甘肃省天水市一中2015届高三数学上学期第一学段段考(期中)试题 理


甘肃省天水市一中 2015 届高三数学上学期第一学段段考(期中)试 题 理
一.选择题(共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知等差数列 ?an ? 的前13 项之和为 39 ,则 a6 ? a7 ? a8 ? () A.6 B.9 2.下列命题的说法错误 的是() .. C.12 D.18

A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 , 则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” . B. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.对于命题 p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0. D.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题.

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标 10 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是() .
3.将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向右平行移动

? A.y=sin(2x- 10 )

B.y=sin(2x- ? ) 5 D.y=sin( 1 x- 20 ) 2

? C.y=sin( 1 x- ) 10 2

?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 4.x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
的值为( A. 1 或-1
2

y ? ax

取得最大值的最优解不唯一,则实数 a

) B.2 或 1
2

C.2 或 1

D.2 或-1

5.若函数 f ( x ) ? x ? A. 1 ? 2

1 ( x ? 2) ,在 x ? a 处取最小值,则 a =() x?2
C.3 D.4

B.1 ? 3

6.若曲线 y ? x 2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则() A. a ? 1, b ? 1 B. a ? ?1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1 D. a ? ?1, b ? ?1 2 7.当 x ? (1, 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围为() A. (??, ?5) B. (??, ?5] C. (?5, ??) D. [?5, ??) 8.已知 sin(α -2π )=2sin( 2 +α ) ,且α ≠kπ + 2 (k∈Z) ,则 值为() A. 3 B. 2 C. 4 D. 3
1

3?

?

3sin 2 ? ? sin 2? 的 3? cos 2?

2

3

3

4

9.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E1 ,F1 分别是线段 A1 B1 , A1C1 的中点,则直线 BE1 与 AF1 所成角的余弦值是() A.

30 30 B. 1 C. 10 15 2

D.

15 10

10.若 a ? 2 ,则函数 f ( x) ? () A.0 个零点

1 3 x ? ax 2 ? 1 在区间 (0, 2) 上恰好有 3
C.2 个零点 中 , D.3 个零点
_ A_

B.1 个零点
A ? BCD

11 . 如 图 , 四 面 体

AB ? AD ? CD ? 1


_ B _ C _ D

BD ? 2 , BD ? CD , 平面 ABD ? 平面 BCD , 若四面体 A ? BCD 的
四个顶点在同一个球面上,则该球的体积为() A. 2 ?
3

B.3?

C. 3 ?
2

D.2?

12.设奇函数 f ? x ? 在 ?? 1,1? 上是增函数,且 f ?? 1? ? ?1 ,当 a ? ?? 1,1? 时, f ?x ? ? t 2 ? 2at ? 1 对所有的 x ? ?? 1,1? 恒成立,则 t 的取值范围是() A. t ? 2 或 t ? ?2 或 t ? 0 C. t ? 2 或 t ? ?2 或 t ? 0 B. t ? 2 或 t ? ?2 D. ?2 ? t ? 2

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a ? ? ?1,1? , b ? ?1, 2 ? ,且 2a ? b / /(a ? ?b ) ,则 ? =

?

?



14.若某几何体的三视图如下,该几何体的体积为 2 ,则俯视图中的 x ? _____ .

15.数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , a1 ? 1 , an?1 ? 2S n ? 1(n ? 1) ,则 {an } 的通项公式为 16.已知函数 f ? x ? ? mx 2 ? ?m ? 3?x ? 1 至少有一个值为正的零点,则实数 m 的 取值范围_____________。 三.解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)已知 f ? x ? ? a ? b ,其中 a ? 2 cos x,? 3 sin 2 x , b ? ?cos x,1?? x ? R ? . (1)求 f ? x ? 的周期和单调递减区间;

.

?

?

2

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, f ? A? ? ?1 , a ? 7 , AB ? AC ? 3 ,求 边长 b 和 c 的值( b ? c ) . 18. (10 分)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a1 ? 1 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数 列; (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和。 ? an an ?1 ?

