2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第7讲 函数的图像课件 理


第7讲

函数的图像

最新考纲

1.理解点的坐标与函数图像的关系;2.会利

用平移、对称、伸缩变换,由一个函数图像得到另一
个函数的图像; 3. 会运用函数图像理解和研究函数的 性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题.

知识梳理

1.利用描点法作函数图像
其基本步骤是列表、描点、连线. 首先: (1)确定函数的定义域,(2)化简函数解析式, (3) 讨 论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次:列表 ( 尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值

点、与坐标轴的交点等),描点,连线.

2.函数图像间的变换
(1)平移变换

y=f(x)-k 对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀: 左加右减,上加下减.

(2)对称变换

(3)伸缩变换

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1) 当 x∈(0 ,+∞) 时,函数 y = |f(x)| 与 y = f(|x|) 的图像相
同.( × ) (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于原点对称.( × ) (3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关 于直线x=1对称.( √ )

(4)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图像关
于直线x=1对称.( × ) (5) 将函数 y = f( - x) 的图像向右平移 1 个单位得到函数 y = f(-x-1)的图像.( × )

2.(2016· 广州一调 ) 把函数 y = (x - 2)2 + 2 的图像向左平移 1 个
单位,再向上平移 1 个单位,所得图像对应的函数解析式 是( ) B.y=(x-3)2+1 D.y=(x-1)2+1

A.y=(x-3)2+3 C.y=(x-1)2+3

解析

把函数y=f(x)的图像向左平移1个单位,即把其中x换

成x+1,于是得y=[(x+1)-2]2+2=(x-1)2+2,再向上平 移1个单位,即得到y=(x-1)2+2+1=(x-1)2+3. 答案 C

3.点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周,
O,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图, 那么点P所走的图形是( )

答案 C

4.(2015· 营口调研)函数y=xsin x在[-π,π]上的图像是(

)

解析 容易判断函数 y=xsin x 为偶函数,可排除 D.当 0<x π < 2 时,y=xsin x>0,当 x=π时,y=0,可排除 B,C,故 选 A.
答案 A

5.(2015· 西安模拟)已知函数

? ?log2x(x>0), f(x)=? x 且关 ? (x≤0), ?2

于 x 的方程 f(x)-a=0 有两个实根,则实数 a 的取值 范围是________.

解析

当 x≤0 时,0<2x≤1,所以由图象

可知要使方程 f(x)-a=0 有两个实根,即 函数 y=f(x)与 y=a 的图象有两个交点,所 以由图象可知 0<a≤1.

答案 (0,1]

考点一 函数图像的作法
【例1】 分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2.
解 (1)首先作出 y=lg x 的图象 C1,然后将 C1 向右平移 1

个单位,得到 y=lg(x-1)的图象 C2,再把 C2 在 x 轴下方的 图象作关于 x 轴对称的图象,即为所求图象 C3:y=|lg(x- 1)|.如图 1 所示(实线部分). (2)y=2x 1-1 的图象可由 y=2x 的图象向左平移 1 个单位,


得 y=2x+1 的图象,再向下平移一个单位得到,如图 2 所示.

2 ? x -x-2(x≥0), ? 2 (3)y=x -|x|-2=? 2 其图象 ? ?x +x-2(x<0),

如图所 3 所示.

规律方法

(1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函

m 数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y=x+ x (m>0) 的函数是图象变换的基础.(2)常握平移变换、伸缩变换、对 称变换等常用方法技巧,可以帮助我们简化作图过程.

【训练 1】 分别画出下列函数的图象: 2x+1 (1)y=|x -4x+3|;(2)y= ;(3)y=10|lg x|. x +1
2



(1)先画函数y=x2-4x+3的图像,再将其x轴下方

的图像翻折到x轴上方,如图1.

2x+1 2(x+1)-1 1 (2)y= = =2- . x+1 x+1 x+1 1 可由函数 y=-x 向左平移 1 个单位, 再向上平 移 2 个单位得到,如图 2. x,x≥1, ? ? (3)y=10|lg x|=?1 如图 3. ,0<x<1, ? ?x

考点二

函数图象的辨识
? 1? f(x)=?x- x ?cos ? ?

【例 2】 (1)(2015· 浙江卷)函数 且 x≠0)的图象可能为(

x(-π≤x≤π

)

3x (x≤1), ? ? (2)函数 f(x)=? 1 则 y=f(1-x)的图象是 log x (x>1), ? ? 3 ( )

解析

(1)因为 f(-x)=cos(-x)=-cos x=-f(x),

所以函数 f(x)为奇函数,排除 A,B. 当 x=π 时,f(x)=cos π<0,排除 C,故选 D. (2)画出 y=f(x)的图象,再作其关于 y 轴对称的图象,得到 y=f(-x)的图象,再将所得图象向右平移1个单位,得到 y=f[-(x-1)]=f(-x+1)的图象.

