七年级数学下册8.1.1二元一次方程组教案1人教版[1]


8.1
教学目标
知识目标

二元一次方程组

1.体会方程是刻画现实世界的有效数学模型. 2.二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.

能力目标
1.通过分析实际问题,使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型. 2.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念,并会判断一组数是不是某个 二元一次方程组的解.

情感与价值观要求
1.体会方程的模型思想,培养学生良好的数学应用意识. 2.通过对学生熟悉的传统内容(如鸡兔同笼)的讨论,激发学生学习数学的兴趣.

教学重点
1.通过对实际问题的分析,使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型. 2.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念,并会判断一组数是不是某个 二元一次方程组的解.

教学难点
1.探索实际问题中的等量关系,列出二元一次方程组. 2.判断一组数是不是二元一次方程组的解.

教学方法
学生自主探索——教师引导的方法. 学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础. 在教学中, 教师可引导学生思 考列二元一次方程时,如何寻求等量关系,放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组.

教具准备
投影片三张: 第一张:老牛和小马的对话 第二张: “希望工程”义演 第三张:做一做

教学过程 Ⅰ.创设情境,引入新课
小学时,我们就解答过著名的“鸡兔同笼”的问题,如“今有鸡兔同笼,上有三十五 头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”谁能用我们学过的知识来解答一下呢? 解:设鸡有 x 只,则兔有(35-x)只,根据题意,可得: 2x+4(35-x)=94 解得 x=23 ∵35-x=35-23=12

答:鸡有 23 只,兔有 12 只. 也可以解答: 如果让每只鸡都抬起一条腿,让每只兔子都抬起两条腿,即让它们表演“优美动人”的 “金鸡独立”和“玉兔拜月” ,这样它们一共抬起了 94÷2=47 条腿,并且只有 47 条腿着地 了.接着让鸡飞上蓝天,让兔练习“金鸡独立” ,也就是每只兔子只有一只腿着地,这样着 地的腿数又减少了 35 条,而只有 47-35=12 条腿着地了,并且有一条腿着地,就有一只兔 子,所以应该有 12 只兔子,35-12=23 只鸡. 新的思路:在上面“鸡兔同笼”的问题中,我们会发现它有两个等量关系:鸡的只数+兔 子的只数=35;鸡的腿数+兔子的腿数=94.如果我设鸡有 x 只,兔子有 y 只,这时我们就得 到了方程 x+y=35 和 2x+4y=94. 这节课我们就来学习这样的方程及由它们组成的方程组.

Ⅱ.讲授新课
出示投影片,并讨论回答下列问题.
有这么一段对话:老牛和小马驮着包裹走在路上. 老牛:累死我了! 小马:你还累?这么大的个儿,才比我多驮 2 个. 老牛:哼,我从你背上拿来 1 个,我的包裹数就是你的 2 倍! 小马:真的?! 请问:老牛和小马各驮了多少包裹呢? [师生共析]设老牛驮了 x 个包裹,小马驮了 y 个包裹.从老牛和小马的对话中,我们 可以探索到其中的等量关系:①老牛驮的包裹-小马驮的包裹数 =2 ,②老牛驮的包裹数 +1=(小马驮的包裹数-1)×2.由此我们就可得到方程 x-y=2 和 x+1=2(y-1).

出示投影片
星期天,俱乐部举行“希望工程”义演,每张成人票 5 元,每张儿童票 3 元.我们共去 了 8 个人,买门票花了 34 元,请问我们共去了几个成人,几个儿童呢? 如果设我们共去了 x 个成人,y 个儿童,由此你能找到怎样的等量关系?得到怎样的方 程呢? 在上述问题中,我们可以找到的等量关系为:成人人数+儿童人数=8, 成人票款+儿童票款=34. 由此我们可得方程 x+y=8 和 5x+3y=34. 在上面的两个问题中, 我们得到了四个方程: x-y=2 和 x+1=2(y-1), x+y=8 和 5x+3y=34. 在 这四个方程中,它们有何共同的特点.下面请同学们分组讨论. (此时,老师可参与到学生的讨论中,引导学生和以前学过的一元一次方程相联系,观 察方程中有几个未知数,未知数的次数是几次?含有未知数的项的次数是几次?) 上面我们所列的四个方程都含有两个未知数, 未知数的次数和含有未知数的项的次数都是 一次.老师,我们能不能把它们叫二元一次方程.因为我国古代就把未知数叫做元,并且它 们的未知数的次数是一次. 很好.它们的确都是二元一次方程.但我有一个问题和大家共讨论.我这儿有一个方程 6xy-3=2.它也含有两个未知数,且未知数的次数 x,y 都是一次,它和上面的四个方程一 样吗? 不一样.它虽然含有两个未知数,未知数 x,y 也都是一次的,但 6xy 这一项即含未知 数的项却是二次的. 正象这位同学说的,6xy-3=2 不是二元一次方程.x-y=2 和 x+1=2(y-1),x+y=8 和

