2012年北京市春季普通高中数学会考试题(含答案)


2012 年北京市春季普通高中会考

数学试卷
第一部分 选择题(每小题 3 分,共 60 分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0,1, 2? , B ? ?1,4? ,那么集合 A B 等于( ) (A) ?1? (B) ?4? (C)?2,3? ) (D)?1,2,3,4?

2.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 4 ,那么 a5 等于( (A)6 (B)8 (C)10 (D)16

3.已知向量 a ? (3,1), b ? (?2,5) ,那么 2a +b 等于( A. (-1,11) B. (4,7) )

) D(5, -4)

C. (1,6)

4.函数 y ? log2 (x+1) 的定义域是( (A)

?0, ???

(B) ( ? 1, +?)

(C)( 1, ??) (D) ?1, ??? )

?

5.如果直线 3x ? y ? 0 与直线 mx ? y ? 1 ? 0 平行,那么 m 的值为( (A) ?3 (B)

?

1 3

(C)

1 3

(D) 3

6. 函数 y = sin ? x 的图象可以看做是把函数 y = sin x 的图象上所有点的纵坐标保持不变, 横坐标缩短到原来的 而得到,那么 ? 的值为( ) (A) 4 (B) 2 (C)

1 倍 2

1 2

(D) 3

7.在函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? log 2 x , y ? (A) y ? x3 8. sin (B)

x 中,奇函数的是( )

y ? 2x
(A) ?

(C)

y ? log2 x
(B)

(D) (C)

y? x
1 2
(D)

11? 的值为( ) 6
2

2 2


?

1 2

2 2

9.不等式 x ? 3x+2 ? 0 的解集是( A.

? x x ? 2?

B.

? x x>1?


C. x 1 ? x ? 2 (A) 2

?

?
5

D.

? x x ? 1, 或x ? 2?
(C) 10 (D) 20

10.实数 lg 4+2lg 5 的值为(

(B)

11.某城市有大型、中型与小型超市共 1500 个,它们的个数之比为 1:5:9.为调查超市每日的零售额情况,需通 过分层抽样抽取 30 个超市进行调查,那么抽取的小型超市个数为( (A) 5 (B) 9 (C) 18 (D) 20 ) )

12.已知平面 ? ∥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,那么直线 m 与平面 ? 的关系是( A.直线 m 在平面 ? 内 C.直线 m 与平面 ? 垂直 B.直线 m 与平面 ? 相交但不垂直 D.直线 m 与平面 ? 平行 ) ) A.

13.在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 2 , c ? 1 ,那么 A 的值是( 14.一个几何体的三视图如右图所示,该几何体的表面积是( A. 3? B. 8? C. 12? D.14?
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? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

15.当 x >0 时, 2 x ? A. 1 B. 2

1 的最小值是( 2x
C. 2 2 D. 4



16.从数字 1,2,3,4,5 中随机抽取两个数字(不允许重复) ,那么这两个数字的和是奇数的概率为( B.



A.

4 5

3 5

C.

2 5

D.

1 5

?y ?1 ? 17.当 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0 时,目标函数 z ? x ? y 的最小值是( ) ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
(A) 2 (B) 2.5 (C)

3.5

(D)4 )

18.已知函数 f ( x) ? ? (A) 4

?2 x , x ≥ 0, ?? x, x ? 0.
0

如果 f ( x0 ) ? 2 ,那么实数 x0 的值为( (C) 1 或 4 (D) 1 或-2

(B)

19.为改善环境,某城市对污水处理系统进行改造。三年后,城市污水排放量由原来每年排放 125 万吨降到 27 万 吨,那么污水排放量平均每年降低的百分率是( (A) 50% (B) 40% (C) ) 30% (D) 20% )

20.在△ ABC 中, (BC ? BA) ? AC ? | AC|2 ,那么△ABC 的形状一定是( A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 第二部分 D.

