函数的图像与周期性、对称性(经典全面深刻版)


学科教师辅导讲义
学员姓名: 课时数: 学科组长签名 课题 年 级:高三 授课时间: 学科教师: 组长备注 辅导科目: 数学

第 05 讲:函数的图像与周期性、对称性-师
1、理解函数图象的意义,掌握两种画图方法——描点法和图象变换法;2、会利用 教学目标 函数图象,进一步研究函数的性质、方程、不等式中的问题;3、理解图象变换与函 数式变换之间的关系,领会知识间的联系.4、周期性的判定,以及由周期性与对称 性研究函数性质和由函数性质研究其图像的一般方法. 重点 1、函数图象画图方法;2、图象变换与函数式变换之间的关系.

难点

1、函数图象画图方法;2、图象变换与函数式变换之间的关系.

【备注】 1、 考虑到每位老师安排进度不一, 本教案例题与练习较多, 本课可作一次课教案 (需删减) , 亦可拆分为两次课时; 2、 考虑到所带学生程度不一,故在具体的练习中加以星号“★”标示难度,具体老师可按 难度不同进行适当删减; 3、 教案所述【教学建议】仅供参考; 4、 所属例题与相关练习部分优先选取历年一二模,高考题,具体标示在题中;

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一、函数的图像与变换
【知识网络】
? ?一般作图:列表、描点、连线 ? ? ?平移变换 ? ? ?作图 ?变换作图 ?伸缩变换 ? ? ? ?对称变换 ? ? ? ? ? 函数的图像 ? ? ?识图:分析函数的简单性质 ? ? ? ?用图:利用图象解决问题 ?
【教学建议】 通过后续知识讲解与例题分析让学生认识到画图只是基础与工具, 更重要的是通过图像 的识图与用图来解决实际问题. (1)识图:能根据图像的左右、上下分布范围、变化的趋势、对称性等方面研究函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等.注意图像与解析式中参数的关系. (2)用图:利用函数图像研究数量关系,如求参数的取值范围、判断方程根(或零点) 的个数(或范围)等.

【知识梳理】
一、画图像的方法——描点法和图象变换法; 由函数解析式,用描点法作图像应①化简解析式;②分析函数的性质如:分布范围、变 化趋势、对称性、周期性等;③选算对应值,列表,描点,连线. 二、常见的图象变换有:平移、伸缩、对称、旋转等. 1、平移变换

a ? 0, 右移 y ? f ? x ? ?????? ? y ? f ? x ? a? ; a ? 0, 左移
b ? 0, 上移 y ? f x ? b ; y ? f ? x ? ?????? ? ? ? b ? 0, 下移

2、 伸缩变换:

0 ? ? ? 1, 伸(横向) y ? f ?x ; y ? f ? x ? ?????????? ? ?

? ? 1, 缩(横向)
A ? 1, 伸(纵向)

0 ? A ? 1, 缩(纵向) y ? Af x . y ? f ? x ? ?????????? ? ?

【教学建议】在讲解平移与伸缩变换时,可举三角函数的图像变换实例予以说明. 3、对称变换:
x轴 (1) y ? f ? x ? ???? ; y ? ? f ? x ? (即把 ? x, y ? 换成 ? x, ? y ? ) 对称

y轴 (2) y ? f ? x ? ???? ; y ? f ? ?x ? (即把 ? x, y ? 换成 ? ? x, y ? ) 对称

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直线x ? a y ? f 2a ? x (即把 x, y 换成 2a ? x, y ) (3) y ? f ? x ? ????? ? ? ? ? ? ?; ? 对称 原点 y ? ? f ? x (即把 x, y 换成 ? x, ? y ) (4) y ? f ? x ? ???? ? ? ? ? ? ? ; 对称

直线y ? x y ? f ?1 x (即把 x, y 换成 y, x ) (5) y ? f ? x ? ????? ? ? ? ? ? ? ; ? 对称

保留y轴右边图像,去掉y轴左边图像 y ? f (6) y ? f ? x ? ????????????????? ? 并作关于y轴对称图像

? x ?;

【教学建议】可先分析函数 y ? f 再对函数 y ? 上所述.

? x ? 的奇偶性,易知其为偶函数,即图像关于 y 轴对称, f ? x ? 分段,发现当 x ? 0 时其 y ? f ? x ? ? f ? x ? ,从而易得图像的画法如

保留x轴上方图像 y ? f ? x? ; (7) y ? f ? x ? ????????????? 把下方图像对称到x轴上方

*(8) y ? f ? x ? ?????? ? y ? f (| x ? a |) 方法一:

如何变换 ?

a ? 0, 左移 保留x ? a右边图像,去掉x ? a左边图像 y ? f ? x ? ?????? ? y ? f ? x +a ? ?????????????????? ? y ? f (| x ? a |) a ? 0, 右移 并作关于x ? a对称图像
方法二:

保留y轴右边图像,去掉y轴左边图像 a ? 0, 左移 y ? f ? x ? ????????????????? ? y ? f ? x ? ?????? ? y ? f (| x ? a |) 并作关于y轴对称图像 a ? 0, 右移
*(9) y ? f ? x ? ?????? ? y ? f (| x | ?a)

如何变换 ?

a ? 0, 左移 保留y轴右边图像,去掉y轴左边图像 y ? f ? x ? ?????? ? y ? f ? x +a ? ????????????????? ? y ? f (| x ? a |) a ? 0, 右移 并作关于y轴对称图像
【教学建议】 (8) (9)两条变换是难点,也是重点分析内容,可举实例让学生自主探索, (如

f ? x ? ? x2 ? 4x ? 5 ,画出 y ? f ? x ? , y ? f ? x ? 1? , y ? f ? x ? 1 ? , y ? f ? x ? 1? 等
图像比较并自行探索分析)教师再总结归纳, 综合例题巩固 (如例 1 (4,6) 与其同类变,3,4, 5) ,让学生加深印象.

【典型例题】
例1、 分别画出以下函数的图像: (1) y ?| x ? x | ;
2

(2) y ? x ? | x | ;
2

(3) y ?| x ? 2 x | ?3 ;
2

(4) y ? lg | x ? 1| 【答案】略

(5) y ? ( x ? 1)

?2

?3

(6) y ? lg x ? 2

?

?

