2016


3.4

导数在实际生活中的应用

1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.(重点) 2.提高学生综合运用导数知识解题的能力,培养化归转化的思想意识.(难点)

[基础·初探] 教材整理 导数的实际应用 阅读教材 P93~P96 练习以上部分,完成下列问题. 1.导数的实际应用 导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以 归结为函数的最值问题,从而可用导数来解决. 2.用导数解决实际生活问题的基本思路

1.判断正误: (1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题.( ) )

(2)应用导数解决实际应用问题,首先应建立函数模型,写出函数关系式.( (3)应用导数解决实际问题需明确实际背景.( )

【解析】 (1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解. (2)√.求解实际问题一般要建立函数模型,然后利用函数的性质解决实际问题. (3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√
2

2.生产某种商品 x 单位的利润 L(x)=500+x-0.001x ,生产________单位这种商品时 利润最大,最大利润是________. 【解析】 L′(x)=1-0.002x,令 L′(x)=0,得 x=500,

1

∴当 x=500 时,最大利润为 750. 【答案】 500 750 [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[小组合作型] 面积容积的最值问题 有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r,计划将此钢板切割成 等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上.设 CD=2x,梯形的面 积为 S. (1)求面积 S 关于 x 的函数,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值. 【精彩点拨】 (1)建立适当的坐标系,按照椭圆方程和对称性求面积 S 关于 x 的函数 式;(2)根据 S 的函数的等价函数求最大值. 【自主解答】 (1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系如图所示,则点 C 的坐标为(x,y).∵点 C 在椭圆上,∴点 C 满足方程 2+

x2 y2 =1(y≥0), r 4r2

1 2 2 2 2 2 2 则 y=2 r -x (0< x <r),∴S= (2x+2r)·2 r -x =2(x+r) r -x (0< x <r). 2 (2)记 S=4(x+r) (r -x )(0<x<r) 则 S′=8(x+r) (r-2x)
2 2 2 2

2

1 令 S′=0,解得 x= r 或 x=-r(舍去). 2 当 x 变化时, S′,S 的变化情况如下表:

x S′ S

?0,r? ? 2? ? ?
+ ?
2

r
2 0 3 3r 2
2

?r,r? ?2 ? ? ?
- ?
2

1 3 3r 3 3r ∴x= r 时,S 取得最大值 ,即梯形面积 S 的最大值为 . 2 2 2

1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据 题设确定出自变量及其取值范围, 利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数, 利用导 数的方法来求解. 2.选择建立适当的坐标系,利用点的坐标建立函数关系或曲线方程,以利于解决问题.

[再练一题] 1.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器的底面的一边长 比另一边长长 0.5 m,那么高为多少时,容器的容积最大?并求它的最大容积. 【解】 设容器底面一边长为 x m,则另一边长为(x+0.5)m,
?3.2-2x>0, ? 14.8-4x-4?x+0.5? 高为 =(3.2-2x)m 由? 4 ?x>0, ?
3 3

解得 0<x<1.6.
2

设容器的容积为 y m ,则 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x +2.2x +1.6x, 4 2 2 所以 y′=-6x +4.4x+1.6.令 y′=0, 则 15x -11x-4=0, 解得 x1=1, x2=- (舍 15 去). 在定义域(0,1.6)内只有 x=1 处使 y′=0,x=1 是函数 y=-2x +2.2x +1.6x 在 (0,1.6)内的唯一的极大值点,也就是最大值点. 因此,当 x=1 时,y 取得最大值,ymax=-2+2.2+1.6=1.8,这时高为 3.2-2×1= 1.2(m). 故高为 1.2 m 时,容器的容积最大,最大容积为 1.8 m .
3 3 2

用料最省、节能减耗问题 (2016·杭州高二检测)如图 3?4?1 所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线 海岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在海岸的同侧,乙厂位于离海岸 40 km 的 B 处,乙厂到海岸的
3

垂足 D 与 A 相距 50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站 C, 从供水站到甲厂和乙厂铺设的水 管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元,则供水站 C 建在何处才能使水管费用最省?

