03空间向量及其线性运算


2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b
a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

a b a
向量减法的三角形法则

ka ka

(k>0) (k<0)

向量的数乘

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;
A1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A1 A n

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n A1 ? 0

一、空间向量的有关概念: 空间向量:在空间中,具有大小和方向的量. ? ? ? ? a a 、 、 ……等小写字母来表示. b c 常用
? 1.向量 a

? c ? . b

的大小叫做向量的长度或模,记为

? a

??? ? ??? ? 2.可用一条有向线段 A B 来表示向量,向量 A B ??? ? 的模又记为 A B 就是线段 AB 的长度.

B
终点

类似于平面向量,为了研究的 A 方便起见, 起点 我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 (你认为应该怎样规定?)

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a
加法结合律
( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 成立吗? 加法结合律 数乘分配律
k ( a ? b ) ? k a+ k b

? b ? b ? a

数乘分配律
k ( a ? b ) ? k a+ k b

加法结合律: ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c )
O

O

a
C
A

a b
A

+

c
C

b

B

c

b

B

c

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;
A1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A1 A n

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n A1 ? 0

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
??? ? ??? ? (1 ) A B ? B C ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ( 2 ) A B ? A D ? A A1 ? ? ? ?? ? ? ?? ? 1 ??? ( 3 ) ( A B ? A D ? A A1 ) 3 ??? ? ? ? ?? ? 1 ? ? ?? (4) A B ? A D ? CC1 2 ??? ? ??? ? ???? 解 : ) A B ? B C= A C ; (1 ??? ? ???? ???? ? ???? A ( 2 ) A B ? A D ? A A1 ? A C ? ? ???? ???? ? 1 ??? 1 ( 3 ) ( A B ? A D ? A A1 ) ? 3 3

D1 A1 G D C B1

C1

M

???? ? ???? ???? ? B ? ???? AA ? AC ? CC1 ? AC1 ???? 1 ???? AC ? AG

??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? 1 ? ? ?? (4) A B ? A D + C C 1= A M . 2

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(1)
(2) (3)

AB 1 ? A1 D 1 ? C 1 C ? x AC
2 AD ? BD ? x AC

D1 A1 B1

C1

1

1

1

AC ? AB

1

? AD

1

? x AC

1

D B

C

A

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(1) 解 (1) AB 1 ? A1 D 1 ? C 1 C ? x AC AB 1 ? A1 D 1 ? C 1 C
D1 A1 B1 C1

? AB 1 ? B 1 C 1 ? C 1 C ? AC ? x ? 1.
(2) (3) 2 AD
1

D A
1

C B

? BD

? x AC

1

AC ? AB

1

? AD

1

? x AC

1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD
1

? BD

1

? x AC

1

(3)

AC ? AB 1 ? AD

1

? x AC

1

(2)

2 AD
1

1

? BD
1

1

? AD

? AD

? BD

1

? AD 1 ? ( BC

1

? BD 1 )

D1 A1 B1

C1

? AD 1 ? D 1 C 1 ? AC
1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(3) AC ? AB 1 ? AD
1

? x AC

1

( 3 ) AC ? AB 1 ? AD 1
? ( AD ? AB ) ? ( AA 1 ? AB ) ? ( AA 1 ? AD ) D1 ? 2 ( AD ? AB ? AA 1 )
? 2 AC

C1 B1

A1

1

? x ? 2.
A

D B

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD

边的中点,化简
A

(1)

AB ?

1 2

( BC ? BD )

(2)
D G B

AG ?

1 2

( AB ? AC )

M

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD

边的中点,化简
A

(1)

AB ?

1 2

( BC ? BD )

(2)
D G B

AG ?

1 2

( AB ? AC )

(1) 原式= AB ? BM ? MG ? AG

(2)原式
= AB ? BM ? MG ? 1 2 ( AB ? AC )

M

C

= BM ? MG ?

1 2

( AB ? AC )
? MG

= BM ? MG ? MB

练习2
A

在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下 列各式中的x,y.
E D C

(1) AC

'

? x ( AB ? BC ? CC )
' '

B

( 2 ) AE ? AA

? x AB ? y AD

A

D

B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律
( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律
( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

数乘分配律
k ( a ? b ) ? k a+ k b

数乘分配律
k ( a ? b ) ? k a+ k b

作业
空间四边形 ABCD 中,AB ? a ,BC = b ,AD ? c ,

试用 a , b , c来表示 CD , , BD . AC

思考题:考虑空间三个向量共面的充要条件.

思考:空间任意两个向量是否可能异面?
B

b

O

A

思考:它们确定的平面是否唯一?

a
结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。


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