2013年河南中原名校高三一模数学(文)试题及答案


河南省中原名校 2013 届高三下学期第一次联考数学 (文)试题

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河南省中原名校 2013 届高三下学期第一次联考数学 (文)试题参考答案
一.选择题 1. C 2. D 3. A 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. C. 10. C. 二.填空题 13. 11. A. 12. C

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7

14. y ? 4 x
2

15.

8

16.

1 2

三.解答题 17. (1)由条件知,当 cosC ? 0 时,不合题意;当 cosC ? 0 时,有

?cos C ? 0 ?cos C ? 0 ? ? ? 2 2 ?? ? 16 sin C ? 24 cos C ? 0 ?2 cos C ? 3 cos C ? 2 ? 0

…… 4 分

? cosC ?

1 ? ,角 C 的最大值为 2 3
3b

……6 分 ……9 分 ……12 分

2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cosC ? a ? b ? ab ? 3b ? c ?

? cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 4b 2 ? 3b 2 ? b 2 3 2? ? ? ? ,又 0 ? B ? ,? B ? 2ac 2 3 6 2 ? 2b ? 3b

18. (1)设 AC ? BD ? G ,连接 NG, MG . 易知 G 是 AC 的中点,又 N 是 PC 的中点,

M 为 AB 的中点,? NG // PA, MG // AD ,
又 NG ? MG ? G, PA ? AD ? A ,?平面 GMN // 平面 ADP

……3 分

? MN ? 平面 GMN ,? MN // 平面 ADP
(2)? BC ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB ,? BC ? PA ,? ?APB ? 90 ,
0

……6 分

? PB ? PA ,又 BC ? PB ? B ,? PA ? 平面 PBC ,? BN ? PA ……10 分 ? PB ? BC ,点 N 为 PC 的中点,? BN ? PC ,又 PA ? PC ? P , ? BN ? 平面 ACP ,又 BN ? 平面 BDN ,?平面 BDN ? 平面 ACP ……12 分
19.(1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,共有 10 种不同的 CO2 排放量结果: (80,110) (80,120) (80,140) (80,150) (110,120) (110,140) (110,150) (120,140) (120,150) (140,150) ……3 分

设“至少有一辆 CO2 排放量超标”为事件 A ,则事件 A 包含以下 7 种不同的结果: (80,140) (80,150) (110,140) (110,150) (120,140) (120,150) (140,150) 所以 P( A) ?

7 ? 0.7 10

……6 分

(2)由题意可知, x甲 ? x乙 ? 120 , x ? y ? 220 ,
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5S甲 ? (80 ? 120 ) 2 ? (110 ? 120 ) 2 ? (120 ? 120 ) 2 ? (140 ? 120 ) 2 ? (150 ? 120 ) 2 ? 3000 5S乙 ? (100 ? 120 ) 2 ? (120 ? 120 ) 2 ? ( x ? 120 ) 2 ? ( y ? 120 ) 2 ? (160 ? 120 ) 2
2

2

? 2000 ? ( x ? 120 ) 2 ? ( y ? 120 ) 2
2

……8 分

? x ? y ? 220 ,? 5S乙 ? 2000 ? ( x ? 120 ) 2 ? ( x ? 100 ) 2 ,令 x ? 120 ? t ,? 90 ? x ? 130,? ?30 ? t ? 10 , ? 5S乙 ? 2000 ? t 2 ? (t ? 20) 2
2 2 2
[

? 5S乙 ? 5S甲 ? 2t 2 ? 40t ? 600 ? 2(t ? 30)(t ? 10) ? 0 ? x甲 ? x乙 ? 120,S乙 ? S甲 ,?乙类品牌车碳排放量的稳定性好
20. 解: (1)由抛物线: y ? 16 x ,知其焦点 F (4,0) ,故椭圆 C 中 a ? 4 ,
2
2 2

……12 分

所以椭圆 C :

x2 y2 ? ?1 16 2
2 x ? b ,设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y 2 ) , 2

……4 分

(2)设直线 l 方程为 y ? ?

? 2 y?? x?b ? ? 2 2 2 由? ,整理得 5x ? 8 2bx ? 8b ? 16 ? 0. 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ? 16

x1 ? x 2 ?

8b 2 ? 16 8 2 b , x1 x 2 ? , 5 5
2 2

因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点,所以 ? ? 128b ? 20(8b ? 16) ? 0 , 解得 ? 10 ? b ? 10 . ……6 分

y1 y 2 ? (?

b2 ? 8 2 2 1 2b x1 ? b)( ? x 2 ? b) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? b 2 = . ……8 分 2 2 2 2 5
2 , y1 ), QN ? ( x2 ? 2 , y 2 ) , 2 , y1 )( x 2 ? 2 , y 2 ) ? x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? y1 y 2 ? 2

因为 QM ? ( x1 ?

