【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练61


题组层级快练(六十一)
1.(课本习题改编)直线 y=ax+1 与圆 x2+y2-2x-3=0 的位置关系是( A.相切 C.相离 答案 B 解析 ∵直线 y=ax+1 恒过定点(0,1),又点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4 的内部,故直线与圆相交. 2.直线 xsinθ+ycosθ=2+sinθ 与圆(x-1)2+y2=4 的位置关系是( A.相离 C.相交 答案 B |sinθ-2-sinθ| 解析 圆心到直线的距离 d= =2. sin2θ+cos2θ 所以直线与圆相切. 3. 过点(-4,0)作直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y-20=0 交于 A, B 两点, 若|AB|=8, 则直线 l 的方程为( A.5x+12y+20=0 B.5x+12y+20=0 或 x+4=0 C.5x-12y+20=0 D.5x-12y+20=0 或 x+4=0 答案 B 解析 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25, 由|AB|=8 知,圆心(-1,2)到直线 l 的距离 d=3. 当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 的方程为 x=-4 时,符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+4), 即 kx-y+4k=0. 则有 |3k-2| 5 =3,∴k=- . 12 k3+1 ) B.相切 D.以上都有可能 ) B.相交 D.随 a 的变化而变化 )

此时直线 l 的方程为 5x+12y+20=0. 4.已知直线 l:y=k(x-1)- 3与圆 x2+y2=1 相切,则直线 l 的倾斜角为( π A. 6 2π C. 3 答案 D |k+ 3| 3 解析 由题意知, 2 =1,∴k=- . 3 k +1 5π ∴直线 l 的倾斜角为 . 6 π B. 2 5π D. 6 )

5.若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 C 位于 y 轴左侧,且被直线 x+2y=0 截得的弦长为 4,则圆 C 的 方程是( ) B.(x+ 5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5

A.(x- 5)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 答案 B

|a+2×0| 解析 设圆心为(a,0)(a<0), 因为截得的弦长为 4, 所以弦心距为 1, 则 d= 2 =1, 解得 a=- 5, 1 +22 所以,所求圆的方程为(x+ 5)2+y2=5. 6.已知圆 O:x2+y2-2x+my-4=0 上两点 M,N 关于直线 2x+y=0 对称,则圆 O 的半径为( A.9 C.6 答案 B m m2 m 解析 由 x2+y2-2x+my-4=0,得(x-1)2+(y+ )2=1+ +4,圆心坐标为(1,- ).又由已知条 2 4 2 m2 件可知圆心在直线 2x+y=0 上, 将圆心坐标代入直线方程可求得 m=4.设圆 O 的半径为 r, 则 r2=1+ + 4 4=9,解得 r=3. 7.圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2的点共有( A.1 个 C.3 个 答案 C 解析 把 x2+y2+2x+4y-3=0 化为(x+1)2+(y+2)2=8,圆心为(-1,-2),半径 r=2 2,圆心到直 线的距离为 2,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2. → → 8. (2015· 福建福州质检)若直线 x-y+2=0 与圆 C: (x-3)2+(y-3)2=4 相交于 A, B 两点, 则CA· CB的 值为( ) B .0 D.6 B .2 个 D.4 个 ) B .3 D.2 )

A.-1 C.1 答案 B 解析
2 2 ? ??x-3? +?y-3? =4, 联立? 消去 y, ?x-y+2=0, ?

得 x2-4x+3=0.解得 x1=1,x2=3. ∴A(1,3),B(3,5). → → 又 C(3,3),∴CA=(-2,0),CB=(0,2). → → ∴CA· CB=-2×0+0×2=0. 9.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0),若 C 上存在的点 P,使得∠APB=

90° ,则 m 的最大值为( A.7 C.5 答案 B

) B .6 D.4

?x0=3+cosθ, ? 解析 由(x-3)2+(y-4)2=1 得圆上点 P(x0,y0)可化为? ? ?y0=4+sinθ.