19 . ( 10 分 ) 2 . 如 图 , 在 四 面 体 ABCD 中 , ,点 E,F 分别是 AB,BD 的中 CB ? CD , AD? BD 点. 求证: (1)直线 EF // 面 ACD ; (2)平面 EFC ? 面 BCD . 20.(12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a, b 的值; (2)若对 x ? [ ?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围.

2 与 x ? 1 时都取得极值. 3

21. (14 分)已知在四棱锥 P-ABCD 中,AD//BC,

AD ? CD, PA=PD=AD=2BC=2CD,
E,F 分别为 AD,PC 的中点.

(Ⅰ)求证 AD ? 平面 PBE; (Ⅱ)求证 PA//平面 BEF; (Ⅲ)若 PB=AD,求二面角 F-BE-C 的大小. 22. (14 分)22.已知 f ( x) ? x 2 ? ax, g ( x) ? ln x, h( x) ? f ( x) ? g ( x) .

1 (1)若 h( x) 的单调减区间是 ( ,1) ,求实数 a 的值; 2 (2)若 f ( x) ? g ( x) 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
(3)设 h( x) 有两个极值点 x1 , x 2 , 且 x1 ? (0, ), 若 h( x1 ) ? h( x2 ) ? m 恒成立,求 m 的最大 值.

1 2

3

理科数学参考答案 1 . B 试 题 分 析 : 由 已 知 得 S13 ?

13(a1 ? a13 ) ? 13a7 ? 39 2

, 所 以 a7 ? 3 , 所 以

a6 ? a7 ? a8 ? 9.
2.D 试题分析:因为命题“若错误!未找到引用源。

x ?1

则 ” 的逆否命题为: “若

x ?1

,

则错误!未找到引用源。 ” .所以选项 A 中命题正确,不符合题意; 因为由

x ?1

可以得到 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0

成立, 反过来, 由 x 2 ? 3x ? 2 ? 0

不能得到 x ? 1 ,

所以“ x ? 1 ”是“错误!未找到引用源。 ”的充分不必要条件.因此选项 B 中的命题正确, 不符合题意; 因为由命题错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。所以选项 C 中的命题正确,不符合题意; 因为由 p ? q 为假命题,则 p, q 中至少一个为假命题.所以选项 D 符合题意.故选 D. 3 . C 试题分析:将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向右平行移动

? 个单位长度得到 10

? ? ? y ? sin ? x ? ? 10 ? ?

, 再把所得各点的横坐标伸长到原

来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是

4

? ? ?1 y ? sin? x ? ? 10 ? ?2



4.D 试题分析:如图所示, 5.C【解析】 试题分析:通过配凑将 f ( x) 化为 x ? 2 ?

1 ? 2( x ? 2) x?2

,符合基本不等式求最值“一

正 二 定 三 相 等 ” 的 条 件 , 由 基 本 不 等 式 f ( x) ? x ? = x?2?

1 ( x ? 2) x?2

1 ? 2( x ? 2) x?2

≥ 2 ( x ? 2) ?

1 ?2 x?2

=4,当且仅当 x ? 2 ?

1 ,即 x x?2

= a =3>2 时, f ( x) 取最小值 4 求出最小值及最小值时的 x 值. 6.A 分析:根据导数的几何意义求出函数 y 在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,建立 等量关系求出 a,再根据点(0,b)在切线 x-y+1=0 上求出 b 即可. 解答:解:∵y'=2x+a|x=0=a, ∴a=1,(0,b)在切线 x-y+1=0,∴b=1 故选:A
2 7.B 当 x ? (1, 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则应有如下式子成立:

?? ? m 2 ? 16 ? 0 ?m ? 4或m ? ?4 ? ? m ? ?5 ? 1? m ? 4 ? 0 ?? ? 4 ? 2m ? 4 ? 0 ? m ? ?4 ? ?
所以 m 的取值范围为 (??, ?5] ,故选择 B。 8 . D 试 题 分 析 : 由 已 知 得 : sin ? ? ?2 cos ? , 即 tan ? ? ?2 . ,

3sin 2 ? ? sin 2? 3sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 3 tan 2 ? ? 2 tan ? 4 ? ? ? 3 ? cos 2? 4 cos 2 ? ? 2sin 2 ? 4 ? 2 tan 2 ? 3
9.A 10.B f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? x( x ? 2a) ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? 2a ? 4. 易知 f ( x) 在 (0, 2) 上为减函数,且 f (0) ? 1 ? 0, f (2) ? 知,在函数 f ( x) ?

