出散点图可得图像走势由左下到右上,所以 r2>0。

故选 D

6.哈尔滨文化公同的摩天轮始建于 2003 年 1 月 15 日,2003 年 4 月 30 日 竣工,是当时中国第一高的巨型摩天轮.其旋转半径 50 米,最高点距地 面 110 米,运行一周大约 21 分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则 第 14 分钟时他距地面大约为()米.

A.75 正确答案:B 解析:如图,

B.85

C.100

D.110

根据周期可知第 14 分钟时从最低点 A 处转到了 D 处,D 点距离地面 距离为:AB+10(米)由图知 AB=50+25=75(米) 则第 14 分钟时他距地面大约为 85 米 故选 B

7.原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”.当时 有位父亲, 为了准确记录孩子的成长天数, 在粗细不同的绳子上打结, 由细到粗, 满七进一,那么孩子已经出生多少天?()

A.1326 正确答案:B

B.510

C.429

D. 336

解析:由题可知绳子由左往右是由细变粗,建立七进制模型得

故选 B

8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(0,3)和 C(0,-3),顶点 B

在椭圆

=1

上,则

()

A. 正确答案:A

B.

C.

D.

解析:由题可知
故选 A

9.如图是某一几何体的三视图,则该几何体的体积是()

A.

B.1

C.

D.

正确答案:B 解析:计算出长方体的体积 V=1×1×2=2 其一半为所求几何体的体积即为 1。
故选 B

10. 已知点(n, an)(n∈N*)在 y=ex 的图象上,若满足 Tn=lna1+lna2+……+lnan>k 时 n 的最小值为 5, 则 k 的取值范围是() A.< 15 B.<10 C.0≤k<15 D.0<k<15 正确答案
C

解析

由已知求出

,lna1+lna2+- - -+lnan=1+2+- - -+n=

n=5 时

=15,n=4 时

=10

再结合 lna1+lna2+- - -+lnan>k 及 n 的最小值为 5 可知 l0≤k<15 故选 C

11.已知点 O 是△ABC 外心,AB=4,AO=3,则 A[-4,24] B[-8,20] C[-8,12] D[-4,20]

的取值范围是()

正确答案: D 解析: 如图以 O 为原点,平行于 AB 的直线为 X 轴,建立平面直角坐标系,

则A 所以 所以 故选 D

,B =

,C 在以 3 为半径的圆上,设 C = ,所以 ,因为

, ,

的取值范围为[-4,20]。

12.已知函数 f(x+2)是偶函数,且当 x>2 时满足 xf '(x)>2f '(x)+f(x)),则()

A2f(1)<f(4)

B2f( )>f(3)

Cf(0)<4f(

)

Df(1)<f(3))

正确答案 A

解析
所以

根据题意构造

,知



上单增,则有

即就是

可知 对称

又由函数 f(x+2)是偶函数可知 f(x)关于 所以 故选 A 则

二、填空题 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在 题中横线上。
13.二项式(x+
正确答案:28

) 的展开式中常数项为 ____。
8

解析:由题可知

时二项式(x+ 故此题答案为 28。

)8 的展开式中常数项为 28

14.在某次数学考试中,甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀.当他们 被问到谁得到了优秀时,丙说:“甲没有得优秀”;乙说:“我得了优秀”;甲 说:“丙说的是真话”.事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那 么得优秀的同学是____.

正确答案:丙 解析:根据“只有一个人得了优秀”和“只有一人说的是假话”假设甲说假话,即就是丙
也说假话,这与“只有一人说的是假话” 矛盾;再假设丙说假话即就是甲也说假话,又与 “只有一人说的是假话” 矛盾;因此乙说了假话,所以丙优秀。

故此题答案为丙

15.若函数 y=e -a(e 为自然常数)的图象上存在点(x,y)满足约束
x

条件
正确答案:

,则实数 a 的取值范围是 。

解析:作可行域如图中阴影部分所示

再平移 y=ex-a 的图像与区域相交,可知在点(0,0)处 y=ex-a 与 相切得 a 的最小值为 1, 。

在点(5,-1)处得 a 的最大值为 故实数 a 的取值范围是

16.一个棱长为 5 的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小正四面 体,若小正四面体 在纸盒内可以任意转动,则小正四面体的棱长的最大值为 . 正确答案: 解析:因为小正四面体在正四面体纸盒内可以任意转动,所以小正四面体在正四面体纸盒
的内切球中, 则小正四面体棱长最大时即棱长为球内接正方体的面对角线。 设正四面体内切 球的半径为 R,内切球的内接正方体棱长为 ,由等体积法可知



所以小正四面体的棱长的最大值为



故小正四面体的棱长的最大值为



三、简答题(综合题) 本大题共 70 分。简答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。
17. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ) 若角 A 是钝角,且 c=3,求 b 的取值范围. 正确答案:(1)2;(2)

