§3.2一元二次不等式及其解法比赛教案


§3.2 一元二次不等式及其解法
一、内容和内容解析 1.本节课内容在整个教材中的地位和作用。

概括地讲,本节课内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性。一元二次不等式的 解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化,对已学习过的集合知识的巩固和运 用具有重要的作用,也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内 容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整 个高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用。

根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学 生心理认知特征,我确定了四个层面的教学目标。第一层面是面向全体学生的知识目标:熟练掌握 一元二次不等式的两种解法,正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。第 二层面是能力目标,培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力,提高运算 和作图能力。第三层面是德育目标,通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识,向学生 逐步渗透辨证唯物主义思想。第四层面是情感目标,在教师的启发引导下,学生自主探究,交流讨 论,培养学生的合作意识和创新精神。 二、目标和目标解析 根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况 和学生心理认知特征,我确定了四个层面的教学目标。第一层面是面向全体学生的知识目标:熟练 掌握一元二次不等式的两种解法,正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。 第二层面是能力目标,培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力,提高运 算和作图能力。第三层面是德育目标,通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识,向学 生逐步渗透辨证唯物主义思想。第四层面是情感目标,在教师的启发引导下,学生自主探究,交流 讨论,培养学生的合作意识和创新精神。 三、教学重点、难点确定。

本节课是在复习了一次不等式的解法之后,利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法。 只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系,并利用其关系解不等式 即可。因此,我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法,关键是一元二次方程、一元二次 不等式和二次函数三者的关系。

四、教学问题诊断分析 学生在初中阶段学习了一元一次不等式的解法,让学生用类比的方法得出一元二次不等式的概 念,在此过程中学生对概念的对出容易忽略一元二次不等式是正是不等式的特征。在探索一元二次 不等式的解法过程中,得到有图像的方法解决的过程需要合理的引导。 五、教学过程 (一)课题导入 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分,因特网服务公司(ISP)的任务就是负责 将用户的计算机接入因特网,同时收取一定的费用。 某同学要把自己的计算机接入因特网,比如说在我们周围现有两家 ISP 公司电信和网通可供选 择。假如电信公司每小时收费 1.5 元(不足 1 小时按 1 小时计算) ;网通公司的收费原则如下图所示, 即在用户上网的第 1 小时内(含恰好 1 小时,下同)收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小 时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算) 。 一般来说,一次上网时间不会超过 17 小时,所以,不妨设一次上网时间总小于 17 小时。那么, 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信公司的上网费用小于或等于选择网通公司所需费用? 分析问题:假设一次上网 x 小时,则电信公司收取的费用为 1.5x(元) ,网通公司收取的费用为

x(35 - x) x(35 - x) ? 1.5 x , (元) ,如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少,则 20 20
整理得:一元二次不等式模型: x - 5x
2

0

………… ①

设计意图:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型(互联网的收费问题) ,引入新课。 (二)讲授新课 1、一元二次不等式的定义 象 x - 5x 不等式。 2、探究一元二次不等式 x - 5x 怎样求不等式 x - 5x 探究:
2 一元二次不等式不是我们熟悉的东西,但是大家看 f ( x) = x - 5x 和 x - 5 x = 0 这是什么?
2

2

0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次

2

0 的解集

2

0 的解集呢?

我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程,那么这三者之间又有着怎样的关系呢? 容易知道: 二次方程的有两个实数根: x1 = 0, x2 = 5 ,二次函数有两个零点: x1 = 0, x2 = 5 。

于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y = x2 - 5x 的图象,如图,观察函数图象,

可知: 当 x < 0,或 x > 5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y > 0,即 x - 5 x > 0 ;
2 当 x = 0 ,或 x = 5 时,函数图像与 x 轴相交,此时, y = 0 ,即 x - 5 x = 0 2

当 0 < x < 5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y < 0,即 x - 5 x < 0 ; 通过上述分析,我们可知,不等式 x - 5x
2