5 ? 4a ? 0, 3

由零点判定定理

1 3 x ? ax 2 ? 1 3

在区间 (0, 2) 上恰好有一个零点,选 B.

11.C 试题分析:由于平面 ABD ? 平面 BCD ,交线为 BD , CD ? BD , CD ? 平面 BCD ,因此 CD ? 平面 ABD , 由于 AB ? AD, AD ? CD ? D , 因此 AB ? 平面 ACD , ? CD ? AB , ? AB ? AC , 所 以 ?ABC 和 ?DBC 为 直 角 三 角 形 , 因 此 BC 的 中 点 为 球 心 , AC ? 2 直 径 长

BC ? 2 R ? 3

,半径 R ?

3 ,因此球的体积 2
5

V?

4 3 3 ?R ? ? 3 2

,故答案为 C.

12.A 奇函数 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是增函数,且, f (?1) ? ?1, 所以函数 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最 大值为 f (1) ? 1; 当 a ?[?1,1] 时, f ( x) ? t2 ? 2at ? 1对所有的 x ?[?1,1] 恒成立,等价于

1 ? t 2 ? 2at ? 1 当 a ?[?1,1] 时 恒 成 立 ; 整 理 得 2ta ? t 2 ? 0 当 a ?[?1,1] 时 恒 成 立 ; 设
2 ? g (? 1 )? ? t ?t ? ?2或t ? 0 2 ? t ?0 ,解得 ? g (a) ? 2ta ? t 2 ; 则 问 题 等 价 于 ? , 所以 2 t ? 0 或 t ? 2 g ( 1 ) ? t 2 ? t ? 0 ? ?

t? ? 2或 t ?0 或 t ?2故选 . A 1 13 . ? . 试 题 分 析 : ∵ a ? ? ?1,1? , b ? ?1, 2 ? 2
a ? ? b ? (?1 ? ? ,1 ? 2? )
又∵ 2a ? b / /(a ? ?b ) 14 . 2 ,

, ∴ 2a ? b ? (?1, 4)



?

?

,∴ ? (1 ? 2? ) ? 4(?1 ? ? ) ? ? ? ?

1 2

.

试题分析:由三视图可知,该几何体为四棱锥,高为 2 ,底面为直角梯形面积

1 S ? ?1 ? x ?2 ,因此 2 1 1 1 V ? sh ? ? 2 ? ?1 ? x ?2 ? 2 3 3 2
15. an ? 3n?1

,解得 x ? 2 . , an ?1 ? 3an

试题分析: 当 n ? 2 时, 所以 an ?1 ? an ? 2an an ? 2Sn ?1 ? 1 ,

(n ? 2 ) , 且 a2 ? 2 S1 ? 1 ? 3 , 又 a1 ? 1 , 故 的通项公式为 an ? 3n?1 .

a2 所以数列 {an } 是等比数列, 故 {an } ?3 , a1

16.m ? 1 【解析】当 m ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,可得 x ?

1 ? 0 ,满足题意;当 m ? 0 时, 3

f ( x) 的图象开口向上,且 f (0) ? 1 ,故必有两根均在原点的右侧,从而 ? ? 0 ,且 m?3 ? ? 0 ,解得 0 ? m ? 1 ;当 m ? 0 时, f ( x) 的图象开口向下,且 f (0) ? 1 ,故 2m
条件恒成立。 综上所述,所求 m 的取值范围为 m ? 1 17. (1) T ? ? , f ? x ? 的单调递减区间 k? ? , k? ? ?k ? Z ? ? 6 3? ? ? 试题解析:由题意知,

?

?

??