2

【同类变式 1】
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1、函数 y ?| x 2 ? 2 x | ?3 与函数 y ? a 交点的个数可能为_________; 【答案】0,2,3,4
x 2、 若直线 y ? 2a 与函数 y ? a ? 1 ? a>0,a ? 1? 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围

是_________. 【答案】 0< a<

1 2

3、 (上海区县一模)用 min ? a, b ? 表示 a , b 两数中的最小值,若函数 f ? x ? ? min x , x ? t 的图像关于直线 x ? ?

?

?

1 对称,则 t 的值为( 2 A、-2 B、 2 C、-1
2



D、 1

【答案】 D 【同类变式 2】 (上海区县二模) 方程 lg( x ? 100) ? ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8

7 ? (| x | ?200)(| x | ?202) 的解的个数为 2

【答案】B 本题摘自 2014 年浦东二模 (理)18 【同类变式 3】

? lg x , 0 ? x ? 10, ? ( 上 海 区 县 一 模 ) 已 知 函 数 f ? x? ? ? 1 , 若 a, b, c 互 不 相 等 , 且 ?? x ? 6, x ? 10 ? 2

f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? ,则 abc 的取值范围是(
A、 ?1,10? 【答案】C 【同类变式 4】 已知函数 f ? x ? ? lg | x ?1| , 若 x1 ?x2 ?x3 ?x4 则 B、 ? 5,6 ?

) C、 ?10,12? D、 ? 20, 24?

, 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,

1 1 1 1 ? ? ? ? x1 x2 x3 x4

【答案】2 【同类变式 5】
(上海区县二模)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a ( x ?

x 2 ? b ) 在区间 (??,??) 上既

是奇函数又是增函数,则函数 g ( x) ? log a | x | ?b 的图象是

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【答案】 A 解析: 本题摘自 2013 年长宁、 嘉定区高考二模数学 (理) 试题, 先求出 b ? 1, a> 1, 再令 h ? x ? ? loga x ,所求 g ? x ? ? h x ? 1 ,故利用:

?

?

h ? x ? ? log a x ? h ? x ? 1? ? h ? x ? 1? ? g ? x ? 即得!
例 2、 (上海区县二模) 设函数 f ? x ? ? x x ,将 f ? x ? 向左平移 a (a ? 0) 个单位得到函数 g ? x ? , 将 f ? x ? 向上平移 a (a ? 0) 个单位得到函数 h ? x ? ,若 g ? x ? 的图像恒在 h ? x ? 的图像的上方, 求正数 a 的取值范围? 【答案】 a ? 2 本题摘于上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题 例 3、 (上海区县二模)设函数 f ( x) ? ( x ? a) | x | ?b (1)当 a ? 2, b ? 3,画出函数 f ( x ) 的图像,并求出函数 y ? f ( x) 的零点; (2)设 b ? ?2 ,且对任意 x ?[?1,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

? x2 ? 2x ? 3 ? 【解析】 (2013 届浦东二模卷理科题)(1) f ( x) ? ? 2 ? ?2 x ? x ? 3

x?0 x?0

, 画图正确

2 当 x ? 0 时 , 由 f ( x) ? 0 , 得 x ? 2 x ? 3 ? 0 , 此时无实根 ; 当 x ? 0 时 , 由 f ( x) ? 0 , 得

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x ? ?1 , x ? 3(舍) . 所以函数的零点为 x ? ?1
(2)由 f ?x ? <0 得, ( x ? a) | x |? 2 . 当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式恒成立. 当 0 ? x ? 1 时, a ? x ?

2 2 .令 g ( x ) ? x ? ,则 g ( x) 在 0 ? x ? 1 上单调递增, x x 2 2 , 令 h( x ) ? x ? , x x

∴ a ? gmax ( x) ? g (1) ? ?1 ; 当 ?1 ? x ? 0 时 , a ? x ? 则 h( x) 在[- 2,0) 上 单调递减 , 所以

h( x) 在 ?1 ? x ? 0 上单调递减.∴
例 4、已知函数 f ? x ? ? 1 ?

a? h )? h (? 1 )? ? 3 ma( x x

1 . x

(1) 证明:当 0<a<b 且 f ? a ? ? f ?b? 时, ab>1 ; (2) 若存在实数 a , b ,使得函数 ? a, b? 上的值域为 ?ma, mb? ? m ? 0? ,求实数 m 的 取值范围. 【 分 析 】 当 a<0<b 或 0<a<b 时 , 均 有 f ? a? ? f ? b ? ,即函数 y ? k 的图像与

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f ? x? ? 1?

1 的图像(如图所示)均有两个交点. x

【解析】 (1) 因为 0<a<b , f ? a ? ? f ?b? ,所以 得 ab>1

1 1 1 1 1 , ? 1 ? 1 ? ? ? ? 2>2 a b a b ab

1 ,则 f ? x ? 是减函数, (2)①若 0<a<b<

?1 ? 1 ? mb ? ?1 ? a ? mab ?a ?? ? a ? b, 矛盾 ? ? 1 ? 1 ? ma ?1 ? b ? mab ? ?b
1<b ,则 ma ? 0 ,不合; ②若 0<a<
③若 1 ? a<b ,则 f ? x ? 是增函数,

? 1 1 ? ? ma 2 ? 1 ? a ? 1?1 ?1 1? 1 ? ? ? 1? ? m ? 1 ? ? ? ? ? , ? 0< ? 1? ? m ? ? 0, ? . ? ? ? ? ? x ? ? x?x ? x 2? 4 ? ? 4? ?1 ? 1 ? mb ? ? b
④若 a<b<0 ,则 f ? x ? 是增函数,

? 1 1 ? ? ma 2 ? ? a ? 1?1 ?1 1? 1 ?1 ? ? m ? 1 ? ? ? ? ? , ? <0 ? ? m ? ? ??, 0 ? ? ? ? ? ? ? x?x ? x 2? 4 ? x ? ?1 ? 1 ? mb ? ? b
综上,实数 m 的取值范围是 ? ??,0 ? ? ? 0, ? . 【教学建议】 本节内容较综合,故选取例题部分尽量顾虑到各种函数,如一次函数类(同类变式 1 中题 3)二次函数类(例 3) ,分式函数类(例 4) ,指数函数(同类变式 1)对数函数(同 类变式 3,4,5)等.可根据实际情况予以安排.

? ?

1? 4?

