高中数学必修4:平面向量小结与复习测试题


平面向量小结与复习测试题
一.选择题 (1)已知 a, b, c 为非零的平面向量,甲: a·b= a·c, 乙: b= c,则 A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C 甲是乙的充分必要条件 D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (2)若 AB =3e1, CD =-5e1, 且| AD |=| BC |,则四边形 ABCD 是 A 平行四边形 B 菱形 C 等腰梯形 D 不等腰梯形 (3) 已知向量 a ? (3,4),b ? (sin? , cos? ), 且 a ∥ b ,则 tan ? = A ( )

(

)





3 4

B ?

3 4

C

4 3

D ?

4 3

(4)已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y)满足PA? PB ? x 2 ,则点 P 的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 (5) 为 了 得 到 函 数 y = sin(2x( )

? ) 的 图 像 , 以 将 函 数 y = cos2x 的 图 像 6 ? 个单位长度 3 ? D 向左平移 个单位长度 3
B 向右平移

? 个单位长度 6 ? C 向左平移 个单位长度 6
A 向右平移

(6)已知平面上三点 A、B、C 满足 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5, 则 AB ? BC ? BC ? CA +

CA ? AB 的值等于 ? ?
A 25 B 20
?

(

)

(7) 若 向 量 a与b 的 夹 角 为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 , 则 向 量 a 的 模 为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 12 (8)若平面向量 b 与向量 a ? (1 , ? 2) 的夹角是 180 ? ,且 b ? 3 5 ,则 b ? ( A. (?3 , 6) B. (3 , ? 6) C. (6 , ? 3) D. (?6 , 3) (9) 平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点 A(3, 1), B(-1, 3), 若点 C 满足 )

?

?

? ?

C 15

?

D 10

?

OC = ? OA ? ? OB , 其中α 、β ∈R 且α +β =1, 则点 C 的轨迹方程为
A 3x+2y-11=0 C 2x-y=0 B (x-1) +(y-2) =5 D x+2y-5=0
2 2

(

)

x2 2 (10)设 F1、F2 为双曲线 -y =1 的两焦点, 点 P 在双曲线上, 当△F1PF2 面积为 1 时, 4 的 值 为 PF 1 ? PF 2
( ) A 0 二.填空题 B 1 C 2 D

1 2

(11) 已 知 点 A(1, - 2), 若 向 量 AB 与 a ={2,3} 同 向 , AB =2 13 , 则 点 B 的 坐 标 为 . (12)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=2, |b|=5,则(2a-b)·a= 是 . (14) 已 知 两 个 非 零 向 量 e1, e2 不 共 线 , 若 AB = 2e1+3e2, .

(13) 已 知 向 量 a ? (cos? , sin ? ), 向 量 b ? ( 3,?1) , 则 2a ? b 的 最 大 值

BC =6e1+23e2,

. 三.解答题 (15)设两向量 e1, e2 满足| e1|=2, |e2|=1, e1, e2 的夹角为 60°, 若向量 2te1+7 e2 与 向量 e1+ t e2 的夹角为钝角, 求实数 t 的取值范围.

CD =4e1-8e2, 则 A、B、C 三点的关系是

C (16)如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角θ 取何值时, PQ · a

BC 的值最大?并求出这个最大值.

A

B

(17)已知两点 M(-1,0), N(1, 0), 且点 P 使 MP ? MN,PM ? PN,NM ? NP 成公差小 于零的等差数列. (Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点 P 的坐标为(x0, y0), 记θ 为 PM , PN 的夹角, 求 tanθ .

(18)如图,过抛物线 x =4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A、B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点. (Ⅰ)设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 λ ,证明 QP ? (QA ? ?QB); (Ⅱ)设直线 AB 的方程是 x—2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切 线,求圆 C 的方程.

2

一选择题: 1.B 2.C 3.A 9.D 10.A 二填空题: 11. (5,4), 14. A、B、C 三点 共线. 三解答题 2 2 (15) 解 : : ∵ e1 =4, e2 =1, e1·e2=2 × 1 × cos60 ° , ∴ (2te1+7 e2) · (e1+ t e2)= 2t 2 2 e1 +(2t

第八单元 4.D 5.B 6.A 7.C 8.A 12. 13, 13. 4 ,

1 . 设 2te1+7 e2=λ (e1+ t e2) 2 14 14 2 (λ <0), 则 2t=λ ,且 7= tλ , ∴2t =7. ∴t =, λ =- 14 . ∴t =时, 2 2 1 14 14 2te1+7 e2 与 e1+ t e2 的夹角为π , t 的取值范围是(-7, )∪(, - ). 2 2 2
+7) e1·e2+7t e2 =2t +15t+7. ∴2t +15t+7<0. ∴-7< t<2 2 2