2

0 的解集是 {x | 0 #x

5} ,从而解决了开始时提

出的问题,所以我们可知当一次上网在 5 个小时之内(含 5 个小时)的时候,选择电信比选择网通 费用要少。当超过 5 个小时的时候,选择网通费用较少。因此,我们可以结合平时的上网时间合理 的来进行选择。 设计意图:从一个特殊的不等式出发,通过图像分析给出,一元二次不等式可以通过结合其所 对的二次函数图像来进行求解。 (3)探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式: ax + bx + c > 0(a > 0)或 ax + bx +c < 0(a > 0) ,怎样确定一元二次不等式 ax + bx + c >0 与 ax + bx + c <0 的解集呢? 组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑以 下两点: (1) 二次函数 y ? ax + bx + c 与 x 轴的相关位置的情况, 也就是一元二次方程 ax + bx + c =
2 2 2 2 2 2

0 的根的情况; (2)二次函数 y ? ax + bx + c 的开口方向,也就是 a 的符号。
2

总结讨论结果: (1)二次函数 y ? ax + bx + c (a > 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元
2

二次方程 ax + bx + c = 0 的判别式 D = b - 4ac 三种取值情况(Δ > 0,Δ = 0,Δ < 0)来确定,因 此,要分三种情况讨论;

2

2

(2)a < 0 可以转化为 a > 0。 归纳总结:一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a 设相应的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 则不等式的解的各种情况如下表: 判别式

0)的解集:

0) 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , D = b2 - 4ac ,

D = b2 - 4ac

D> 0

D= 0

D< 0

y = ax2 + bx + c
二次函数

y = ax2 + bx + c

y = ax2 + bx + c

y = ax2 + bx + c
( a > 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax + bx + c = 0

2

(a > 0)的根
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集

x1 , x2 ( x1 < x2 )

x1 = x2 = -

b 2a

无实根

{x x <

x1或x > x2 } 禳 镲 镲 x x? 睚 镲 镲 铪 两根之外

b 2a

R

{x x1 < x < x 2 }
两个之间

?

?

(4)用程序框图表示解决一元二次方程的解法步骤并概括步骤。 例题讲解: 例 1、解下列关于 x 的不等式 (1) x - x - 6 > 0 ; (2) 4 x - 4 x + 1 > 0 ; (3)解不等式 - x + 2 x + 3 > 0 解 :( 1 ) 因 为 D = (- 1) - 4创 1 (- 6) = 25 > 0 , 方 程 x - x - 6 = 0 的 两 根 是
2 2
2 2 2

x1 = 3, x2 = - 2 ,
所以,原不等式的解集是 {x x > 3或x < - 2} 。 (2)因为 D = 0 , 方程 4 x - 4 x + 1 = 0 的解是 x1 = x2 =
2

1 , 2

所以,原不等式的解集是 镲 x x? 睚
2

禳 镲 镲 镲 铪

1 。 2
化标准

(3)整理,得 x - 2 x - 3 < 0 , 因为 D = (- 2)2 - 4创 1 (- 3) = 16 > 0 , 方程 x2 - 2 x - 3 = 0 的解是 x1 = 3, x2 = - 1 所以不等式 x - 2 x + 3 < 0 的解集是 {x - 1 < x < 3},
2

判Δ ,求根

从而,原不等式的解集是 {x - 1 < x < 3}。 小结:解一元二次不等式的步骤:

下结论

(1)化标准:将不等式化成标准形式(右边为 0、最高次的系数为正) ; (2)判Δ ,求根:计算判别式的值,若值为正,则求出相应方程的两根; (3)下结论:注意结果要写成集合或者区间的形式

设计意图:通过三种不同形式的题目,让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了解,强 调一些注意事项,让学生规范操作。 (在第三个不等式上可以进行讨论) 。 备选例题(根据学生程度和课堂时间情况进行调整) 例 2、课本例题 4 的讲解。 设计意图:体会一元二次不等式在实际应用中的应用。 (三)随堂练习:课本第 80 的练习 1。 (四)课时小结 学生总结课堂学习的收获,教师补充。 (五)作业: 课本 80 页习题 3.2 A 组第 1、2 题。


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