【课堂练习】
一、选择题 1.★★(上海区县二模)方程 lg x2 ? 4 ? (| x | ?200)(| x | ?202) 的解的个数为( C ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】C 本题摘于 2014 年浦东二模 (文)18

2.★★定义域和值域均为 ?? a, a ? (常数 a ? 0 )的函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 的图像如图 所示,给出下列四个命题: (1)方程 f ?g ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (2)方程 g? f ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (3)方程 f ? f ?x ?? ? 0 有且仅有九个解;

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(4)方程 g?g ?x ?? ? 0 有且仅有一个解. 那么,其中正确命题的个数是( (A)1 【答案】 B 3.★(上海区县二模)函数 f ( x) ? 2
y y
|log 2 x|

) (C)3 (D)4

(B)2

? x?

1 的大致图像为 x
y



) .
y

1

1 1
x

1 1 (B)
x

1 1 (C)
x

O

O

O

O

(A)

1 (D)

x

【答案】D. 本题摘自 2009 年静安区二模 4 . ★ ( 上 海 区 县 二 模 ) 已 知 f ( x) ? ? 是……………………( )

? 1, 0 ) , ? x ? 1,x ? [
2 ? x ? 1, x ? [0,1],

则下列函数的图像错误的

(A) f ( x ? 1) 的图像

(B) f (? x) 的图像 (C) f (| x |) 的图像

(D) | f ( x) | 的图像

【答案】D(本题摘自宝山区 2013 届期末 18.)
2 5.★★(上海区县一模)定义域为 R 的函数 f ( x) ? ax ? b x ? c ( a ? 0) 有四个单调区间,

则实数 a, b, c 满足( )

A. b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0

B. b 2 ? 4ac ? 0

C. ? b ? 0
2a

D. ? b ? 0
2a

【答案】 (虹口区 2013 届高三一模)17、C; 二、填空题
?log2 x ( x ? 0) 6.★★(上海区县一模)已知 f ( x) ? ? x ,且函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? a 有且仅有 ( x ? 0) ?3

两个零点,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (??,1]



本题摘自黄浦区 2013 届高三一模

7.★(上海区县二模)定义区间 [ x1 , x2 ] ( x1 ? x 2 ) 的长度为 x 2 ? x1 ,已知函数 y ? | log 1 x |
2

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的定义域为 [ a , b ] ,值域为 [0 , 2] ,则区间 [ a , b ] 长度的最大值与最小值的差为 【答案】3 本题摘自上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科



8.★(上海区县二模)已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ,若 a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的 取值范围是 . 【答案】 (0,??) 本题摘自上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科 9.★★(上海区县二模)某同学对函数 f ( x) ? x cos x 进行研究后,得出以下五个结论: ①函数 y ? f ( x) 的图象是中心对城图形; ②对任意实数 x , | f ( x) | ? | x | 均成立; ③函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等; ④函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? x 有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等; ⑤当常数 k 满足 | k | ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? kx 有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④⑤(本题摘自上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)

? 1 ( x ? 1) ? 10.★★★(上海区县二模)设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? | x ? 1 | ,若关于 x 的方程 ? 1 ( x ? 1 ) ?
2 2 ? ____________. f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有三个不同的实数解 x1 , x 2 , x3 ,则 x12 ? x 2 ? x3

【答案】5(本题摘自上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理) ) 三、解答题
| x| 11.★(上海区县二模)设 x ? R , f ( x ) ? ( ) .

1 2

(1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数 f ( x) 的大致图像; (2)若不等式 f ( x) ? f (2 x) ? k 对于任意的 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【答案】本题摘自上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科 (1)

(2) f ( x ) ? ( ) , f (2 x) ? ( )
| x|

1 1 ( ) | x| ? ( ) 2| x| ? k 恒成立. 2 2 1 | x| 1 2 令 ( ) ? t ? (0, 1] , 则 y ? t ? t ( 0 ? t ? 1 ) ,对称轴 t ? ? ,则当 t ? 1 时, 2 2
2| x|

1 2

1 2

对于任意 x ? R ,

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y max ? 2 , 所以 k ? 2 即可.
12.★★★(上海区县一模)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x? | x ? a | . (1)当 a ? 2 时,写出函数 f ( x) 的单调递增区间(不必证明) ; (2)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 在区间 [1 , 2] 上的最小值; (3) 设a ? 0, 函数 f ( x) 在区间 (m , n) 上既有最小值又有最大值, 请分别求出 m 、n 的取值范围(用 a 表示) . 【答案】本题摘自嘉定区 2013 届高三一模
2 ? ?( x ? 1) ? 1 , x ? 2 a ? 2 f ( x ) ? x ? | x ? 2 | ? (1)当 时, , ? 2 ? ?? ( x ? 1) ? 1 , x ? 2

所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (?? , 1] 和 [2 , ? ?) . (2)因为 a ? 2 , x ? [1 , 2] 时,

a? a2 ? . f ( x) ? x ? (a ? x) ? ? x ? ax ? ?? x ? ? ? 2? 4 ? a 3 当 1 ? ? ,即 2 ? a ? 3 时, f ( x) min ? f (2) ? 2a ? 4 . 2 2 a 3 当 ? ,即 a ? 3 时, f ( x) min ? f (1) ? a ? 1 . 2 2
2

2

所以, f ( x) min ? ? (3) f ( x) ? ?

?2a ? 4 , 2 ? a ? 3 . a?3 ?a ? 1 ,

? x( x ? a ) , x ? a . ? x( a ? x) , x ? a
y

①当 a ? 0 时,函数的图像如图所示,

? a 1? 2 ?y ? 由? 解得 x ? a, 4 2 ? y ? x( x ? a ) ?
2

a 4

2

O a

a

x

所以 0 ? m ?

a 1? 2 ,a ? n ? a. 2 2

2
y

②当 a ? 0 时,函数的图像如图所示, 由?

? a 1? 2 ?y ? ? a, 解得 x ? 4 2 ? y ? x(a ? x) ?
2

a a 2
O

所以,

a 1? 2 a ? m ? a, ? n ? 0. 2 2

a ? 4

2

x

13.★★(上海春季高考) 设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f ( x) 的图像; (2) 设集合 A ? x f ( x) ? 5 ,

?

?

B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) .试判断集合 A 和 B
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之间的关系,并给出证明; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f ( x) 图像的 上方.

【解析】 (本题摘自 2006 年上海春季高考) : (1)

(2) 方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4 和 2 ? 14 , 由于 f ( x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此

A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? .
由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A (3) 【解法一】 当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .
2 ? g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4x ? 5) ? x ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? ? x ? ?

?

?

?

?