(16)解法一:∵ AB ⊥ AC ,∴ AB · AC =0. ∵ AP = - AQ , BP = AP - AB , CQ = AQ - AC , ∴ BP · CQ =( AP - AB )·( AQ - AC ) = AP · AQ - AP · AC - AB · AQ + AB · AC = -a - AP · AC + AB · AP
2 2

C Q A B

= -a - AP ·( AB - AC )

1 = -a + PQ · BC 2
2

P

= -a + a cosθ . 故当 cosθ =1,即θ =0 ( PQ 与 BC 方向相同)时, BP · CQ 最大,最大值为 0. 解法二:以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角 坐标系. y 设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0),B(0,0),C(0,0). 且|PQ|=2a,|BC|=a. C Q 设点 P 的坐标为(x,y),则 Q(-x, -y), ∴ BP =(x-c, y), CQ =( -x, -y- b).

2

2

BC =(-c, b), PQ =(-2x, -2y).
BP · CQ =( x-c)(-x)+ y(-y- b)= - (x2+y2)+
c x- b y . ∵cosθ = A B x

PQ ? BC PQ BC
2 2

?

cx ? by , a2
2

P

∴c x- b y= a cosθ . ∴ BP · CQ = -a + a cosθ . 故当 cosθ =1,即θ =0 ( PQ 与 BC 方向相同)时, BP · CQ 最大,最大值为 0. (17) 解 ( Ⅰ ) 记 P(x, y), 由 M(-1,0), N(1, 0) 得 PM = - MP =(-1-x, -y) PN = - NP =(1-x, -y),

MN = - NM =(2, 0), ∴ MP · MN =2(1+x), NM · NP =2(1-x).
x +y -1=
2 2

PM · PN =x2+y2-1,

于 是 MP ? MN,PM ? PN,NM ? NP 成 公 差 小 于 零 的 等 差 数 列 等 价 于

1 2 2 [2(1+x)+ 2(1-x)],且 2(1-x)- 2(1+x)<0, 解得 x +y =3 (x>0). 所以点 P 的轨迹 2 是以原点为圆心, 半径为 3 的右半圆. ( Ⅱ ) 点 P 的 坐 标 为 (x0, y0),

PM · PN =x02+y02-1=2, | PM |·| PN |=
2 2 2 2 ( 1 ? x0) ? y0 ? (1 ? x0 ) 2 ? y 0 ? (4 ? 2 x0 )( 4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 .

∴cosθ =

PM ? PN PM PN

?

1
2 4 ? x0

. ∵0< x0≤ 3 , ∴

1 ? < cosθ ≤1, 0≤θ < . 2 3

∵sinθ = 1 ? cos2 ? ? 1 ?

sin ? 1 2 ? 3 ? x0 ? |y0|. , ∴tanθ = 2 cos ? 4 ? x0

(18) 解(Ⅰ)依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,代入抛物线方程 x 2 ? 4 y 得

x 2 ? 4kx ? 4m ? 0.

①. 设 A、B 两点的坐标分别是(x1,y1) 、(x2,y2),则 x1、x2

是方程①的两根 . 所以 x1 x2 ? ?4m. 由点 P ( 0 , m )分有向线段 AB 所成的比为 ? ,得

x1 ? ?x 2 x ? 0 , 即 ? ? ? 1 . 又点 Q 是点 P 关于原点的以称点, 1? ? x2
故点 Q 的坐标是(0,--m),从而 QP ? (0,2m).

QA ? ?QB ? ( x1 , y1 ? m) ? ? ( x2 , y2 ? m) = ( x1 ? ?x2 , y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? )m). QP ? (QA ? ?QB) ? 2m[ y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m]
x1 x1 x 2 2 x = 2m[ ? ? ? (1 ? 1 )m] 4 x2 4 x2 x x ? 4m ? 4m ? 4m = 2m( x1 ? x2 ) ? 1 2 = 2m( x1 ? x 2 ) ? =0,所以 OP ? (QA ? ?QB). 4 x2 4 x2
(Ⅱ) 由 ?
2

1 2 ? x ? 2 y ? 12 ? 0, 2 得点 A、 B 的坐标分别是 (6, 9) 、 (--4, 4) .由 x ? 4 y 得 y ? x , 2 4 ? x ? 4 y,
x ?6

y?

1 x, 所 以 抛 物 线 x 2 ? 4 y 在 点 A 处 切 线 的 斜 率 为 y 2

? 3 .设圆 C 的方程是

1 ? b?9 ?? , ? 解 之 得 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , 则 ? a ? 6 2 3 2 2 2 ( a ? 6 ) ? ( b ? 9 ) ? ( a ? 4 ) ? ( b ? 4 ) . ? ? 3 23 2 125 a ? ? ,b ? , r ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 ? . 所 以 圆 C 的 方 程 是 2 2 2 3 23 125 (x ? )2 ? ( y ? )2 ? . 2 2 2


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