2013高考数学复习课件 6.4 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理 新人教版


1.二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某 不含 一侧的所有点组成的平面区域(半平面)____边界 含 直线. 不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半 平面)__边界直线. (2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点 (x,y),使得Ax+By+C的值符号相同,也就是 Ax+By+C<0 位于同一半平面的点,其坐标适合Ax+By+C> 0;而位于另一个半平面内的点,其坐标适合

(3)可在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一 符号 点,一般取特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的 ____来判断Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所 表示的区域. 公共部分 (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平 面区域,是各个不等式所表示的平面区域的 ________.

2.线性规划的有关概念

3.线性规划问题一般用图解法,其步骤如 下: (1)根据题意,设出变量x、y; (2)找出线性约束条件; (3)确定目标函数z=f(x,y); (4)画出由不等式(组)确定的可行域; (5)作出f(x,y)=t的图象,在可行域内找出 使t取最大值或最小值的位置,确定最优解,给 出答案.

1.不等式x2-y2≥0所表示的平面区域(阴 影部分)是 ( )

解析:因x2-y2=(x+y)(x-y)≥0,故选C. 答案:C

2.不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直 线x+3y-1=0的 ( ) A.右上方 B.右下方 C.左下方 D.左上方
解析:把原点(0,0)代入不等式,不等式成立,结合 图形知选C. 答案:C

?x+y-1<0, ? 3.下面给出的四个点中,位于? ?x-y+1>0 ?

表示的 ( )

平面区域内的点是

A.(0,2) C.(0,-2)

B.(-2,0) D.(2,0)

解析:把备选项逐个代入检验. 答案:C

4.原点(0,0)和(1,1)在直线x+y-a=0的两侧, 则a的取值范围是________.
解析:由题知-a(1+1-a)<0,故0<a<2. 答案:0<a<2

1.在确定平面区域时,一般考虑取(0,0) 或(1,0)点代入判定. 2.对线性目标函数z=Ax+By中B的符号 一定要注意. 当B>0时,直线过可行域且在y轴上截距最 大时,z值最大,在y轴上截距最小时,z值最 小;当B<0时,直线过可行域且在y轴上截距最 大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最 大.

3.解线性规划问题的关键步骤是在图上完成 的,所以作图应尽可能精确,图上操作尽可能规 范.求最优解时,若没有特殊要求,一般为边界 交点. 4.常见代数式的几何意义 点 (0,0) 的 距 离 ; (1) x2+y2 表 示 点 (x , y) 与 原
?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)与(a,b)的距离. y-b y (2)x表示点(x, y)与原点(0,0)连线的斜率; 表示 x-a 点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.

(即时巩固详解为教师用书独有)

考点一

二元一次不等式组表示平面区域

?x-4y+3≤0, ? 【案例 1】 不等式组?3x+5y≤25, ?x≥1 ? 平面区域图形是

所表示的 ( )

A.第二象限内的三角形 形 C.第一象限内的三角形 确定

B.四边 D.不

关键提示:严格按步骤作图,取点验证区域.

解析:x-4y+3≤0表示的区域为直线x-4y+3=0及 左上方部分的区域,3x+5y≤25表示的区域为直线3x+5y -25=0及左下方的平面区域,x≥1表示x=1及右侧部分 的平面区域,故不等式组表示的平面区域为第一象限内的 三角形.如图所示,选C.

答案

C

【即时巩固1】 若点P(m,3)到直线4x-3y+ 1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的 平面区域内,则m=________. ?|4m-9+1|
? =4, 5 解析:由题意可得? 解得 m=-3. ?2m+3<3, ? 答案:-3

考点二 应用线性规划求最值 【 案 例 2 】 (2009· 南 、 宁 夏 ) 设 x , y 满 足 海

?2x+y≥4, ? ?x-y≥-1, 则 z=x+y ( ) ?x-2y≤2, ? A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值 C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 关键提示:注意比较目标函数的斜率与约束条件的斜 率大小.

解析:由图象可知z=x+y在点A处取最小值zmin=2, 无最大值.

答案

B

【即时巩固 2】

?x+y-3≥0, ? 已知实数 x,y 满足?x-y+1≥0, ?x≤2. ?

(1)求 z=2x-y 的最大值; y (2)求 z=x的最大值.

解:(1)如图可得A(1,2),B(2,1),M(2,3). 当直线过点B(2,1)时,y=2x-z的纵截距最 小. 此时,zmax=2×2-1=3.

1 (2)如图,kOA=2,kOB= , 2 1 y 所以 ≤x≤2?z 的最大值为 2. 2

简单线性规划的实际应用 ?2x-y≥0, ? 【案例 3】 若实数 x、 满足?y≥x, y ?y≥-x+b, ?
+y 的最小值为 3,则实数 b 的值为________.

考点三

且 z=2x

关键提示:把b视为已知量,确定可行域,平移直线 确定最优解对应的顶点.

?2x-y≥0, ? 解析:在坐标平面内画出不等式组?y≥x, ?y≥-x+b ?

表示

的大致平面区域,在坐标平面内平移直线 2x+y=0,注意 到当直线平移到经过直线 2x-y=0 与 y=-x+b 的交点 时,目标函数 z=2x+y 取得最小值,再结合 z=2x+y 的最 9 小值为 3,分析确定 b= . 4

9 答案: 4

?x≥0, ? 【即时巩固 3】 若不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

所表示的

4 平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分,则 k 的 3 值是 7 A. 3 4 C. 3 3 B. 7 3 D. 4 ( )

解析:由图可知,线性规划区域为△ABC 边界及内部, 4 4 4 y=kx+ 恰过 A(0, ),y=kx+ 将区域平均分成面积相等 3 3 3 1 5 5 1 4 7 的两部分,故过 BC 的中点 D( , ), =k× + ,k= . 2 2 2 2 3 3

答案

A

考点四

简单线性规划的实际应用

【案例4】 (2010· 广东)某营养师要为某个儿 童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个 单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位 的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化 合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素,6 个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该 儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水 化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和 4元.那么要满足上述的营养要求,并且花费最少, 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

关键提示:确定两个变量,找出约束条件,构造目标 函数;注意实际问题的限制.

解:设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y 个单位的晚餐,设费用为F,则F=2.5x+4y,
?12x+8y≥64, ? ?6x+6y≥42, 由题意知:? ?6x+10y≥54, ?x≥0,y≥0. ? 画出可行域如图所示:

将目标函数 F=2.5x+4y 转化为直线的截距式方程:y 5 F =- x+ ,当目标函数过点 A,即直线 6x+6y=42 与 6x 8 4 +10y=54 的交点(4,3),F 取得最小值. 即要满足营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分 别预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐.

【即时巩固4】 (2010· 四川)某加工厂用某原 料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产 品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加 工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车 间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天 共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间 耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每 天总获利最大的生产计划为 ( ) A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60 箱 B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55

解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱, ?x+y≤70, ? 则?10x+6y≤480, ?x,y∈N, ?

目标函数 z=280x+200y.

结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大. 本题也可以将答案逐项代入检验.

答案

B


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