4?k? k 2 ? 20k ? 36 ? ? 2 ? 4

2

? k ? 2, ?

4?k ?1. 又 ? 1 ? x ? 5 , 2 4?k 4?k ① 当 ?1? , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2
g ( x) m i n? ?

k 2 ? 20k ? 36 1 2 ? ? ?k ? 10? ? 64 . 4 4
则 g ( x) min ? 0 .

?

?

? 16 ? (k ? 10) 2 ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 ,
② 当

4?k ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , g ( x) min = 2k ? 0 . 2 由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ? [ ? 1, 5 ] .

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因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f ( x) 图像的上方. 【解法二】当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

? y ? k ( x ? 3), 由? 得 x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? 0 , 2 ? y ? ? x ? 4 x ? 5,
令 ? ? (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ? 18 , 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,当 k ? 2 时, y ? 2( x ? 3) 的图像与函数 f ( x) 的图像只交于一点

( 1, 8 ) ; 当 k ? 18 时, y ? 18( x ? 3) 的图像与函数 f ( x) 的图像没有交点.
如图可知,由于直线 y ? k ( x ? 3) 过点 ( ? 3, 0 ) ,当 k ? 2 时,直线 y ? k ( x ? 3) 是由直线

y ? 2( x ? 3) 绕点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图
像位于函数 f ( x) 图像的上方.

二、函数的周期性与对称性
【知识网络】
?函数的周期性 ? ? ?轴对称 ? ?自身对称性 ? ? 函数周期性与对称性 ?函数的对称性 ? ?中心对称 ? ? ?不同函数之间对称性 ? ?对称性与周期性联系 ?
内同则周期, 内反则对称

【知识梳理】
一、周期性 1、 定义: 对于 f ? x ? 定义域内的每一个 x , 都存在非零常数 T , 使得 f ? x ? T ? ? f ? x ? 恒成立,则称函数 f ? x ? 具有周期性, T 叫做 f ? x ? 的一个周期,则 kT ? k ? Z , k ? 0? 也是

f ? x ? 的周期,所有周期中的最小正数叫最小正周期.
2、几种具有周期性的抽象函数: 函数关系 ( x ? R) 周期
a
2a 2a

f ( x ? a ) ? f ( x) f ( x ? a ) ? ? f ( x)

f ( x ? a) ? ?

1 f ( x)

f ( x ? a) ? f ( x ? a) f ( x ? a) ? ? f ( x ? a)
f ( x ? a) ? 1? f ? x? 1? f ? x?
1? f ? x? 1? f ? x?

2a 4a 2a

f ( x ? a) ? ? f ( x ? a) ?

4a

1? f ? x? 1? f ? x?
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4a

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二、函数的对称性 1、函数自身的对称性 (1)轴对称 若函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? ,则 f ? x ? 的图像关于直线 x ? (由“ x 的和一半 x ?

a?b 对称; 2

? a ? x ? ? ? b ? x ? ”确定) .
2

特例:若函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? f ? a ? x ? ,则 f ? x ? 的图像关于直线 x ? a 对称; 若函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? ?x ? ,则 f ? x ? 的图像关于直线 x ? 0 ( y 轴)对称; (2)中心对称 若函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? ? f ?b ? x ? ,则 f ? x ? 的图像关于点 ?

? a?b ? , 0 ? 对称; ? 2 ?

特例:若函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? ? f ? a ? x ? ,则 f ? x ? 的图像关于点 ? a, 0 ? 对称; 若函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? ? f ? ? x ? ,则 f ? x ? 的图像关于点 ? 0, 0 ? (即原点)对称; *拓展: 若函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? ? c , 则 f ? x ? 的图像关于点 ? 对称; 综上:可以看出“内同则周期,内反则对称” . 2、不同函数之间的对称性 (1)轴对称 函数 y ? f ? a ? x? , y ? f? b? x ? 的图像关于直线 x ?

? a?b c ? , ? ? 2 2?

b?a 对称(由相等求出 x 即 2

a ? x ? b ? x 决定) .
特例:函数 y ? f ? a ? x ? , y ? f ? a ? x ? 的图像关于直线 x ? 0 对称. (2)中心对称 函 数 y ? f ? a? x 的图像关于 ? f b? ?x ? , y? ? ?

?b?a ? ,0? 对称 (由 相等求出 x 即 ? 2 ?

a ? x ? b ? x 决定) .
三、对称性与周期性 (1)若 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 、 x ? b(a ? b) 对称,则 f ( x) 是周期函数, 且周期 T ? 2 a ? b ; 特例:若 y ? f ( x) 是偶函数且其图像关于直线 x ? a 对称,则周期 T ? 2 a ;

(b, 0) 对称,则 f ( x) 是周期函数,且周期 T ? 2 a ? b ; (2)若 y ? f ( x) 关于点 (a, 0)、
(3)若 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 、对称中心 (b, 0)(a ? b) 对称,则 f ( x) 是周 期函数,且周期 T ? 4 a ? b ; 特例:若 y ? f ( x) 是奇函数且其图像关于直线 x ? a 对称,则周期 T ? 4 a
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综上:若函数的图像同时具备两种对称性,两条对称轴,或两个对称中心,或一条对称 轴一个对称中心,则函数必定为周期函数. 【教学建议】 以上的知识讲解比较抽象,建议一边利用抽象函数取相关点分析、证明,一边举实例予 以说明,如在讲解“三、对称性与周期性”时可举 y ? sin x 函数的对称性验证说明: 其图像关于 x ?

?
2

x? ,

3? ? 3? ? ? 对称, 则周期 T ? 2 ? 图像关于 ? 0,0? , ?? ,0? ? ? ? 2? ; 2 ? 2 2?

对称,则周期 T ? 2 ?? ? 0? ? 2? ;图像关于 ? 0, 0 ? , x ?

?
2

对称,则周期 T ? 4 ?

?
2

? 2?

【典型例题】
例 1、解决下列基础问题: (1) (上海区县一模)定义在 R 上的函数 f ?x ? 2? ? f ?x ? ? 0 ,且 y ? f ?x ? 1? 是奇函数, 给出下列命题: ①函数 y ? f ?x ? 的最小正周期是 2; ②函数 y ? f ?x ? 的图像关于点 ?? 1,0? 对 称;③函数 y ? f ?x ? 的图像关于 y 轴对称.其中真命题是 【答案】本题摘自 2010 年虹口一模 14 题,②③ (2) (上海区县二模)对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题: ①若 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图像关于点 A(1,0)对称; ②若函数 f ( x ? 1) 的图像关于直线 x ? 1对称,则 f ( x) 为偶函数; ③若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x), 则 2 是 f ( x) 的一个周期; ④函数 y ? f ( x ? 1)与y ? f (1 ? x) 的图像关于直线 x ? 1 对称. 其中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号) . 【答案】本题摘自 2012 年长宁二模(理)①②③④ ( 3 )设 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且 y ? f (2 x ? __________对称, y ? f ( x) 关于__________对称. (填入命题的编号) .