所以 QM ? QN ? ( x1 ?

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?

9b 2 ? 16b ? 14 8 . 因为 ? 10 ? b ? 10 . ,所以当 b ? ? 时, QM ? QN 取得最小值,其最小值等于 5 9

?

38 . 9
'

……12 分

21. (1)由已知得 f ( x 0 ) ? 0 ,即 又 f ( x0 ) ? 0 ,即 e ln

e k k ? 2 ? 0 ,? x0 ? . x0 x0 e

……2 分

k ……4 分 ? e ? 0 ,? k ? 1 e k e( x ? ) e k e ,?1 ? k ? e ,? 1 ? k ? 1 . ……5 分 (2)由题意得 f ' ( x) ? ? 2 ? 2 e e x x x
由此得 x ? ? ,

?1 k ? ?k ? ? 时, f ( x) 单调递减; x ? ? ,1? 时, f ( x) 单调递增. ?e e? ?e ? ? ? 1 e ? ?
……7 分

故 f ( x) max ? ? f ( ), f (1)? , 又 f ( ) ? ek ? e, f (1) ? k .

1 e

e 1 ? k ? e 时, f ( x) max ? f ( ) ? ek ? e ; e ?1 e e 当 ek ? e ? k ,即 1 ? k ? 时, f ( x) max ? f (1) ? k e ?1
当 ek ? e ? k ,即 (3) 由题意知 g ( x) ? f ( x) ? k ?
' '

……9 分

e k ?1 ? ? 2 ? k ,? g ( x) 在 ? , e ? 内是减函数, x x ?e ?

e k ?1 ? ?1 ? ? g ' ( x) ? 0 在 ? , e ? 内恒成立. 即 ? 2 ? k ? 0 在 ? , e ? 内恒成立, x x ?e ? ?e ?

?k ?

e 1 x? x

在 ? , e ? 内恒成立,

?1 ?e

? ?

……11

又x?

1 1 ? 2 x ? ? 2 当且仅当 x ? 1时等号成立. x x

?

e 1 x? x

?

e ?e ? ,? k ? ? ,?? ? 2 ?2 ?

……12 分

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22. (1)连接 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角 与圆心角之间的关系, E A C O

AE ? ? AC 结合题中条件 ?
可得 ?CDE ? ?AOC , 又 ?CDE ? ?P ? ?PFD ,

F

B D

P

第 22 题图 ~ ?PCO , ?AOC ? ?P ? ?OCP ,从而 ?PFD ? ?OCP ,故 ?PFD PF PD ,由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 , ? ? PC PO PC ? PD 12 故 PF ? ……5 分 ? ?3 PO 4 (2)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r ,因为 OF ? 2 ? r ? 1 ,即 r ? 1 , 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT ,

则 PT ? PB ? PO ? 2 ? 4 ? 8 ,即 PT ? 2 2 .
2

……10 分

23.(1)由 ? ?

4 cos? 4 cos? 2 ,即 ? sin ? ? 2 cos? ,两边同乘以 ? 得: ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ?

? 2 sin 2 ? ? 2 ? cos? ,化为直角坐标系下的方程为 y 2 ? 2 x ,其焦点
到准线的距离为 1. (2)直线 ? ……5 分

? x ? 2t ? a ( t 为参数, a 为常数)的方程可化为 x ? 2 y ? a ,因为直线与曲线 C 有且只有一个公 ?y ? t

共点, 所以 ? 解得 a ? 2

?x ? 2 y ? a ? y ? 2x
2

只有一组解, 即方程 y ? 4 y ? 2a ? 0 有两个等根, 所以 ? ? (?4) ? 4 ? 2a ? 0 ,
2 2

……10 分

24.(1)解:由题设知: f ( x) 定义域 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ,如图, 在同一坐标系中作出函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | 和 y ? 5 的图像(如图所示) , 知定义域为 ?? ?,?2? ? ?3,?? ? ……5 分 (2)由题设知,当 x ? R 时, 恒有 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a ? 0 . 即 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?a , -3 -2 -1 又由(1) | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 3 , y 5 4 3 2 1 1 2 3 y=5 y=|x+1|+|x-2|

x

? ?a ? 3 ,即 a ? ?3 .

……10 分

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