; (2) b ? 3, c ? 2

?? ? f ? x ? ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 3? ?
6

? f ?x ? 的最小正周期为 T ?
? y ? cos x 在

2? ?? 2
上单调递减,

?2k? ,2k? ? ? ??k ? Z ?
?
3 ? 2k? ? ?

? 令 2k? ? 2 x ?

,得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

? f ?x ? 的单调递减区间 ? ?k? ?
?

?
6

, k? ?

??
3? ?

?k ? Z ?
? ?

?? ? ? f ? A? ? 1 ? 2 cos? 2 A ? ? ? ?1 3? ?


,? cos? 2 A ?

??

? ? ?1 3?

?
3

? 2A ?

?
3

?

7? 3

,? 2 A ?

?
3

??, 即 A ?

? 3

? AB ? AC ? 3 ,即 bc ? 6 ,由余弦定理得
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ?b ? c ? ? 3bc
2

? 7 ? ?b ? c ? ? 18
2

,即 b ? c ? 5

又 b ? c ,? b ? 3, c ? 2 . 18.【答案】 (1) an ? 2n ? 1 (2) S n ?

n 2n ? 1

【解析】 (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,

S1 , S2 , S4成等比数列
(舍)

,? S 2 ? S1 S 4 , 即 ? 2+d ? ? 4 ? 6d
2 2

,解得 d ? 2 或 d ? 0

? an ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 1
(2)

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1 1 ? ? a1a2 a2 a3 ? 1 an an ?1

? Sn ?

?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 3 ? ? 3 5 ?

1 ?? ? 1 ?? ? ?? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

?

1? 1 ? n ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

19.试题解析: (1)∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点. ∴ EF 是 ?ABD 的中位线,∴ EF // AD , ∵ EF // ? 面 ACD , AD ? 面 ACD ,∴直线 EF // 面 ACD ; (2)∵ AD ? BD , EF // AD ,∴ EF ? BD , ∵ CB ? CD , F 是 BD 的中点,∴ CF ? BD
7

又 EF ? CF ? F , ∴ BD ⊥面 EFC , ∵ BD ? 面 BCD ,∴面 EFC ? 面 BCD 20. 【答案】 (1) a ? ? (2) c ? ?1 或 c ? 2 试 题 解 析 :( 1 ) 因 为 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , 所 以 f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 由

1 , b ? ?2 2

1 1 2 12 4 b ? ?2 , b ? ?2 f ' (? ) ? ? a ? b ? 0 ,f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , 当a ? ? , 2 2 3 9 3
时,所以 f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,列表如下

x
f ' ( x)
f ( x)

2 (??, ? ) 3

?

2 3

2 ( ? ,1) 3

1
0

(1, ??)

?
递增

0
极大值

?
递减

?
递增

极小值

符合函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ?

1 2 与 x ? 1 时都取得极值的要求,所以 a ? ? , 2 3

b ? ?2
3 (2) f ( x) ? x ?

1 2 2 ? ? x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] 由(1)可知 [ f ( x)]max ? max ? f (? ), f (2) ? 2 3 ? ?

当x ??

2 2 22 ? c 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c 所以 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要 时, f ( ? ) ? 3 3 27
2 2

使 f ( x) ? c , x ?[?1, 2] 恒成立, 则只需 [ f ( x)]max ? c2 即 c ? f (2) ? 2 ? c , 解得 c ? ?1 或

c ? 2.
21.试题解析: (Ⅰ)证明:因为 PA=PD=AD,E 为 AD 中 点 , 所 以 A D ? P E , 又 AD//BC, AD ? CD, 得

AD ? BE , 因 为 PE,BE 都 在 平 面 PBE 内 , 且 PE BE ? E ,所以 AD ? 平面 PBE;
(Ⅱ)证明:连接 AC 交 BE 于点 G,连接 FG, 因为 BC 平行且等于 AE,所以 G 为 BE 中点,又 F 为 PC 中点,所以 PA FG , 因为 PA ? 平面 BEF, FG ? 平面 BEF, 所以 PA//平面 BEF; (Ⅲ)取 CD 中点 H,连接 GH,FH

FG ? BE, GH ? BE ,??FGH 即为所求二面角的平面角, GH ED, GF AP ,而 ?PAD ? 60 ,

? ?FGH ? ?PAD ? 60 .
8

22. 【答案】 (1)3; (2) a ? (?? ,1] ; (21) 试题分析:

3 ? ln 2 . 4
1 2

(1)首先求出 h?( x) ,由 h( x) 的单调减区间是 ( ,1) 得: x1 ? 两根,从而确定实数 a 的值; (2)由题意得 x2 ? ax ? ln x( x ? 0) ? a ? x ?