1 ) 为偶函数,则 y ? f (2 x) 图像关于 2

1 1 ②x ? 4 2 ( 4 ) 设 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 则 下 列 命 题 中 , ① 若 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 则
【答案】① x ?

y ? f ( x ? 2) 图像关于 y 轴对称;②若 y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则 y ? f ( x) 图像关于直线

x ? 2 对称;③若 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ,则函数 y ? f ( x) 图像关于直线 x ? 2 对称;④
y ? f ( x ? 2) 与 y ? f (2 ? x) 图像关于直线 x ? 2 对称,其中正确命题序号为_______.
【答案】②④ (5)已知函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 满足 f (2 ? x) ? f (4 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 有 5 个 实根,则这 5 个实根之和为( A、5 【答案】C B、10 ) C、15 D、18

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(6) (2010 上海春 18) 已知函数 f ( x) ? (A) (2, ) 【答案】C

1 2

1 的图像关于点 P 对称, 则点 P 的坐标是 ( ) 4 ? 2x 1 1 (B) (2, ) (C) (2, ) (D) (0, 0) 4 8

(7) 在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数, 且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数, 则 f ( x) A.在区间 [?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 B.在区间 [?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 C.在区间 [?2, ?1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 D.在区间 [?2, ?1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 【答案】由 f ( x) ? f (2 ? x) 可知 f ( x) 图像关于 x ? 1 对称, 又因为 f ( x) 为偶函数图像关于 x ? 0 对称, 可得到 f ( x) 为周 期函数且最小正周期为 2,结合 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函 数,可得如右 f ( x) 草图.故选 B. (8)已知函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 和 x ? 4 都对称, 且当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x .求 f ?19.5? 的值. 【答案】 f ( x) 是以 4 为周期的函数. 同时还知 f ( x) 是偶函 ? f ?19.5? ? f ? 4 ? 4 ? 3.5? ? f ?3.5? ? f ? ? 4 ? ? ?0.5 ? ? ? ? f ? ?0.5 ? , 数,所以 f ? ?0.5? ? f ? 0.5? ? 0.5 . (9) (2011 年上海高考理) 设 g ( x) 是定义在 R 上, 以周期为 1 的函数, 若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 ?3, 4? 上的值域为 ? ?2,5? ,则 f ( x ) 在区间 ? ?10,10? 上的值域为_____________. 【答案】 [?15,11] (10) (上海三模联考) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2] 上 是 增 函 数 , 若 函 数 F ( x) ? f ( x)? m (m ? 0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 零 点 ( )

x1 , x2 , x3 , x4,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
【答案】-8(本题摘自上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 ) 例 2、 ( 上 海 三 模 联 考 ) f ( x) 为 R 上 的 偶 函 数 , g ( x) 为 R 上 的 奇 函 数 且 过

?? 1,3? , g ( x) ?

f ( x ? 1) ,则 f (2012 ) ? f (2013 ) ? __________.

【答案】 (本题摘自上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题) ?3 例 3、 (上海区县二模)函数 f ( x) 的定义域为实数集 R , f ( x) ? ? 1

? x, 0 ? x ? 1, ? 对 ( ) x ? 1, ? 1 ? x ? 0. ? ? 2
).

于任意的 x ? R 都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) . 若在区间 [?1,3] 上函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 恰 有四个不同的零点,则实数 m 的取值范围是……………………………………(

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? 1? ( A) ?0, ? ? 2?

? 1? ( B ) ?0, ? ? 4?

? 1? (C ) ? 0, ? ? 2?

? 1? ( D ) ? 0, ? ? 4?

【答案】本题摘自 2014 宝山二模(理)D 例 4、 ( 上 海 区 县 一 模 ) 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 ? x | x ? R, x ?

? ?

k ? ,k ? Z? 且 2 ?

f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , f ( x ? 1) ? ?
(1)求证: f ( x) 是奇函数;

1 1 ,当 0 ? x ? 时, f ( x) ? 3x . 2 f ( x)

1 , 2k ? 1)(k ? Z )上的解析式; 2 1 (3)是否存在正整数 k , 使得当 x∈ (2k ? , 2k ? 1) 时,不等式 log3 f ( x) ? x2 ? kx ? 2k 有解? 2
(2)求 f ( x) 在区间 (2k ? 证明你的结论. 【答案】本题摘自 2010 年长宁一模 (1) 由 f ( x ? 1) ? ?

1 1 得 f ( x ? 2) ? ? ? f ( x) , 由 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 得 f ( x) f ( x ? 1)
1 2

f ( x) ? f (? x) ? 0 ,故 f ( x) 是奇函数
(2)当 x∈ ( ,1) 时, 1 ? x ? (0, ) ,? f (1 ? x) ? 31? x . 而 f (1 ? x) ? ? 当 x∈ (2k ?

1 2

1 1 x ?1 ? ,? f ( x) ? 3 . f (? x) f ( x)

1 1 , 2k ? 1)(k ? Z)时, x ? 2k ? ( ,1) ,? f ( x ? 2k ) ? 3 x?2k ?1 , 2 2

因此 f ( x) ? f ( x ? 2k ) ? 3 x?2k ?1 .
2 (3)不等式 log3 f ( x) ? x 2 ? kx ? 2k 即为 x ? 2k ? 1 ? x ? kx ? 2k ,

即 x 2 ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 . 令 g ( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? 1,对称轴为 x ? 因此函数 g ( x) 在 ( 2k ?

k ?1 1 ? 2k ? , 2 2

1 ,2k ? 1) 上单调递增. 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 所以 g ( 2k ? ) ? 0 ,因此 x ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 在 ( 2k ? ,2k ? 1) 上恒成立, 2 2 因此不存在正整数 k 使不等式有解.
例 5(上海区县二模)已知函数 f ( x ) ?