答案 (1)D (2)C

规律方法

函数图像的辨识可从以下方面入手: (1) 从函数

的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图 像的上下位置; (2) 从函数的单调性,判断图像的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性; (4)从函数的特征 点,排除不合要求的图像.利用上述方法排除、筛选选项.

【训练2】 (1)函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图像大

致为(

)

(2)(2016· 杭州模拟)已知函数 f(x)的图象如 图所示,则 f(x)的解析式可能是( A.f(x)=x2-2ln |x| C.f(x)=|x|-2ln |x| B.f(x)=x2-ln |x| D.f(x)=|x|-ln |x| )

解析

(1)因为 f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-

cos x)· sin x=-f(x),且-π≤x≤π,所以函数 f(x)为奇 函数,图象关于原点对称,排除 B;当 x∈(0,π)时, 1-cos x>0,sin x>0,所以 f(x)>0,排除 A;又函 数 f(x)的导函数 f′(x)=sin2x-cos2x+cos x,所以 f′(0) =0,排除 D,故选 C.

(2)由函数图象可得, 函数 f(x)为偶函数, 且 x>0 时, 函数 f(x)的单调性为先减后增,最小值为正,极小值 点小于 1,分别对选项中各个函数求导,并求其导函 2 数等于 0 的正根,可分别得 1, 2 ,2,1,由此可得 仅函数 f(x)=x2-ln |x|符合条件.

答案 (1)C (2)B

考点三

函数图像的应用

[微题型1] 求解不可解方程根的个数问题 【例 3 - 1 】 已知函数 y = f(x) 的周期为 2 ,当 x∈

[ - 1 , 1] 时, f(x) = x2 ,那么函数 y =f(x) 的图像与
函数y=|lg x|的图像的交点共有( A.10个 B.9个 C.8个 ) D.7个

解析

根据 f(x) 的性质及 f(x) 在 [ - 1 , 1] 上的

解析式可作图如下:可验证当x=10时,y=
|lg 10|=1;当x>10时,|lg x|>1. 因此结合图像及数据特点知y=f(x)与y=|lg x| 的图像交点共有10个.

答案 A

规律方法

当某些方程求解很复杂时,可以考虑利用函数

的图像判断解的个数,即将方程解的个数问题转化为两个

函数图像的交点问题,对应图像有几个交点,则方程有几
个解.

[微题型 2]

求不等式的解集

【例 3-2】 已知函数 y=f(x)的图象是圆 x2+y2 =2 上的两段弧,如图所示,则不等式 f(x)> f(-x)-2x 的解集是________.
解析 由图象可知,函数 f(x)为奇函数,故原

不等式可等价转化为 f(x)>-x, 在同一直角坐 标系中分别画出 y=f(x)与 y=-x 的图象,由 图象可知不等式的解集为(-1,0)∪(1, 2].

答案 (-1,0)∪(1, 2]

规律方法

对于形如 f(x) >g(x)或可化为f(x)>g(x) 的不

等式,可以分别作出函数f(x),g(x)的图像,找到f(x)的 图像位于g(x)的图像上方部分所对应的x的取值范围, 即为不等式f(x)>g(x)的解集.

【训练 3】 (1)(2015· 北京卷)如图,函数 f(x)的 图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1) 的解集是( ) B.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1<x≤2}

A.{x|-1<x≤0} C.{x|-1<x≤1}

|x2-1| (2)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图 x-1 象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是________.

解析

(1)作出函数 y=log2(x+1)的图象,

如图所示:其中函数 f(x)与 y=log2(x+1)的 图象的交点为 D(1,1),结合图象可知 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}. 故选 C. |x2-1| (2)根据绝对值的意义,y= x-1
? ?x+1 =? ? ?-x-1

(x>1或x<-1), (-1≤x<1).

在直角坐标系中作出该函数的图象, 如图中实线所示.根据图 象可知,当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点.

答案 (1)C (2)(0,1)∪(1,4)

[思想方法]
1.识图 对于给定函数的图像,要从图像的左右、上下分布范围、变化 周期性,注意图像与函数解析式中参数的关系. 2.用图

趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、

要用函数的思想指导解题,即方程的问题函数解(方程的根即相
应函数图像与x轴交点的横坐标,或是方程变形后,等式两端相对 应的两函数图像交点的横坐标 ) ,不等式的问题函数解 ( 不等式的 解集即一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方时的相应 x的 范围).

[易错防范] 1.函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言,如从 f(-2x)的 1 图象到 f(-2x+1)的图象是向右平移2个单位,其中是把 x 1 变成 x-2. 2.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重 数形结合思想的运用. 3. 要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对 称的区别.


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