【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.1第1课时多面体的结构特征课件 新人教A版必修2


第 1 课时
[学习要求]

多面体的结构特征

1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体; 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征; 3. 了解多面体可按哪些不同的标准分类, 可以分成哪些类别. [学法指导] 通过直观感受空间物体, 从实物中概括出多面体的几何结构特 征,提高观察、讨论、归纳、概括的能力;感受空间几何体存 在于现实生活周围,增强学习的积极性,培养空间想象能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.空间几何体 (1)概念:如果只考虑物体的 形状 和 大小 ,而不考虑其 他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空 间几何体. (2)特殊的几何体 ①多面体: 一般地, 由若干个 平面多边形 围成的几何 体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的

面 ;相邻两个面的 公共边 叫做多面体的棱;棱与棱
的 公共点 叫做多面体的顶点.

填一填·知识要点、记下疑难点
②旋转体: 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线 旋转所形成的 封闭几何体 叫做旋转体,这条定直线叫做 旋转体的 轴 . 2.多面体的结构特征 (1)棱柱的结构特征:一般地,有两个面 互相平行 ,其 余各面都是 四边形 ,并且每相邻两个四边形的公共边都

互相平行 ,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
(2)棱锥的结构特征:一般地,有一个面是多边形,其余 各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的 多面体叫做棱锥. (3)棱台的结构特征:用一个 平行于 棱锥底面的平面去 截棱锥, 底面与截面 之间的部分叫做棱台.

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[问题情境] 在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部 分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素, 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.本节课 我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体.

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探究点一 问题 1 空间几何体的类型

观察下列图片, 你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗?

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(1)、(8)为圆柱;

(2)为长方体;

(3)、(6)为圆锥;
(4)、(10)为圆台; (5)、(7)、(9)为棱柱; (11)、(12)为球;

(13)、(16)为棱台; (14)、(15)为棱锥.

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问题 2

如果将这些几何体进行适当分类,你认为可以分成哪几种

类型?

答 分七类.分别是:棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球. 问题 3 观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的
特点, 以及面与面之间的关系, 你能归纳出它们有何共同特点吗? 答 组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形.

小结 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成 多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多 面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

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问题 4

小结

观察图 (1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12) 中组成几何体的每个面有

何共同特点?
组成它们的面不全是平面图形,更多的是曲面.
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的

封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.

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探究点二 问题 1 义吗? 棱柱的结构特征

我们把下面的多面体取名为棱柱, 据此你能给棱柱下一个定

图1

图2



有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四

边形的公共边都互相平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱.

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问题 2 为了研究方便,我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱 的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱 的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出上面 棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗?
答 如 上 图 1 中 , 棱 柱 的 底 面 为 六 边 形 ABCDEF 和

A′B′C′D′E′F′;侧面有 A′ABB′、B′BCC′等;棱柱 的侧棱有 AA′、BB′、CC′等;棱柱的顶点有 A、B、C、D、E、 F、A′、B′等. 问题 3 棱柱上、 下两个底面的形状大小如何?各侧面的形状如何?

答 两底面是全等的多边形,各侧面都是平行四边形.

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问题 4 一个棱柱至少有几个侧面?一个 N 棱柱分别有多少个底面 和侧面?有多少条侧棱?有多少个顶点? 答 至少有三个侧面;一个 N 棱柱分别有两个底面,N 个侧面,N
有两个面互相平行, 其余各面都是平行四边形的多面体一

条侧棱,2N 个顶点.
问题 5


定是棱柱吗?
不是,因为棱柱定义中还有每相邻两个四边形的公共边都互 相平行的条件.如图虽然有两个面互相平行,其余各面都是平行 四边形但不是棱柱.

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小结

在棱柱中,底面是三角形、四边形、五边形 ……的棱柱分别

叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……;图 1 中的六棱柱用各顶点字母 可表示为棱柱 ABCDEF—A′B′C′D′E′F′.

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探究点三 问题 1 义吗? 棱锥的结构特征

我们把下面的多面体取名为棱锥, 据此你能给棱锥下一个定



有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,

由这些面围成的多面体叫做棱锥.

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问题 2


参照棱柱的说法,棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是

什么含义?你能作图加以说明吗?
多边形面叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各三角形面叫做 棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共顶 点叫做棱锥的顶点.

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问题 3 类比棱柱的分类,棱锥如何根据底面多边形的边数进行分

类?如何用棱锥各顶点的字母表示问题 1 中的三个棱锥?
答 底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、

四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体.三个棱锥从左到右 可分别表示为 S-ABC,S-ABCD,P-ABCDE.
问题 4 答 一个棱锥至少有几个面?一个 N 棱锥分别有多少个底面和 至少有 4 个面;1 个底面,N 个侧面,N 条侧棱,1 个顶点. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 截面与底面的形状 侧面?有多少条侧棱?有多少个顶点? 问题 5

关系如何? 答 相似多边形.