2 因为 g (2k ? ) ? (2k ? ) ? (k ? 1)( 2k ? ) ? 1 ? (2k ? )( k ? ) ? 1 ,又 k 为正整数,

bx ? 5 ( x ? ?a , a 、 b 是常数,且 ab ? ?5 ) ,对 x?a 定义域内任意 x ( x ? ?a 、 x ? ? a ? 3 且 x ? a ? 3 ) ,恒有 f (3 + x) + f (3 - x) = 4 成立.

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(1)求函数 y = f ( x) 的解析式,并写出函数的定义域; (2)求 x 的取值范围,使得 f ( x) ? [0 , 2) ? (2 , 4] . 【答案】 (本题摘自 2010 年嘉定黄埔二模) 解 (1) ∵ f ( x) ? ∴

bx ? 5 ab ? 5 ?b? (ab ? ?5),f (3 ? x) ? f (3 ? x) ? 4 , x?a x?a

b?

ab ? 5 ab ? 5 2a ? 6 ?b? ? 4, 即 (2b ? 4) ? (ab ? 5) ? 0 对使 3? a ? x 3? a ? x (3 ? a ? x)(3 ? a ? x)
?2a ? 6 ? 0 ?a ? ?3 . , ? ?2b ? 4 ? 0 ?b ? 2
2x ? 5 , 定义域为 (??,3) ? (3, ??) . x?3
(2, 4] ,

等式有意义的任意 x 恒成立 ∴ ? 于是,所求函数为 f ( x) ? (2) ∵ f ( x) ?

2x ? 5 1 ? 2? ( x ? 3) , f ( x) 稳 [0, 2) x?3 x?3

∴ 0 ? f ( x) ? 2或2 ? f ( x) ? 4 ,即 0 ? 2 解不等式 0 ? 2

1 < 2,得x x- 3 5 2 7 2

1 1 < 2或2 < 2 + 4. x- 3 x- 3 5 1 7 34,得x ;解不等式 2 < 2 + . 2 x- 3 2
(2, 4] .

∴当 x ? ( ト, ] [ , +

) 时, f ( x) 稳 [0, 2)

【课堂练习】
1、★★(上海区县一模)已知函数 f ? x ? 的定义域为 R ,且对任意 x ? Z ,都有 若 f ? ?1? ?2 则 f ?2 , f 1? ? 3? , f ? x ? ? f ? x ?1? ? f ? x ? 1? . 0 1 2 【答案】 (本题摘自 2012 长宁一模文 14) ?5 2、 ★★ (上海高考) 设 g ( x) 是定义在 R 上. 以 1 为周期的函数, 若 f ( x) ? x ? g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [ ?2, 5] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为 【答案】 (本题摘自 2011 上海高考文 13) [?2, 7]
2 3、★(上海区县一模) 定义在 R 上的函数 f ( x) ,当 x ? (? 1, 1] 时, f ( x) ? x ? x ,且

0 2 ? ? ? f2 ?1

? ? ______.



对任意的 x 满足 f ( x ? 2) ? af ( x) (常数 a ? 0 ) ,则函数 f ( x) 在区间 (5, 是( )

7] 上的最小值

A. ?

1 3 a 4

B.

1 3 a 4

C.

1 4a 3

D. ?

1 4a 3

【答案】 (本题摘自 2012 虹口一模 17) D 4、★★定义在实数集上的奇函数 f ( x) 恒满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 x ? (?1,0) 时,

f ( x) ? 2 x ?
【答案】 ?1

1 ,则 f (log2 20) ? ________. 5

5、★★★★(上海区县二模)已知函数 y ? f ( x), x ? D ,如果对于定义域 D 内的任意实数
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x ,对于给定的非零常数 m ,总存在非零常数 T ,恒有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函
数 f ( x) 是 D 上的 m 级类增周期函数,周期为 T .若恒有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函 数 f ( x) 是 D 上的 m 级类周期函数,周期为 T . (1)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax 是 ?3, ? ? ? 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数,求实数 a 的
2

取值范围; (2)已知 T ? 1 , y ? f ( x) 是 ?0, ? ? ? 上 m 级类周期函数,且 y ? f ( x) 是 ?0, ? ? ? 上的 单调递增函数,当 x ? ?0, 1? 时, f ( x) ? 2 ,求实数 m 的取值范围;
x

(3)下面两个问题可以任选一个问题作答,问题(Ⅰ)6 分,问题(Ⅱ)8 分,如果你选做 了两个,我们将按照问题(Ⅰ)给你记分.
2 (Ⅰ)已知当 x ? ?0, 4?时,函数 f ( x) ? x ? 4 x ,若 f ( x) 是 ?0, ? ? ? 上周期为 4 的 m 级类

周期函数,且 y ? f ( x) 的值域为一个闭区间,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使函数 f ( x) ? cos kx 是 R 上的周期为 T 的 T 级类周期函数,若存 在,求出实数 k 和 T 的值,若不存在,说明理由. 【解答】本题摘自 2012 年上海浦东二模题 23 题 (1)由题意可知: f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 即 ? ( x ? 1) 2 ? a( x ? 1) ? 2(? x 2 ? ax) 对一切 ?3, ? ? ? 恒成立, ∵x?3

?x ? 1?a ? x 2 ? 2 x ? 1 ,

2 x 2 ? 2 x ? 1 ? x ? 1? ? 2 ? ∴a ? , ? ?x ? 1? ? x ?1 x ?1 x ?1 令 x ? 1 ? t ,则 t ? ?2, ? ? ? ,
2

2 g (t ) ? t ? 在 ?2, ? ? ? 上单调递增, t ∴ g (t ) min ? g (2) ? 1,
∴ a ? 1. (2)∵ x ? ?0, 1? 时, f ( x) ? 2 ,
x

∴当 x ? ?1, 2? 时, f ( x) ? mf ( x ? 1) ? m ? 2 即 x ? ?n, n ? 1? 时, f ( x) ? m ? 2
n

x ?1



n x?n 当 x ? ?n, n ? 1? 时, f ( x) ? mf ( x ? 1) ? m 2 f ( x ? 2) ? ? ? mn f ( x ? n) ? m ? 2 ,

x ?n

, n ? N* ,

∵ f ( x) 在 ?0, ? ? ? 上单调递增, ∴ m ? 0且m ?2
n n ?n

? m n?1 ? 2 n??n?1? ,

即 m ? 2.

