等边三角形的性质及判定


一、什么是等腰三角形? 二、等腰三角形有什么性质?
1、从边看: 等腰三角形的两腰相等 AB=AC 2、从角看:等腰三角形的两底角相等 ∠B=∠C

A

B

D

C

3、从重要线段看: 等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线和底边上的高相互重合。

4、从对称性看:

等腰三角形是轴对称图形

我们知道,等腰三角形中有一种特殊的等腰三角 形,它就是—等边三角形,也叫正三角形。 定义:三边都相等的三角形叫等边三角形。 符号语言: ∵ △ABC是等边三角形 ∴ AB=BC=CA

A

B

C

问题:等边三角形有哪些性质呢? 类比等腰三角形的性质,从以下四个方面探讨等边三角形的性质: 1、从边看 3、从重要线段看 2、从角看 4、从对称性看

1、根据定义,得出等边三角形边之间的关系
? ?

性质1: 等边三角形的三条边都相等。

2、探究等边三角形角之间的关系 思考: 等边三角形的三个内角有什么关系? 为什么?你能证明吗?

猜想: 性质 2 等边三角形的三个内角都相等,

并且每一个角都等于60°。
已知:如图, △ABC 中,AB=AC=BC 求证:∠A=∠B=∠C=60° 证明:

A



AB=AC

∴ ∠B=∠C(等边对等角)
同理,∠A =∠C ∴ ∠A=∠B=∠C

B
符号语言:
∵ AB=AC=BC

C

又∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°

∴ ∠A=∠B=∠C=60 °

3、探究等边三角形“三线合一”的性质 思考:等边三角形有“三线合一”的性质吗? 为什么? A

性质3:

B

C

等边三角形每条边上的中线,高和所对角的角平 分线都相互重合。(即“三线合一”的性质对于每条 边都适用)

4、探究等边三角形的对称性
思考: 等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴? A

B
性质4、

C

等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴。

总结:等边三角形的性质
1 .等边三角形的三条边都相等;
2.等边三角形的三个内角都相等,且都等于60 °
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线 都三线合一. 4.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.

探究等边三角形的判定方法
1、定义法:三条边都相等的三角形是等边三角形。 2、猜想: 判定1 三个内角都相等的三角形是等边三角形。
已知: 如图,△ABC中,∠A=∠B=∠C

求证: △ABC是等边三角形
证明: ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC(等角对等边) 同理,BC=AC ∴AB=BC=AC

A

符号语言:

B

C

∵ ∠A=∠B=∠C

∴ △ABC是等边三角形

∴ △ABC是等边三角形

3、猜想:有一个内角等于 60°的等腰三角形 判定2

是等边三角形。
当顶角为60°时,两个底角各为60°. 当底角为60°时,顶角为60°. 符号语言: ∵ AB=BC ,∠B=60°

A

B

C

∴△ABC是等边三角形

三边都相等的三角形是等边三角形。 ∵AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形。 ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴△ABC是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 ∵ ∠A=600 , AB=BC ∴△ABC是等边三角形

例:如图,在等边三角形ABC中,DE∥BC, 请问△ADE是等边三角形吗?试说明理由.
A

变式练习 B

D

E C

上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,

△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.

如图,已知,△ABC是等边三角形,BD 是中线,BD=6,延长BC到E。使CE=CD, 求DE长。
A D

B

C

E

例4

等边三角形ABC的周长等于21㎝, 求:(1)各边的长; (2)各角的度数。 B C 解:(1)∵AB=BC=CA, 又 ∵AB+BC+CA=21㎝(已知) ∴AB=BC=CA=21/3=7(㎝) (2)∵AB=BC=CA,(已知) ∴∠A =∠B=∠C=60° (等边三角形的每个内角都等于60°)

A

(选择)
1、下列四个说法中,不正确的有(B ) (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 ?三个角都相等的三角形是等边三角形。 ?有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 ?有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 ?有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。
C) 2、等边三角形的对称轴有( (A)1条(B)2条(C)3条(D)4条 3、等边三角形中,高、中线、角平分线共有(A) (A)3条(B)6条(C)9条(D)7条

等边三角形的性质:

名 称
等 边 三 角 B 形

图 形

性 三条边都相等



A

三个角都相等,且都为60°
C

三线合一 轴对称图形,有三条对称轴

等边三角形的判定:

名 称
等 边 三 角 B 形

图 形





三条边都相等的三角形
A

三个角都等于60°的三角形
C

有一个角等于60°的等腰

三角形

将两个含有30°的直角三角板如图摆放在 一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
A

B

C

D

∵△ABC与△ADC关于AC轴对称 ∴AB=AD △ABD是等边三角形 又∵AC⊥BD∴BC=DC=1/2AB A 你还能用其他 方法证明吗?

B

C

D

在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°

在直角△ABC中 ∵∠A=30° ∴AC=2BC

┓ B

C

下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°立柱 BC 、 DE要多长?
B

D A E C

解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A=30° 可得 2BC=AB, 2DE=AD ∴BC=1/2 ×7.4=3.7m 又 AD=1/2 AB ∴DE=1/2 AD=1/2 ×3.7=1.85m 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.

1 如图,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线 交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.
A M C D B

2 如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线 MN交BC于M,交AB于N, M 求证:CM=2BM
B N A

C

2、在Rt△ABC 中, 如果∠BCA= 90° , ∠A= 30 °,CD 是高, (1)BD=1,则BC、AB各等于多少; (2)求证:BD=1/2BC=1/4AB C 解(1)由已知可求得 ∠BCD= 30 ° 于是在Rt△ADC 与Rt△BDC A D B 中用本定理得BC=2,AB=4 (2)在Rt△ADC 与Rt△BDC运用本定理 BD=1/2BC BC=1/2AB ∴ BD=1/2BC=1/4AB

要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、 丙三家农户去种植,如果∠C=90°∠A= 30°,要使这三家农户所得土地的大小和 形状都相同,请你试着分一分,在图上画出 来. A


C

B

请你说一说这节课的收获和体 验让大家与你一起分享 ?

教师寄语

愿你用勤奋的汗水 浇灌智慧的花朵


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