等腰直角三角形
开始

非选择题(共 40 分) 屋顶

一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21 . 已 知 向 量 a ? ( 2 , 3b )? , y(m)

n=1

m ( 1, , 且 )
. 竖直窗户 输出 a O A x(m)
a =15

a ? b ,那么实数 m 的值为
中得分情况

22.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛

的茎叶图. 那么甲、 乙两人得分的标准差 S甲

S乙 (填<,>,=)
23 .某程序框图如 下图所示,该 程序运行后输 出的 为 .

n=n+1 否 n>3 是
结束

a 的最大值

24.数学选修课中,同学们进行节能住房设计,在分析气候和民俗 后,设计出房屋的剖面图(如下图所示) .屋顶所在直线的方程分别 是 y=

1 1 x +3 和 y = ? x +5 ,为保证采光,竖直窗户的高度设计为 2 6


1m 那么点 A 的横坐标是

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二、解答题: (共 4 小题,共 28 分) 25.(本小题满分 7 分) 在三棱锥 P-ABC 中,侧棱 PA⊥底面 ABC,AB⊥ BC,E,F 分别是 BC,PC 的中点. (I)证明:EF∥平面 PAB; (II)证明:EF⊥BC.

26.(本小题满分 7 分) 已知向量 a =(2sin x, 2sin x) , b=(cos x, ? sin x) ,函数 f (x)=a ? b+1 . (I)如果 f (x )=

1 ,求 sin 4 x 的值; 2

(II)如果 x ? (0,

?
2

) ,求 f (x) 的取值范围.

27.(本小题满分 7 分) 已知图 1 是一个边长为 1 的正三角形,三边中点的连线将它分成四个小三角形,去掉中间的一个小三角形,得到图 2,再对图 2 中剩下的三个小三角形重复前述操作,得到图 3,重复这种操作可以得到一系列图形.记第 n 个图形中 所有剩下的 小三角形的面积之和为 an ,所以去掉的 三角形的周长之和为 bn . ..... ..... (I) 试求 a4 , b4 ; (II) 试求 an , bn .

28.(本小题满分 7 分) 已知圆 C 的方程是 x2 +y 2 ? 2 y +m=0 . (I) 如果圆 C 与直线 y =0 没有公共点,求实数 m 的取值范围;

(II) 如果圆 C 过坐标原点, 直线 l 过点 P(0, ) (0≤ a ≤2), 且与圆 C 交于 A,B 两点, 对于每一个确定的 a , 当△ABC 的面积最大时,记直线 l 的斜率的平方为 u ,试用含 a 的代数式表示 u ,试求 u 的最大值.

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参考答案: 1、B 2、C 3、B 4、B 5、A 6、B 7、A 8、B 9、C 10、A 14、B 15、B 16、B 17、A 18、D 19、B 20、C 21、 ?

11、C

12、D

13、B

25、(I)证明:∵E,F 分别是 BC,PC 的中点,∴EF∥PB.∵ EF ? 平面 PAB,PB ? 平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB; (II)证明:在三棱锥 P-ABC 中,∵侧棱 PA⊥底面 ABC,PA⊥ BC.∵ AB⊥ BC, 且 PA∩AB=A, ∴ BC⊥平面 PAB.∵PB ? 平面 PAB, ∴ BC⊥PB.由(I)知 EF∥PB, ∴EF⊥ BC. 26、 (I)解:∵ a =(2sin x, 2sin x) , b=(cos x, ? sin x) ,∴ f (x)=a ? b+1 =2sin x cos x ? 2sin 2 x +1

2 ; 22、> ;23、45;24、 4.5 ; 3

1 1 1 1 = sin 2 x ? cos 2 x .∵ f (x )= ,∴ in 2 x ? cos 2 x = ,∴ 1+2sin 2 x cos 2 x = .∴ sin 4 x = . 2 2 4 4

? ? 2 2 sin 2 x+ cos 2 x) = 2( sin 2 x cos + cos 2 x sin ) 4 4 2 2 ? ? ? ? 5? 2 ? ∴ = 2 sin (2 x + ) .∵ x ? (0, ) ∴ <2 x + < < sin (2 x+ ) ? 1 . 4 2 4 4 4 2 4 ∴ f (x) 的取值范围为 ( ? 1, 2] .
(II)解:由(I)知 f ( x)= sin 2 x ? cos 2 x = 2( 27、 (I)解: a4 =