图 3?4?1 【精彩点拨】 先列出自变量,通过三角知识列出水管费用的函数,然后求导,根据单 调性求出最小值. 【自主解答】 设 C 点距 D 点 x km,则 BD=40 km,AC=(50-x)km, ∴BC= BD +CD = 40 +x (km).又设总的水管费用为 y 元,依题意, 得 y=3a(50-x) +5a x +40 (0≤x≤50),则 y′=-3a+ 得 x=30.当 x∈[0,30)时,y′<0,当 x∈(30,50]时,y′>0, ∴当 x=30 时函数取得最小值,此时 AC=50-x=20(km),即供水站建在 A,D 之间距 甲厂 20 km 处,可使水管费用最省.
2 2 2 2 2 2

5ax

x2+402

,令 y′=0,解

1.像本例节能减耗问题,背景新颖,信息较多,应准确把握信息,正确理清关系,才能 恰当建立函数模型. 2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应 函数的最小值,此时根据 f′(x)=0 求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点) 后,函数满足左减右增,此时惟一的极小值就是所求函数的最小值.

[再练一题] 2.某工厂需要建一个面积为 512 m 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使 砌墙所用的材料最省,则堆料场的长为________,宽为________. 【导学号:24830090】 512 【解析】 如图所示,设场地一边长为 x m,则另一边长为 m,
2

x

512 512 512 因此新墙总长度 L=2x+ (x>0),L′=2- 2 .令 L′=2- 2 =0,得 x=16 或 x

x

x

x

4

=-16. ∵x>0,∵x=16.∵L 在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点. 512 ∵x=16,∴ =32.故当堆料场的宽为 16 m,长为 32 m 时,可使砌墙所用的材料最

x

省. 【答案】 16 m 32 m [探究共研型] 利润最大问题 探究 1 在有关利润最大问题中,经常涉及“成本、单价、销售量”等词语,你能解释 它们的含义吗? 【提示】 成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量,一般包括固定成本(如建设 厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费 用),单价是指单位商品的价格,销售量是指所销售商品的数量. 探究 2 什么是销售额(销售收入)?什么是利润? 【提示】 销售额=单价×销售量,利润=销售额-成本. 探究 3 根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路, 你认为解决利润最大问题的 基本思路是什么? 【提示】 在解决利润最大问题时,其基本思路如图所示.

图 (2016·滨州高二检测)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销 售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y=

a

x-3

+10(x-6) .其中 3

2

<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售商品所获得 的利润最大. 【精彩点拨】 利用待定系数法先求得参数 a 的值, 由题意列出利润关于价格的函数关 系式,转化为求函数在(3,6)上的最大值问题. 【自主解答】 (1)因为 x=5 时,y=11,所以 +10=11,解得 a=2. 2 (2)由(1)可知,该商品每日销售量 y= 2 2 +10(x-6) , x-3
5

a

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)=(x-3)?

? 2 +10?x-6?2?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. ? ? x- 3 ?
2

从而 f′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6). 当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(3,4) + ?

4 0 极大值

(4,6) - ?

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

解决最优化问题的一般步骤: (1)根据各个量之间的关系列出数学模型; (2)对函数求导,并求出导函数的零点,确定函数极值; (3)比较区间端点处函数值和极值之间的大小,得到最优解.

[再练一题] 3.某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本为 20 元,并且每公斤蘑菇的加工费 为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元(25≤x≤40),根据 市场调查,日销售量 q 与 e 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时,日销售量为 100 公 斤. (1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (2)若 t=5, 当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时, 该工厂的每日利润最大?并求最大值. 【解】 (1)设日销量 q= x,则 30=100,∴k=100e , e e 100e ∴日销量 q= x , e 100e ?x-20-t? ∴y= (25≤x≤40). x e 100e ?x-25? (2)当 t=5 时,y= , x e 100e ?26-x? ∴y′= . x e
30 30 30 30

x

k

k

30

6

由 y′>0,得 25≤x<26,由 y′<0,得 26<x≤40, ∴y 在[25,26)上单调递增,在(26,40]上单调递减, ∴当 x=26 时,ymax=100e . 故当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的每日利润最大,最大值为 100e 元. [构建·体系]
4 4

1.一个圆锥形漏斗的母线长为 20,高为 h,则体积 V 的表达式为________. 1 2 2 【解析】 设圆锥的高为 h,则圆锥的底面半径为 r= 400-h ,则 V= π (400-h )h. 3 【答案】 1 2 π (400-h )h 3
2

2.某产品的销售收入 y1(万元)是产品 x(千台)的函数,y1=17x ;生产总成本 y2(万元) 也是 x 的函数,y2=2x -x (x>0),为使利润最大,应生产________千台. 【解析】 构造利润函数 y=y1-y2=18x -2x (x>0),y′=36x-6x , 由 y′=0 是 x=6(x=0 舍去),x=6 是函数 y 在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最 大值点.即生产 6 千台时,利润最大. 【答案】 6 3.(2016·盐城高二检测)某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x ?
2 2 3 2 3 2

?60-x?(0<x ? ? 2 ?