→ → ∵∠APB=90° ,即AP· BP=0, ∴(x0+m)(x0-m)+y2 0=0.
2 ∴m2=x2 0+y0=26+6cosθ+8sinθ=26+10sin(θ+φ)≤36.

∴m≤6,即 m 的最大值为 6. 10.(2014· 大纲全国)直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3),则 l1 与 l2 的夹 角的正切值等于________. 答案 4 3

解析 利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB 各边,进而利用二倍角公式求夹角的正切值. 如图,|OA|= 12+32= 10.

∵半径为 2,∴|AB|= |OA|2-|OB|2= 10-2=2 2. |OB| 2 1 ∴tan∠OAB= = = . |AB| 2 2 2 ∴所求夹角的正切值为 2tan∠OAB tan∠CAB= = 1-tan2∠OAB 1 2× 2 4 = . 1 3 1- 4

11.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边 三角形,则实数 a=________. 答案 4± 15 解析 依题意,圆 C 的半径是 2,圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离等于 |1· a+a-2| = 3,即 a2-8a+1=0,解得 a=4± 15. 2 a +1 12.(2013· 江西理)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于________. 3 ×2= 3,于是有 2

答案 -

3 3

解析 曲线 y= 1-x2的图像如图所示.

若直线 l 与曲线相交于 A, B 两点, 则直线 l 的斜率 k<0, 设 l: y=k(x- 2), 则点 O 到 l 的距离 d=

- 2k

. k2+1

1-d2+d2 1 1 1 1 又 S△AOB= |AB|· d= ×2 1-d2· d= ?1-d2?· d2≤ = ,当且仅当 1-d2=d2,即 d2= 时,S△ 2 2 2 2 2
AOB 取得最大值.所以 2

2k2 1 = . k +1 2

1 3 ∴k2= ,∴k=- . 3 3 13.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距的绝对值相等,求此切线 的方程. 答案 x+y-3=0 或 x+y+1=0 或 x-y+5=0 或 x-y+1=0 或(2± 6)x-y=0 解析 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等, ∴切线的斜率是± 1 或过原点. ①当 k=± 1 时,设切线方程为 y=-x+b 或 y=x+c,分别代入圆 C 的方程得 2x2-2(b-3)x+(b2-4b +3)=0 或 2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0. 由于相切,则方程有等根, 即 b=3 或 b=-1,c=5 或 c=1. 故所求切线方程为 x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0. ②当切线过原点时,设方程为 y=kx 即 kx-y=0. 由 |-k-2| = 2,得 k=2± 6. k2+1

∴此时切线方程为 y=(2± 6)x. 综上①②可得切线方程为 x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2± 6)x-y=0. 14.已知圆 C:x2+y2+x-6y+m=0 与直线 l:x+2y-3=0. (1)若直线 l 与圆 C 没有公共点,求实数 m 的取值范围; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 P,Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值. 37 答案 (1)(8, ) (2)m=3 4 37-4m 1 解析 (1)圆的方程为(x+ )2+(y-3)2= , 2 4

37-4m 37 故有 >0,解得 m< . 4 4 将直线 l 的方程与圆 C 的方程组成方程组,
? ?x+2y-3=0, 得? 2 2 ?x +y +x-6y+m=0, ?

3- x 2 3-x 消去 y,得 x2+( ) +x-6× +m=0. 2 2 整理,得 5x2+10x+4m-27=0.① ∵直线 l 与圆 C 没有公共点,∴方程①无解. 故有 Δ=102-4×5(4m-27)<0,解得 m>8. 37 ∴m 的取值范围是(8, ). 4 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 由 OP⊥OQ,得OP· OQ=0,即 x1x2+y1y2=0.② 由(1)及根与系数的关系,得 4m-27 x1+x2=-2,x1x2= .③ 5 又∵P,Q 在直线 x+2y-3=0 上, 3-x1 3-x2 1 ∴y1y2= × = [9-3(x1+x2)+x1x2]. 2 2 4 m+12 将③代入上式,得 y1y2= ,④ 5 将③④代入②,得 x1x2+y1y2= 解得 m=3. 代入方程①检验得 Δ>0 成立,∴m=3. 15.(2015· 福建漳州七校第一次联考)已知圆 C:x2+y2+2x+a=0 上存在两点关于直线 l:mx+y+1 =0 对称. (1)求实数 m 的值; → → (2)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,OA· OB=-3(O 为坐标原点),求圆 C 的方程. 答案 (1)m=1 (2)x2+y2+2x-3=0 4m-27 m+12 + =0, 5 5