27 3 57 ,b4= . 256 8
1 1 n ?1 倍,∴第 n 个图形中每个剩下的三角形边长是 ( ) ,面积是 2 2

(II)解:由图易知,后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的 3 倍,∴第 n 个图形中剩下的三角形个数为 3n ?1 .又 ∵后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的

设第 n 个图形中所有剩下的小三角形周长为 cn ,由图可知, cn ? bn =3 . 因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的

3 1 n ?1 3 3 n ?1 ( ) .∴ an = ( ) . 4 4 4 4

1 1 n ?1 倍,∴第 n 个图形中每个剩下的三角形边长是 ( ) ,周长是 2 2

1 3 3 3( )n ?1 .∴ cn =3( )n ?1 ,从而 bn =cn ? 3=3( )n ?1 ? 3 . 2 2 2 2 2 2 2 2 28、 (I)解:由 x +y ? 2 y +m=0 可得: x +(y ?1) =1 ? m .∵ x2 +(y ?1) =1 ? m 表示圆, ∴ 1 ? m>0 ,即 m <1 .又∵圆 C 与直线 y =0 没有公共点,∴ 1 ? m<1 ,即 m >0 . 综上,实数 m 的取值范围是 0<m <1 . 2 (II)解:∵圆 C 过坐标原点,∴ m =0 .∴圆 C 的方程为 x2 +(y ? 1) ,半径为 1. =1 ,圆心 C(0,1) 当 a =1 时,直线 l 经过圆心 C,△ABC 不存在,故 a ?[0,1) (1,2] . 由题意可设直线 l 的方程为 y =kx +a ,△ABC 的面积为 S. 1 1 则 S= |CA|·|CB|·sin∠ ACB= sin∠ACB.∴当 sin∠ ACB 最大时,S 取得最大值. 2 2

? 2 |a ? 1| 2 ,只需点 C 到直线 l 的距离等于 .即 . = 2 2 2 k +1 2 2 2 2 2 整理得 k =2(a ? 1) ? 1 ? 0 .解得 a ? 1 ? 或 a ? 1+ . 2 2 2 2 ] [1+ ,2] 时,sin∠ACB 最大值是 1.此时 k 2 =2a 2 ? 4a+1 ,即 u =2a 2 ? 4a +1 . ① 当 a ? [0,1 ? 2 2 ? 2 2 ,1) (1,1+ ) 时,∠ACB ? ( ,? ) . ② 当 a ? (1 ? 2 2 2 ? ∵ y = sin x 是 ( ,? ) 上的减函数,∴当∠ACB 最小时,s in∠ ACB 最大. 2
要使 sin∠ACB=

第 4 页 共 5 页

过 C 作 CD⊥AB 于 D,则∠ ACD= ∵sin∠CAD=

? |CD| =|CD|, 且∠CAD ? (0, ) ,∴当|CD |最大时,sin∠ACD 取得最大值,即∠CAD 最大. 2 | CA | ∵|CD|≤|CP|, ∴当 CP⊥ l 时,|CD|取得最大值|CP|. ∴当△ABC 的面积最大时,直线 l 的斜率 k =0 .∴ u =0 . ? 2 2 2 ] [1+ ,2] ?2a ? 4a +1,a ? [0,1 ? ? 2 2 综上所述, u = ? . 2 2 ?0, a ? (1 ? ,1) (1,1+ ) ? ? 2 2 2 2 i) a ? [0,1 ? ] [1+ ,2] , u =2a 2 ? 4a +1 =2(a ?1)2 ?1 , 当 a =2 或 a =0 时, u 取得最大值 1. 2 2 2 2 ii) a ? (1 ? ,1) (1,1+ ) , u =0 . 2 2
由 i) ,ii)得 u 的最大值是 1.

1 ∠ ACB.∴当∠ ACD 最大时,∠ACB 最小. 2

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