解析:试题分析:本题属于三角形中的正弦定理、余弦定理应用问题,题目的难度适中。
(1)求解时一定要定位好是角化边还是边化角;(2)在求边的范围时切记不要忘记三角 形中三边关系。

(1)由正弦定理

(2) 由余弦定理



② 由①②得 的范围是

18.近两年双 11 网购受到广大市民的热捧.某网站为了答谢老顾客,在双 11 当天零点整,每个金冠买家都可以免费抽取 200 元或者 500 元代金券一张,中

奖率分别是 和 。每人限抽一次,100%中奖.小张,小王,小李,小赵四个 金冠买家约定零点整奖. ( I )试求这 4 人中恰有 1 人抽到 500 元代金券的概率; (Ⅱ ) 这 4 人中抽到 200 元、 500 元代金券的人数分别用 X、 Y 表示, 记 =XY, 求随机变量 的分布列与数学期望.

正确答案:(1)

;(2)



解析:试题分析:本题属常见的概率问题,在审题时要从中提炼出概率事件是独立重复实
验再下手去做。其难度和其它概率问题一样难度适中,主要是题意的理解。

(1)设“这 4 人中恰有人抽到 500 元代金券”为事件

(2)易知 可取

分布列

19. 如图,已知多面体 4 BCDEF 中,ABCD 为菱形,∠ABC=60°AE⊥平面 ABCD,AE∥CF,AB=AE=1,AF⊥ BE。

( I )求证:平面 BAF⊥平面 BDE;

(Ⅱ)求二面角 B-AF-D 的余弦值。

正确答案:(1)略;(2)



解析:试题分析:本题属于立体几何中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)证
明时要找到线面垂直才能下手去做;(2)要注意二面角为钝角这种情况。

(Ⅰ)证明:连 又 又 则 则 所以 所以平面 (Ⅱ)以 以为 面 . 又 面 面

交 ,

于 面

,则 ,则 ,



面 ,

,而 平面





为空间直角坐标系原点,以



轴,以



轴,以过

点平行于

轴建立空间直角坐标系

求得平面 求得平面

的法向量为 的法向量为

设所求二面角为

则有 又因为所求二面角为钝角

所以所求二面角得余弦值为

20. 椭圆 C1:

=1(a>0,b>0)的长轴长等于圆 C2:x2+y2=4 的直径, 。直线 l1 和 l2 是过点 M(1,0)互相垂直的两条直线,l1 交 C1

且 C1 的离心率等于

于 A,B 两点,l2 交 C2 于 C,D 两点。 ( I )求 C1 的标准方程; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最大值.

正确答案:(1)

(2)

解析:试题分析:本题是直线与圆锥曲线综合应用问题,解题时选通过已知条件确定椭圆
方程,再根据直线方程计算弦长,最后再求出面积,再利用分式函数最值求法求出最值。

(1)由题意

所以

(2) ①直线

的斜率均存在时,设

,则



设圆心

到直线

的距离

, 得

整理得 ②当直线 的斜率为 0 时,

当直线

的斜率不存在时, 的面积的最大值为

综上,四边形

21. 设函数 f(x)=x2 一 ln(x+a)+b,g(x)=x3. ( I )若函数 f(x)在点(0,f(0)))处的切线方程为 x+y=0,求实数 a,b 的值; (Ⅱ)在(I)的条件下,当 X∈(0,+∞)时,求证:f(x)<g(x); (Ⅲ)证明:对于任意的正整数 n,不等式 正确答案:(1)


成立.

解析:试题分析:本题属于导数应用中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直
接按照切线问题完成第一问题,要注意方程思想的应用;(2)要学会构造函数模型灵活运

用导函数这个工具完成函数的比较大小等;(3)涉及不等式证明问题,要灵活运用不等式 证明中最长见的比较方法,如作差法,放缩法,分析法等.

(1)

依题意 (2)由(1)可知函数 .令

则 显然,当 又 即 (3)由(2)知 即 , 时, ,所以,当 恒成立.故当

, ,所以函数 时,恒有 时,有 在 , 上单调递减

,

所以原不等式得证

22. 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,已知线段 AC 为⊙O 的直径,P 为⊙O 的切线,切点为 A,B 为⊙O 上一 点,且 BC∥PO.

( I )求证:PB 为⊙O 的切线; (Ⅱ)若⊙O 的半径为 1,PA =3,求 BC 的长。 正确答案:(1)证明略;(2)


解析:试题分析:本题属于平面几何问题,题目难度较低,解题时要注意深入分析已知条
件和特征结论,善于将各已知条件联系起来考虑,寻找合理的解题思路。

(1)连接 又

,

, ,

, . (2)连接 ∽ , 得证 为直角三角形

,

解得


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