陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第21课时 定积分与微积分基本定理 理


课题:定积分与微积分基本定理
考纲要求:① 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念 . ② 了解微积分基本定理的含义. 教材复习

?1? 积分的定义及相关概念 如果函数 f ( x ) 在区间 ? a, b? 上连续, 用分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? xn?2 ? xn ? b , 将区间 ? a, b? 等分成 n 个小区间,在每个小区间 ? xi?1, xi ? 上任取一点 ? i ( i ? 1, 2, …, n ),作和


1. 定积分

?
i ?1

n

b?a f (?i ) ,当 n ?? 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f ( x) 在 n

区间 ? a, b? 上的定积分,记作 积式. ① ③
b

限,区间 ? a, b? 叫做积分区间,

?

b

a

f ( x)dx .其中,
叫做被积函数,



分别叫做积分下限与积分上 叫做积分变量, f ( x)dx 叫做被

? 2 ? 定积分的性质:

? 1dx ?
a b

;②

?

b

a

kf ( x)dx ?


( k 为常数);

?a ? f ( x) ? g ( x)? dx ?

?

b

a

f ( x)dx ?

? 3? 定积分的几何意义: b ① 当函数 f ( x ) 在区间 ? a, b? 上恒正时, 定积分 ? f ( x)dx a
S ? ? f ( x)dx ; 当 f ( x) ≤ 0 时, S ?
a b

x ? b ,y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 的几何意义是由直线 x ? a , 所围成的曲边梯形的面积(左图中的阴影部分)即

?

b

a

f ( x)dx ?

?

b

a

f ( x)dx .

② 一般情况下,定积分

以及直线 x ? a ,x ? b 之间的曲边梯形的面积的代数和 (右图中的阴影部分) , 其中在 x 轴 上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.

?

b

a

f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲边 f ( x)

2. 微积分基本定理
如果 f ( x ) 是区间 ? a, b? 上的连续函数, 并且 F ?( x) ? f ( x) , 那么 这个结论叫微积分基本定理,又叫牛顿—莱布尼兹公式.

?

b

a

f ( x)dx ?



f ( x) , y ? g ( x) 以及直线 x ? a, x ? b 所围成的平面图形的面积为 S , 则S ? ( f ( x) ? g ( x) ). ? 2 ? 匀变速运动的路程公式:作变速直线运动的物体所经过的路程 s ,等于其速度函数
147

?1? 曲边梯形的面积:一般地,设由曲线 y ?

3. 定积分的应用

? 3? 简单几何体的体积:若几何体是由曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? a, x ? b 以及 x 轴所围成 的区域绕 x 轴旋转一周得到的,则其体积为 V ?
基本知识方法:

v ? v(t ) ( v(t ) ? 0 )在时间区间 ? a, b? 上的定积分,即 s ? ? v(t )dt .
b a

1. 求定积分有两种途径:牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义;当被积函数较为复杂,
定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.

2. 若 f ( x) 是 ? ?a, a? 连续的奇函数,则 ? f ( x)dx ?
a ?a



若 f ( x ) 是 ? ?a, a? 连续的偶函数,则 典例分析:

?

a

?a

f ( x)dx ?

?

a

0

f ( x)dx

考向一 定积分的计算(考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义) 问题 1.计算下列积分:

?1? ?1

2

x 2 dx ;

? 2 ? ?0 (sin x ? cos x)dx ;

?

? 3? ?1

2

3 ? 2 x dx ;

? 4 ? ??1

1

1 ? x 2 dx ;

? 5? ??1 ? x cos x ? 5sin x ?dx

1

考向二 利用定积分求面积 问题 2.求下图中阴影部分的面积. 解:

考向三 定积分的应用
148

问题 3. ?1? 一物体以 v ?t ? ? t 2 ? 3t ? 8 ? m s ? 的速度运动,在前 30s 的平均速度为

? 2 ? ( 2012 福建)如图所示,在边长为1
A.

的正方形 OABC

中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

课后作业:

x 1. 计算定积分:① ? 2 sin 2 dx ; 0 2

?



? ? ? cos x ? e ?dx ;
0 x ?



?

?

2 0

1 ? sin 2 xdx ;



?

1

0

? x 2 ? 2 xdx

2. ( 2013 届高三西工大附中六模) ?

1

0

?

1 ? x2 ? x dx =

?

? 1 1 3 3 x ? ? 3. ( 2013 届高三湖北武汉调研) ? 3 ? 2cos 2 ? 1?dx ? A. ? B. ? C. D. 0 2 2 2 2 2 ? ?

走向高考:

1. ( 2013 北京)直线 l 过抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的

149

图形的面积等于

A.

4 3

B. 2

C.

8 3

D.

16 2 3

2.( 2013 江西)若 S1 ? ? x 2 dx , S 2 ? ?
1

2

2

1

2 1 dx , S3 ? ? e x dx, 则 S1 , S2 , S3 的大小关系为 1 x

A. S1 ? S2 ? S3

B. S2 ? S1 ? S3 C. S2 ? S3 ? S1

D. S3 ? S2 ? S1

3. ( 2013 湖北)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 25 ( t 的单位: s , v 的单位: m / s )行驶至停止.在此期间汽车继 v ?t ? ? 7 ? 3t ? 1? t 续行驶的距离(单位; m )是 11 A. 1 ? 25ln 5 B. 8 ? 25ln C. 4 ? 25ln 5 D. 4 ? 50ln 2 3

4. ( 2013 湖南)若 ? x2 dx ? 9 ,则常数 T 的值为
0

T

5. ( 2012 江西)计算定积分 ?

1

?1

?x

2

? sin x ?dx ?

1 C. ? ln 2 D. ln 2 dx 等于 A. ?2 ln 2 B. 2 ln 2 x lg x x?0 ? ? 7. ( 2011 陕西)设 f ( x) ? ? ,若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ? a 2 x ? 3 t dt x ? 0 ? ? ?0
6. ( 2010 湖南)

?

4

2

150


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