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问题 6


棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质?

棱柱:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平

行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多 边形. 棱锥:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其 相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.

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探究点四 问题 1 棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间

的部分形成另一个多面体,这样的多面体叫做棱台.那么棱台有 哪些结构特征?



有两个面是互相平行的相似多边形,其余各面都是梯形,每相

邻两个梯形的公共腰的延长线共点.

问题 2


仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义,如何定
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面,其余各

义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢?
面叫做棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱,侧面与底 面的公共顶点叫做棱台的顶点.

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问题 3


根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义,如何定义三棱

台、四棱台、五棱台……?如何用字母表示棱台?
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、 四棱台、五棱台……;与棱柱的表示一样棱台也用上、下底面的各 顶点的字母表示.

问题 4

既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它们在结构上有哪些相

同点和不同点?三者的关系如何?当底面发生变化时,它们能否 相互转化?



它们在结构上的相同点是:它们都是由平面多边形围成的几何

体,它们都有底面且底面都是多边形;不同点是:棱柱和棱台都有 两个底面,而棱锥只有一个底面,棱柱的两个底面是全等的,棱台 的两个底面是相似的;能够相互转化,棱台是由棱锥截取得到的, 棱台的上底面扩大,使上下底面全等,就是棱柱,棱台的上底面缩 为一个点就是棱锥. 画板演示

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例1 试判断下列说法是否正确:

(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面; (2)棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形.
解 (1)错误.如正六棱柱中相对侧面互相平行.

(2)正确.由棱柱的定义可知,棱柱的侧棱互相平行且相等,且 各侧面都是平行四边形. 小结 概念辨析题常用方法: (1)利用常见几何体举反例; (2)从底面
多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位 置关系等角度紧扣定义进行判断.

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跟踪训练 1 根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体名称: (1)由 6 个平行四边形围成的几何体. (2)由 7 个面围成,其中一个面是六边形,其余 6 个面是有一个公共 顶点的三角形. 解 (1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边 形的四棱柱.

(2)是六棱锥.

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例2 如图,几何体中,四边形 AA1B1B

为 边 长 为 3 的 正 方 形 , CC1 = 2 , CC1∥AA1, CC1∥BB1, 请你判断这个几 何体是棱柱吗?若是棱柱,指出是几棱柱.若不是棱柱,请你试用 一个平面截去一部分,使剩余部分是一个侧棱长为 2 的三棱柱,并 指出截去的几何体的特征.在立体图中画出截面.

解 (1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面,
∴这个几何体不是棱柱. (2)在四边形 ABB1A1 中,在 AA1 上取 E 点,使
AE=2; 在 BB1 上取 F 点, 使 BF=2; 连接 C1E、 EF、C1F,则过 C1、E、F 的截面将几何体分 成两部分,其中一部分是棱柱 ABC—EFC1,其侧棱长为 2;截去部 分是一个四棱锥 C1—EA1B1F.

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小结

认识一个几何体,要看它的结构特征,并且要结合它各面的

具体形状,棱与棱之间的关系,分析它是由哪些几何体组成的组合 体,并能用平面分割开.

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跟踪训练 2

若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧

棱长为 2,底面周长为 9,求棱锥的高(过顶点向底面作垂线,顶点 与垂足的距离). 解 3 3 在底面正三角形中,边长为 3,高为 3×sin 60° = 2 ,中心到

3 3 2 顶点距离为 × = 3,则棱锥的高为 22-? 3?2=1. 2 3

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1.下列说法中正确的是 A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行

( A )

B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是 平行四边形 解析 棱柱的两底面互相平行,故 A 正确; 棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故 B 错; 立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱, 当把这摞书推倾斜时,
它的侧棱就不是棱柱的高,故 C 错; 由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面 可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故 D 错.

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2.下列说法中,正确的是 三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥 B .用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是 棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形 ( A )

A.有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的

解析

B 错,截面与底面平行时才能得棱台;

C 错,棱柱底面可能是平行四边形; D 错,棱柱侧面的平行四边形不一定全等.

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3.下列说法错误的是 A.多面体至少有四个面

( D )

B.九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形

解析

由于三棱柱的侧面为平行四边形,故选项 D 错,所以选 D.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.在理解的基础上,要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义,能够根 据定义判断几何体的形状. 2.对几何体定义的理解要准确,另外,要想真正把握几何体的 结构特征,必须多角度、全面地分析,多观察实物,提高空 间想象能力.


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