【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第八篇 平面解析几何第6节双曲线 Word版含解析






双曲线

【选题明细表】 知识点、方法 双曲线的定义及标准方程 双曲线的几何性质 双曲线的综合应用 一、选择题 1.(2012 淮南模拟)双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为 ( C ) (A) (C) (B) (D)(- ,0) 题号 1、2、4、8 3、5、6、7 9、10、11、12

解析:双曲线方程可化为 x2- =1. ∴a2=1,b2= , ∴c2=a2+b2= ,c= , ∴左焦点坐标为 故选 C. 2.(2012 大连模拟)设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左 .

右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( B ) (A)1 (B)17 (C)1 或 17 (D)以上答案均不对

解析:由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8, 又|PF1|=9, ∴ |PF2|=1 或 17, 但 应 注 意 双 曲 线 的 右 顶 点 到 右 焦 点 距 离 最 小 为 c-a=6-4=2>1, ∴|PF2|=17. 故选 B. 3.(2013 绵阳中学“二诊”模拟)设 A、B 为双曲线 - =λ(λ≠0)的同 一渐近线上的不同两点,已知 a=(1,0),| |=6,且 · a=3|a|,则双曲线 离心率为( D ) (A)2 (B) (C)2 或 (D)2 或

解析:设 与 a 的夹角为θ, 由 ·a=3|a|, 得 6×1×cos θ=3, ∴cos θ= , ∴tan θ= .

∴= 或= , 即 b2=3a2 或 a2=3b2. ∴e=2 或 , 故选 D. 4.(2012 年高考浙江卷)已知点 P 在曲线 C1: - =1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5)2+y2=1 上,点 R 在曲线 C3:(x+5)2+y2=1 上,则|PQ|-|PR|的最大值 是( C ) (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 解析:依题意知 P 在曲线 C1 的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最 大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1, 则|PQ|-|PR|的最大值是 |PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10. 故选 C. 5.(2013 德 阳 市 高 三 “ 二 诊 ” ) 已 知 双 曲 线 方 程 为 - =1(a>0,b>0),A(-a,0),B(a,0),P 为双曲线上异于 A,B 的任意一点, 直线 PA、PB 的斜率之积为定值 ,则双曲线的渐近线方程是( D ) (A)2x±3y=0 (B)3x±2y=0 (C)2x± y=0 (D) x±2y=0 解析:设 P(x0,y0),



·

=,

∴ = ( -a2), 又 - =1, ∴ 即 =1, + -1=0,

由题意得 - =0, 即 -1=0, 即 =, ∴渐近线方程为 y=± x, 即 x±2y=0,故选 D. 6.(2013 重 庆 青 木 关 中 学 高 三 月 考 ) 已 知 F1 、 F2 分 别 是 双 曲 线 C: - =1(a>0,b>0)的左、 右焦点,B 是虚轴的上端点,直线 F1B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于 点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( B ) (A) (C) (B) (D)

解析:设 PQ 的中点为 N,由题意得|OB|=b,|OF1|=c,

∴kPQ= ,kMN=- , 直线 PQ 为 y= (x+c), 两条渐近线为 y=± x. 由 得 Q( , ); 由 得P =, , ,

∴直线 MN 为 y令 y=0 得 xM=c

又∵|MF2|=|F1F2|=2c, ∴3c=xM=c ∴3a2=2c2, 解之得 e2= , 即 e= . 故选 B. 二、填空题 7.已知双曲线 - =1 的右焦点的坐标为( ,0),则该双曲线的渐近线 ,

方程为

. ,0),

解析:∵焦点坐标是( ∴9+a=13,即 a=4, ∴双曲线方程为 - =1, ∴渐近线方程为 ± =0. 答案:2x±3y=0

8.(2012 保定模拟)已知双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的离心率 e=2,且它 的一个顶点到较近焦点的距离为 1,则双曲线 C 的方程为 解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为 c-a=1, 又 e= =2, 两式联立得 a=1,c=2, ∴b2=c2-a2=4-1=3, ∴方程为 x2- =1. 答案:x2- =1 9.设双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,O 为坐标原点.若以 F 为 圆心,FO 为半径的圆与双曲线 C 的渐近线 y= x 交于点 A(不同于 O 点), 则△OAF 的面积为 . =b, .

解析:因为右焦点 F(c,0)到渐近线 y= x,即 bx-ay=0 的距离为

所以|OA|=2a, 故△OAF 的面积为 ×2a×b=ab. 答案:ab 三、解答题 10.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1), 若此圆过点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程. 解:切点为 P(3,-1)的圆 x2+y2=10 的切线方程是 3x-y=10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称, ∴两渐近线方程为 3x±y=0. 设所求双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0). ∵点 P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80, ∴所求的双曲线方程为 - =1. 11.(2012 湖南宁远一中)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦 点到渐近线的距离等于 ,过右焦点 F2 的直线 l 交双曲线于 A、 两点,F1 B 为左焦点. (1)求双曲线的方程; (2)若△F1AB 的面积等于 6 ,求直线 l 的方程. 解:(1)依题意,b= , =2? a=1,c=2, ∴双曲线的方程为 x2- =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),

由(1)知 F2(2,0). 易验证当直线 l 斜率不存在时不满足题意, 故可设直线 l:y=k(x-2), 由 消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0, k≠± 时,x1+x2= x1x2= , ,

y1-y2=k(x1-x2), △F1AB 的面积 S=c|y1-y2|=2|k|· 1-x2|= |x 2|k|· 12|k|· =6 . =

得 k4+8k2-9=0, 则 k=±1. 所以直线 l 方程:y=x-2 或 y=-x+2. 12.(2013 资阳市二模)已知双曲线 W: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分 别为 F1、F2,点 N(0,b),右顶点是 M,且 (1)求双曲线的方程; (2)过点 Q(0,-2)斜率为 k 的直线 l 交双曲线 W 的右支于 A、 两个不同 B 的点,若点 H(7,0)在以线段 AB 为直径的圆的外部,求实数 k 的取值范 · =-1,∠NMF2=120°.

围. 解:(1)由已知 M(a,0),N(0,b),F2(c,0), · =(-a,b)· (c-a,0)=a2-ac=-1,

∵∠NMF2=120°,则∠NMF1=60°, ∴b= a, ∴c= =2a,

解得 a=1,b= , ∴双曲线的方程为 x2- =1. (2)由题知,直线 l 的斜率不为 0,直线 l:y=kx-2, 联立 得(3-k2)x2+4kx-7=0, 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),



解得 <k< .① ∵点 H(7,0)在以线段 AB 为直径的圆的外部, 则 · >0, · =(x1-7,y1)· 2-7,y2) (x =(x1-7)· 2-7)+y1y2 (x

=x1x2-7(x1+x2)+49+(kx1-2)(kx2-2) =(1+k2)x1x2-(7+2k)(x1+x2)+53 =(1+k2)· -(7+2k)· +53 = 解得 k>2.② 由①、②得实数 k 的范围是(2, ). >0,


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