1 , x2 ? 1 是方程 h?( x) ? 0 的 2

ln x ( x ? 0) , x

于是原问题转化为求函数 ? ( x ) ? x ?

ln x ( x ? 0) 的最值问题; x

( 3 ) 先 求 出 h?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 ( x ? 0) , 由 h( x) 有 两 个 极 值 点 x1 , x 2 得 : 方 程 x

1 1 2x2 ? a x? 1 ? 0 ( x ? 0有 ) 两 个 不 相 等 的 实 根 x1 , x2 , 且 x1 ? (0, ) , x1 x2 ? , 2 2

x2 ?

1 ? (1, ??) ,于是 h( x1 ) ? h( x2 ) 可化成关于 x 2 的函数,利用导数求其最值即可. 2 x1
2

试题解析:解:(1)由题意得 h ? x ? ? x ? ax ? ln x, ? x ? 0? ,则 h?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 ( x ? 0) x

要使 h( x) 的单调减区间是 ( ,1) 则 h?(1) ? h?( ) ? 0 ,解得 a ? 3 ;

1 2

1 2

另一方面当 a ? 3 时 h?( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 0) , x x
1 2

由 h?( x) ? 0 解得 x ? ( ,1) ,即 h( x) 的单调减区间是 ( ,1) . 综上所述 a ? 3 . (4 分)

1 2

2 (2)由题意得 x ? ax ? ln x( x ? 0) ,∴ a ? x ?

ln x ( x ? 0) . x

ln x x 2 ? ln x ? 1 ? ( x ? 0) ,则 ? ( x) ? 设 ? ( x) ? x ? x x2
∵ y ? x ? ln x ? 1 在 (0, ??) 上是增函数,且 x ? 1 时, y ? 0 .
2

∴ 当 x ? ( 0, 1) 时 ? ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1, ??) 时 ? ?( x) ? 0 , ∴ ? ( x ) 在 (0,1) 内 是 减 函 数 , 在
9

(1, ??) 内是增函数.
∴ ?min ? ? (1) ? 1 ∴ a ? ?min ? 1 , 即 a ? (??,1] . (3)由题意得 h( x) ? x2 ? ax ? ln x( x ? 0) ,则 h?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 ( x ? 0) x

∴方程 2x2 ? ax ? 1 ? 0( x ? 0) 有两个不相等的实根 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, )

1 2

又∵ x1 x2 ?

1 1 2 ? (1, ??) ,且 ax1 ? 2x12 ? 1, ax2 ? 2x2 ,∴ x2 ? ?1 2 2 x1
2 2 ? [ x12 ? (2 x12 ? 1) ? ln x1 ] ? [ x2 ? (2 x2 ? 1) ? ln x2 ] 2 ? x2 ? x12 ? ln

2 而h( x1 ) ? h( x2 ) ? ( x12 ? ax1 ? ln x1 ) ? ( x2 ? ax2 ? ln x2 )

x1 1 2 2 ? x2 ? 2 ? ln 2 x2 ( x2 ? 1) x2 4 x2

设 ? ( x) ? x ?
2

1 (2 x 2 ? 1)2 2 ? ? ln 2 x ( x ? 1) ? ( x ) ? ? 0( x ? 1) , , 则 4 x2 2 x3
3 3 ? ln 2 即 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ? ln 2 , 4 4

∴ ? ( x) 在 (1, ??) 内是增函数, ∴ ? ( x2 ) ? ? (1) ?

∴m ?

3 3 ? ln 2 ,所以 m 的最大值为 ? ln 2 . 4 4

10


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