<60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为________. 【导学号:24830091】 【解析】 V′(x)=2x·?

?60-x?+x2·?-1?=-3x2+60x=-3x(x-40). ? ? 2? 2 2 ? 2 ? ? ?

令 V′(x)=0,得 x=40 或 x=0(舍).不难确定 x=40 时,V(x)有最大值. 即当底面边长为 40 时,箱子容积最大. 【答案】 40 4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其容积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径 为________. 27 2 【解析】 设圆柱的底面半径为 R,母线长为 L,则 V=π R L=27π ,∴L= 2 .

R

7

要使用料最省,只需使圆柱形表面积最小, 27 2 2 ∴S 表=π R +2π RL=π R +2π · ,

R

54π ∴S′表=2π R- 2 .令 S′=0,解得 R=3.

R

∵R∈(0,3)时,S 表单调递减,R∈(3,+∞)时,S 表单调递增,∴当 R=3 时,S 表最小. 【答案】 3 2 3 5.某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)=1200+ x (万元), 已知产品单价的平方与产 75 品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,则产量定为多少件时,总利润最 大?并求出最大总利润. 【解】 由题意,可设 p = ,其中 k 为比例系数.因为当 x=100 时,p=50,所以 k= 250000, 250000 500 2 所以 p = ,p= ,x>0.设总利润为 y 万元,
2

k x

x

x

500 2 3 2 3 则 y= ·x-1200- x =500 x- x -1200. 75 75 x 250 2 2 求导数得,y′= - x .令 y′=0 得 x=25.故当 x<25 时,y′>0;当 x>25 时, x 25

y′<0.
2650 因此当 x=25 时,函数 y 取得极大值,也是最大值,即最大利润为 万元. 3 【答案】 25

我还有这些不足: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________

学业分层测评(二十) 导数在实际生活中的应用 (建议用时:45 分钟)
8

[学业达标] 一、填空题 4 3 2 1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的距离为 s= t -2t ,那么速度为 24 3 的时刻是________秒末. 【解析】 由题意可得 t≥0,且 s′=4t -4t,令 s′=24,解得 t=3(t=-2 舍去). 【答案】 3 2.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件. 3 【解析】 令 y′=-x +81=0,解得 x=9 或 x=-9(舍去).f(x)在区间(0,9)内是增 函数,在区间(9,+∞)上是减函数, ∴f(x)在 x=9 处取最大值. 【答案】 9 3.已知某矩形广场面积为 4 万平方米,则其周长至少________米. 40000 ? 40000?(x>0), 【解析】 设广场的长为 x 米, 则宽为 米,于是其周长为 y=2?x+ ?
2 2

x

?

x ?

? 40000? 所以 y′=2?1- 2 ?,令 y′=0, ?
x

?

解得 x=200(x=-200 舍去),这时 y=800. 当 0<x<200 时,y′<0;当 x>200 时,y′>0. 所以当 x=200 时,y 取得最小值,故其周长至少为 800 米. 【答案】 800 4.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm.要使其体积最大,则高为________. 【解析】 设圆锥的高为 h cm(0<h<20), 则圆锥的底面半径 r= 20 -h (cm),
2 2

= 400-h

2

V=V(h)= π r2h= π (400-h2)h= π (400h-h3),∴V′= π (400-3h2),
1 2 令 V′= π (400-3h )=0, 3 20 3 解得 h= . 3 由题意知 V 一定有最大值,而函数只有一个极值点,所以此极值点就是最大值点. 【答案】 20 3 cm 3
3

1 3

1 3

1 3

1 3

5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子, 其体积为 72 cm , 其底面两邻边边长之比为 1∶ 2,则它的长为________、宽为________、高为________时,可使表面积最小.
9

【解析】 设底面的长为 2x cm,宽为 x cm, 36 36 36 216 2 则高为 2 cm,表面积 S=2×2x·x+2×x· 2 +2×2x· 2 =4x + (x>0),

x

x

x

x

S′=8x-

216 2 ,由 S′=0,得 x=3,x∈(0,3)时,S′<0,x∈(3,+∞)时,S′>0,

x

∴x=3 时,S 最小.此时,长为 6 cm,宽为 3 cm,高为 4 cm. 【答案】 6 cm 3 cm 4 cm
? ?-ln x,0<x<1, 6.(2016·四川高考改编)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)=? ?ln x,x>1 ?