解析 (1)圆 C 的方程为(x+1)2+y2=1-a,圆 C(-1,0). ∵圆 C 上存在两点关于直线 l:mx+y+1=0 对称, ∴直线 l:mx+y+1=0 过圆心 C. ∴-m+1=0,解得 m=1.
2 2 ? ?x +y +2x+a=0, ? (2)联立 消去 y,得 ?x+y+1=0, ?

2x2+4x+a+1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),Δ=16-8(a+1)>0,∴a<1. a+1 由 x1+x2=-2,x1x2= ,得 2 a+1 y1y2=(-x1-1)(-x2-1)= -1. 2 → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=a+1-1=a=-3. ∴圆 C 的方程为 x2+y2+2x-3=0. 16.已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点 为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. 答案 (1)(x-1)2+(y-3)2=2 16 (2)x+3y-8=0, 5 解析 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4. → → → → 设 M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CM· MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上.又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 1 8 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- ,故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 3 4 10 4 10 16 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 ,|PM|= ,所以△POM 的面积为 . 5 5 5

1.(2013· 重庆)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 2-4 C.6-2 2 答案 A 解析 圆 C1,C2 的圆心分别为 C1,C2,由题意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,∴|PM|+|PN|≥|PC1| +|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4 的最小值.又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2,-3),所以|PC1|+|PC2| -4 的最小值为|C3C2|-4= ?2-3?2+?-3-4?2-4=5 2-4,故选 A. 2.(2013· 新课标全国Ⅱ文)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴 上截得线段长为 2 3. B. 17-1 D. 17 )

(1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 答案 (1)y2-x2=1 (2)x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3 解析 (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. |x0-y0| 2 (2)设 P(x0,y0).由已知得 = . 2 2 又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上,
?|x0-y0|=1, ?x0-y0=1, ?x0=0, ? ? ? 从而得? 2 2 由? 2 2 得? ? ? ? ?y0-x0=1. ?y0-x0=1, ?y0=-1.

2 ,求圆 P 的方程. 2

此时,圆 P 的半径 r= 3.
?x0-y0=-1, ?x0=0, ? ? 由? 2 2 得? ?y0-x0=1, ?y0=1. ? ?

此时,圆 P 的半径 r= 3. 故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3. 3.已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为任何实数,直线 l 与圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. 答案 (1)略 (2)2 7

? ?y=kx+1, 解析 方法一:(1)由? 2 2 ? ??x-1? +?y+1? =12,

消去 y,得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0. 因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0 恒成立, 所以不论 k 为任何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)设直线与圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB|= 1+k2|x1-x2| =2 8-4k+11k2 =2 1+k2 4k+3 11- , 1+k2

4k+3 令 t= ,则 tk2-4k+(t-3)=0. 1+k2 3 当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 t∈R, 4

所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0. 4k+3 故 t= 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k2 方法二:(1)圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 d= = 11k2-4k+8 ,而在 S=11k2-4k+8 中, 1+k2 Δ=(-4)2-4×11×8<0, 故 11k2-4k+8>0 对 k∈R 恒成立. 所以 R2-d2>0,即 d<R,所以不论 k 为任何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)∵直线 l 恒过圆内定点 P(0,1), ∴由平面几何知识可得当 P 点为弦 AB 中点时弦长最短. 由勾股定理,知|AB|=2 12-5=2 7, 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. |k+2| k2+4k+4 2 2 ,圆 C 的半径 R = 2 3 , R - d = 12 - 1+k2 1+k2


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