(3)问题(Ⅰ)∵当 x ? ?0,4? 时, y ? ?? 4,0? ,且有 f ( x ? 4) ? m f ( x) , ∴当 x ?? 4n, 4n ? 4? , n ? Z 时,

f ( x) ? mf ( x ? 4) ?

当 0 ? m ? 1 时, f ( x) ? ?? 4,0? ;

? mn f ( x ? 4n) ? mn ?? x ? 4n ? ? 4 ? x ? 4n ?? , ? ?
2

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当 ? 1 ? m ? 0 时, f ( x) ? ?? 4,?4m?; 当 m ? ?1 时, f ( x) ? ?? 4,4? ; 当 m ? 1 时, f ( x) ? ?? ?,0? ; 当 m ? ?1 时, f ( x) ? ?? ?,??? ; 综上可知: ? 1 ? m ? 0 或 0 ? m ? 1 . 问题(Ⅱ) :由已知,有 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 对一切实数 x 恒成立, 即 cos k ( x ? T ) ? T cos kx 对一切实数恒成立, 当 k ? 0 时, T ? 1 ; 当 k ? 0 时, ∵ x ? R ,∴ kx ? R , kx ? kT ? R ,于是 cos kx ? ?? 1, 1?, 又∵ cos(kx ? kT ) ? ?? 1, 1? , 故要使 cos k ( x ? T ) ? T cos kx 恒成立,只有 T ? ?1 , 当 T ? 1 时, cos(kx ? k ) ? cos kx 得到 k ? 2n? , n ? Z 且 n ? 0 ; 当 T ? ?1 时, cos(kx ? k ) ? ? cos kx 得到 ? k ? 2n? ? ? , 即 k ? (2n ? 1)? , n ? Z ; 综上可知:当 T ? 1 时, k ? 2n? , n ? Z ; 当 T ? ?1 时, k ? (2n ? 1)? , n ? Z .

【课后练习】 第一块 函数的图像与变换
一、选择题

xa x (0 ? a ? 1) 的图像的大致形状是 1、★(上海区县二模)函数 y ? x

(

)

【答案】D(本题摘自上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 ) 2 、 ★ ★ ( 上 海 区 县 二 模 ) 定 义 一 种 新 运 算 : a ?b ? ?

?b,(a ? b) ,已知函数 ?a,(a ? b)

4 f ( x) ? (1 ? ) ? log 2 x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 恰有两个零点,则 k 的取值范围为( ). x

( A)

?1, 2?



(B)

. (1, 2 )

(C ) (0, 2)

. ( D)

. ( 0 , 1)

【答案】B; (本题摘自杨浦区 2014 届高三 1 月一模,理) 3、★★(上海区县一模)函数 y ? 2 的定义域为 [ a, b] ,值域为 [1,16] , a 变动时,方程
x

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b ? g (a) 表示的图形可以是
b 4 -4 A. O a -4 B. O 4 a -4 C. O b b 4 a



) b 4 -4 D. O a

【答案】B(本题摘自长宁区 2014 届高三 1 月一模,理)

?m 1 ? x 2 , x ? ?? 1,1? ? 4、★★★(上海区县二模)已知以 4 为周期的函数 f ( x ) ? ? , ?x , x ? ?1,3? ?? cos 2 ?
其中 m ? 0 .若方程 f ( x) ?

x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为 3





( A) (

15 8 , ) 3 3

(B) (

15 , 7) 3

? 4 8? (C ) ? , ? ? 3 3?

4 ( D) ( , 7) . 3

【答案】 B (本题摘自 2013 届浦东二模卷理科题) 二、填空题 5、★将函数 y ? log 1 x 的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位,得图象 c ,图象 c1 与 c 关于原点
2

x 对称,图象 c 2 与 c1 关于直线 y ? x 对称,那么 c 2 对应的函数解析式是 y ? ?1 ? 2

6、★(上海区县二模)若曲线 y ? 2 ? 1与直线 y ? b 没有公共点,则实数 b 的取值范围是
x

. 【答案】 ??1,1? (本题摘自上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)
2 7、★★关于 x 的方程 x ? 4 x ? 3 ? a ? x 有三个不相等的实数根,则实数 a 的值是



【答案】 ?1 或 ?

3 4
2 ? ?ax ? 2 x ? 1 , x ? 0 , 是偶函数, 直线 y ? t 与 2 ? ? x ? bx ? c , x ? 0 ?

8、 ★★★(上海区县二模)已知函数 f ( x) ? ?

函数 f ( x) 的图像自左至右依次交于四个不同点 A 、 B 、 C 、 D ,若 | AB |?| BC | ,则实数

t 的值为________.
【答案】 (本题摘自嘉定区 2014 届高三 1 月一模,理 13) 9、★★(上海区县三模)已知函数 f ( x) ? ? 取值范围为 .

7 4
有三个不同零点,则实数 a 的

? x ? 1 ? a ( x ? 0) ? log 2 x ( x ? 0)

【答案】(本题摘自上海市十校 2010-2011 学年第二学期高三第二次联考理科) [?1, 0) 10、 ★★ (上海区县二模) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) , 对任意的 x ? R 均有 f ( x ? 4) ? f ( x)
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成立,当 x ? [0, 两点的距离等于

2] 时, f ( x) ? x ? 3 ,则直线 y ?


9 与函数 y ? f ( x) 的图像交点中最近 2

【答案】(本文摘自上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)1 11、★★(上海区县一模)已知函数 f ( x) ? x2 ? x ,若 f ? log 3 的取值范围是 .

? ?

1 ? ? ? f (2) ,则实数 m m ?1 ?
8 9

【答案】 (本文摘自 2008 学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第 10 题)(? ,8) 12、★分别作下列函数的图象: (1) y ? x2 ? 2 x ? 2 (3) y ?
2 (2) y ? x ? 2 x ? 1

x ?1 x ?1

( 4) y ? 1 ?