图象上

点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是________. 【导学号:24830092】 【解析】

由图象易知 P1,P2 位于 f(x)图象的两段上,不妨设 P1(x1,-ln x1)(0<x1<1),P2(x2,ln

x2)(x2>1),
1 则函数 f(x)的图象在 P1 处的切线 l1 的方程为 y+ln x1=- (x-x1),

x1

即 y=- +1-ln x1.① 1 x 则函数 f(x)的图象在 P2 处的切线 l2 的方程为 y-ln x2= (x-x2), 即 y= -1+ln x2.

x x1

x2

x2

② 1 1 由 l1⊥l2,得- × =-1,

x1 x2

∴x1x2=1. 由切线方程可求得 A(0,1-ln x1),B(0,ln x2-1), 2-ln x1-ln x2 2 由①②知 l1 与 l2 交点的横坐标 xP= = . 1 1 x1+x2 +

x1 x 2

1 2 ∴S△PAB= ×(1-ln x1-ln x2+1)× 2 x1+x2

10



2 2 = . x1+x2 1 x1+

x1

1 又∵x1∈(0,1),∴x1+ >2,

x1

∴0<

2 1

<1,

x1+ x1
即 0<S△PAB<1. 【答案】 (0,1) 7.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱体的高为________. 【解析】 设圆柱的高为 2h,则底面圆的半径为 R -h , 则圆柱的体积为 V=π (R -h )·2h=2π R h-2π h ,∴V′=2π R -6π h . 令 V′=0,解得 h= 减, 故当 h= 【答案】 3 2 3 R 时,即 2h= R 时,圆柱体的体积最大. 3 3 2 3 R 3 3 3 ? ? ? 3 ? R.∵h∈?0, R?时,V 单调递增,h∈? R,R?时,V 单调递 3 3 ? ? ?3 ?
2 2 2 3 2 2 2 2

8.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价定为 p 元,销售量为

Q,则销售量 Q(单位:件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2.则最大毛
利润(毛利润=销售收入-进货支出)为________. 【解析】 设毛利润为 L(p),由题意知

L(p)=pQ- 20Q= Q(p-20)= (8300- 170p -p2)(p-20)=- p3- 150p2+ 11 700p- 166
000, 所以 L′(p)=-3p -300p+11700.令 L′(p)=0,解得 p=30 或 p=-130(舍去). 因为在 p=30 附近的左侧 L′(p)>0,右侧 L′(p)<0, 所以 L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,此时,L(30)=23 000. 即零售价定为每件 30 元时,最大毛利润为 23 000 元. 【答案】 23 000 元 二、解答题 9.设有一个容积 V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶, 已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍,则如何设计可使总造价最少? 【解】 设圆柱体的高为 h, 底面半径为 r, 设单位面积铁的造价为 m, 桶的总造价为 y,
2

11

则 y=3mπ r +m(π r +2π rh).由 V=π r h,得 h=

2

2

2

V 2mV 2 (r>0), 2,∴y=4mπ r + πr r

2mV V ? V ?1 ? V ?1 ∴y′=8mπ r- 2 .令 y′=0,得 r=? ? .此时 h= 2=4? ? . 4 π r 3 π r ? ? ? 4π ? 3 该函数在(0,+∞)内连续可导,且只有一个使函数的导数为零的点,问题中总造价的 最小值显然存在.∴当 r=?

? V ?1时,y 有最小值,即 h∶r=4∶1 时,总造价最少. ? ?4π ?3

10.(2016·南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量 提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为 x(0<x<1),那么月平均 销售量减少的百分率为 x .记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元). (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【解】 (1)改进工艺后, 每件产品的销售价为 20(1+x), 月平均销售量为 a(1-x )件, 则月平均利润 y=a(1-x )[20(1+x)-15]元,所以 y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x-
2 2 2

x2-4x3)(0<x<1).
1 2 1 2 (2)由 y′=5a(4-2x-12x )=0 得 x1= 或 x2=- (舍),当 0<x< 时,y′>0; 2 3 2 1 1 2 3 当 <x<1 时,y′<0,所以函数 y=5a(1+4x-x -4x )(0<x<1)在 x= 处取得最 2 2 大值.

? 1? 故改进工艺后,产品的销售价为 20?1+ ?=30(元)时,旅游部门销售该纪念品的月平 ? 2?
均利润最大. [能力提升] 1.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时, 在铁皮的四角各截去一个面积相 等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正 方形的边长为________. 【解析】 设四角截去的正方形边长为 x.∴铁盒容积 V=4(24-x) x,所以
2

V′=4(24-x)2-8(24-x)x=4(24-x)(24-3x),令 V′=0,得 x=8,即为极大值点
也是最大值点,所以在四角截去的正方形的边长为 8 cm. 【答案】 8 cm 2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例 系数为 k(k>0).已知贷款的利率为 0.0486, 且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款 利率为 x,x∈(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则 x 的取值为________. 【解析】 依题意, 存款量是 kx , 银行支付的利息是 kx , 获得的贷款利息是 0.0486kx ,
12
2 3 2

其中 x ∈ (0 , 0.0486). 所以银行的收益是 y =0.0486kx - kx (0 < x < 0.0486) ,则 y′= 0.0972kx-3kx . 令 y′=0,得 x=0.0324 或 x=0(舍去). 当 0<x<0.0324 时,y′>0;当 0.0324<x<0.0486 时,y′<0. 所以当 x=0.0324 时,y 取得最大值,即当存款利率为 0.0324 时,银行获得最大收益. 【答案】 0.0324 3.如图 3?4?2,内接于抛物线 y=1-x 的矩形 ABCD,其中 A,B 在抛物线上运动,C,D 在 x 轴上运动,则此矩形的面积最大值是________.
2 2

2

3

图 3?4?2
2 ? ? 【解析】 设 CD=x,则点 C 的坐标为? ,0?,点 B 的坐标为? ,1-? ? ?. ?2? ? ?2 ? ?2

x

?x

?x? ?

∴矩形 ABCD 的面积 S=f(x)=x·?1-? ? ?=- +x(x∈(0,2)). 4 ? ?2? ? 2? 3 2 2 2 ? 由 f′(x)=- x +1=0,得 x1=- (舍去),x2= ,∴当 x∈?0, ?时,f′(x) 4 3? ? 3 3 >0,f(x)是递增的,当 x∈? ∴当 x= 2

?

?x?2?

x3

? 2 ,2? ?时,f′(x)<0,f(x)是递减的, ? 3 ?

4 3 时,f(x)取最大值 . 9 3 4 3 9

【答案】

4.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙 方索赔以弥补经济损失,并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润

x(元)与年产量 t(吨)满足的函数关系是 x=2000 t,乙方每年产一吨产品必须赔付甲方 s
元(以下称 s 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 W(元)表示为年产量 t(吨)的函数, 并求出乙方获得最大利润时的年 产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t ,在乙方按照获得最大利润的 年产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少? 10 ?2 106 ? 【解】 (1)由题意,得 W=2000 t-st=-s? t- ? + (t>0),
3 2

?

s ?

s

13

∴当 t=

10

3

s

10 10 ,即 t= 2 时,W 取得最大值,为 2 ,

6

6

S

s

10 ∴乙方获得最大利润时的年产量为 2 吨.

6

s

(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下,甲方在索赔中获得的净收 入为 V 元. 10 10 2×10 2 ∵t= 2 ,∴V=st-0.002t = 2 - 4 .
6 6 9

s

s

s

10 8×10 V′=- 2 + 5 , 令 V′=0,得 s=20,当 s>20 时,V′<0,

6

9

s

s

∴V 在(20,+∞)上单调递减;当 S<20 时,V′>0, ∴V 在(0,20)上单调递增. ∴当 s=20 时,V 取得极大值,也就是最大值, ∴在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收 入,应向乙方要求的赔付价格 S 是 20 元.

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