1 x ?1

【答案】略 13、★★★(上海区县二模)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? x) , a ? R 。 (1)当 a ? 4 时,画出函数 f ( x ) 的大致图像,并写出其单调递增区间; (2)若函数 f ( x) 在 x ? [0,2] 上是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (3)若不等式 x ? (a ? x) ? 6 对 x ??0 , 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【解析】(本题摘自上海市徐汇区 2 011 年 4 月高三二模) (1) a ? 4 时, f ( x) ? ? 单调递增区间为 [0,2] 。 (2)解一:设 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 当 f ( x) 在 x ? [0,2] 上单调递减时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 对 0 ? x1 ? x2 ? 2 都成立, 即 ( x1 ? x2 )[a ? ( x1 ? x2 )] ? 0 , a ? x1 ? x2 对 0 ? x1 ? x2 ? 2 都成立, 所以 a ? 0
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2 ? ? ? x ? 4 x ( x ? 0) , f ( x) 的图象如图,图象画出, 2 ? ? x ? 4 x ( x ? 0)

解二:数形结合方法: x ? ?0, 2? 时, f ( x) ? x(a ? x) ? ? x ? ax ? ?( x ? ) ?
2 2

a 2

a2 4

若函数 f ( x) 在 x ? [0,2] 上是单调递减函数,则 所以 a ? 0 (3)当 x ? 0 时, 0 ? 6 成立,所以 a ? R ; 当 0 ? x ? 2 时, a ? x ? 设 g ( x) ? x ?

a ?0 2

6 6 6 ,即 a ? x ? ,只要 a ? ( x ? ) min ; x x x

6 , g ( x) 在 (0, 6] 上递减,在 [ 6, ? ?) 上递增, x

当 0 ? x ? 2 时, g ( x)min ? g (2) ? 5 ; 所以 a ? 5 综上, x (a ? x) ? 6 对 x ? [0 , 2 ] 恒成立的实数 a 的取值范围是 (?? , 5 ] 。

第二块 函数的周期性与对称性
一、填空题 1、★若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称。 2、★已知函数 f ( x ) ?

x?a 图象的对称中心是 (4,1) ,则 a ? x ? a ?1

3

mx 2 ? 2mx ? m ? 1 (m ? R) ,则该函数的对称轴方程为 x ? 1 3、★已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 2a ? 3 4、★★设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的函数,若 f (?1) ? 1, f (2) ? ,则实数 a ?1 a 的取值范围是 (??, ?1) (4, ??)
5、★已知 f ( x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的图象的对称轴方程是 x ?

1 2

6、★★若函数 y ? f ( x) 满足:对于任意的 x ? R 有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 成立,且当 x ??1, 2? 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ……+ f (2006) = 0 7、★函数 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴正方向平移 2 个单位,得图象 c1 ,图象 c1 关于 y 轴对称图 象为 c 2 ,那么 c 2 对应的函数解析式是 y ? f (? x ? 2) 8、★★定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.若将方 程 f ( x) ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 至少为 5 。 9、若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ? 0 ,则 y ? f ( x) 图象的对称中心是 (1, ?1) 10、★(1)函数 y ? f (k ? x) 和函数 y ? f ( x ? k ) 的图象关于直线 x ? k 对称; (2)函数 y ? f (k ? x) 和函数 y ? f (k ? x) 的图象关于直线 x ? 0( y轴) 对称。

11、 ★★ (上海区县二模) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) , 当 x ? [0 , 2] 时,

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f ( x) ? x 2 ? 2x ,则当 x ? [?4 , ?2] 时,函数 f ( x) 的最小值为_______________.
1 (嘉定区 2009 年二模) 4 12、★★(上海区县一模)已知函数 y ? f ( x ) 既为偶函数,又是以 6 为周期的周期函数,若当
【答案】 ?

x ? [0, 3] 时, f ( x ) ? ? x 2 ? 2 x ? 4, 则当 x ? [3, 6] 时, f ( x ) ? ____________.
【答案】 ? x ? 10 x ? 20 (本题摘自上海市卢湾区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 9 题)
2

二、解答题 13 、 ★ ★ 已 知 函 数 f ( x) ? m( x ? ) 的 图 象 与 函 数 h( x ) ?

1 x

1 1 (x ? ) ? 2 的 图 象 关 于 点 4 x

A(0,1) 对称。
(1)求 m 的值; (2)若 g ( x ) ? f ( x ) ? 【答案】 (1) m ? (2) a ? 3 14、★★★设 f ( x)是(??,??) 上的奇函数,对任意实数 x,都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当

a 在 ? 0, 2? 上为减函数,求 a 的取值范围。 4x

1 4

?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? sin x 。
(1)试证:直线 x = 1 是函数 f ( x) 图象的一条对称轴; (2)证明:函数 f ( x) 是以 4 为周期的函数; (3)求 x ? [1,5] 时, f ( x) 的解析式; (4)若集合 A ? x f ( x) ? a, x ? R 是非空集合,求 a 的取值范围。 【答案】 (1)提示:证明 f (1 ? x) ? f (1 ? x) (2)提示:证明 f ( x ? 4) ? f ( x) (3) f ( x) ? ? (4) a ? sin1
2 15 、 ★ ★ ★ ( 上 海 区 县 二 模 ) 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx 对 任 意 x ? R 均 有

?

?

? sin(2 ? x) x ?[1,3] ?sin( x ? 4) x ? (3,5]

3 f ( x ? 4) ? f (2 ? x) 成立,且函数的图像过点 A (1, ) . 2 (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式;
(2)若不等式 f ( x ? t ) ? x 的解集为 [4,m] ,求实数 t、m 的值. 解 (2010 年黄埔二模) (1)Q f ( x) = ax + bx对任意x ? R恒有f ( x 立,且图像过点 A(1, ) ,
2

4) = f (2 - x) 成

3 2

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ì ? a( x - 4)2 + b( x - 4) = a(2 - x) 2 + b(2 - x), ? ? \ í 3 ? a+ b= . ? ? 2 ?
化简 a( x - 4)2 + b( x - 4) = a(2 - x)2 + b(2 - x),得(2b - 4a)x + (12a - 6b) = 0 .此一 元一次方程对 x ? R 都成立,于是, ? í

ì ? 2b - 4a = 0 ,即 b = 2 a . ? ? ? 12a - 6b = 0

ì 1 ? ? a= ? 进一步可得 í 2. ? ? ? ?b= 1
\ 所求函数解析式为f ( x) =
(2) Q f ( x - t )

1 2 x + x. 2

x的解集为[4,m] ,
2tx + t 2 - 2t 0的解集是[4,m],且m > 4.

\

1 ( x - t ) 2 + x - t ? x,即x 2 2

ì 4 + m = 2t ? \ 4、m是方程x2 - 2tx + t 2 - 2t = 0的两根 .于是, ? ,解此方程组, í 2 ? ? ? 4m = t - 2t 祆 ì m = 12 m= 0 镲 ? m = 12 得镲 . 或 (舍去) .∴ ? 眄 í 镲 ? t= 8 t= 2 镲 ? 铑 ?t= 8

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