5x+3y=34 它们才是二元一次方程.能用自己的语言归纳什么叫二元一次方程吗? 含有两个未知数,并且含有两个未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程. 接下来,我们讨论下面的问题: 在上面的方程 x-y=2 和 x+1=2(y-1)中,x,y 的含义相同吗? 应该相同.在两个二元一次方程中,x 都表示老牛驮的包裹数,y 都表示小马驮的包裹 数,因此 x,y 的含义是相同的. 也就是说,x、y 既满足第一个方程 x-y=2,又满足第二个方程 x+1=2(y-1).于是我们 把它们联立起来,得 像这样的含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程, 叫做二元一次方程组. 如、 都是二元一次方程组.注意在一个方程组中 x、y 应代表同一个量.

出示投影片

做一做
(1)x=6,y=2 适合方程 x+y=8 吗?x=5,y=3 呢?x=4,y=4 呢?你还能找到其他 x、y 值适合 方程 x+y=8 吗? (2)x=5,y=3 适合方程 5x+3y=34 吗?x=2,y=8 呢? (3)你能找到一组 x、y 的值,同时适合方程 x+y=8 和 5x+3y=34 吗? (4)从以上三个问题归纳总结什么是二元一次方程的解?它的解有何特点? (5)满足何条件的一组值才能做为二元一次方程组的解? (请同学们分组讨论完成,教师深入学生当中,随时发现同学们讨论问题时的闪光点) [师生共析](1)把 x=6,y=2 代入方程 x+y=8 的左边得 x+y=6+2=8,左边=右边,所以 x=6,y=2 是适合方程 x+y=8.我们把适合二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一 次方程的解.因此 x=6,y=2 即为 x+y=8 的一组解. 我们会发现 x=5,y=3 也适合方程 x+y=8,因此 x=5,y=3 也是方程 x+y=8 的一组解. 还有没有其他的 x,y 的值适合方程 x+y=8 呢? [生]有.如 x=1,y=7;x=4,y=4;x=8,y=0;?? [生]我发现,只要给出 x 的一个值,代入 x+y=8 中,便可得到 y 的一个值.例如我们 设 x=-1,则代入 x+y=8 中,得-1+y=8,解得 y=9.所以 x=-1,y=9 适合方程,是方程的 一个解.也因此而得到 x+y=8 的解有无数多个. [师生共析](2)把 x=5,y=3 代入方程 5x+3y=34 的左边=5x+3y=5×5+3×3=34.所以 x=5、y=3 是方程 5x+3y=34 的一个解.同样 x=2,y=8 也是方程 5x+3y=34 的一个解.我们把 x=2,y=8 是方程 5x+3y=34 的一个解记作 ?

?x ? 2 ?x ? 5 同样 ? 也是方程 5x+3y=34 的一个解. ?y ? 8 ?y ? 2

(3)由(1)、 (2)我们可以发现 ?

?x ? 5 既是方程 x+y=8 的一个解, 也是 5x+3y=34 的一个解. 我 ?y ? 3

们把这两个二元一次方程的公共解,叫做由这两个二元一次方程组成的方程组的解.例如

? x? y ?8 ?x ? 5 就是二元一次方程组 ? 的解. ? ?5 x ? 3 y ? 34 ?y ? 3

Ⅲ.例题精析
[例 1] (1)已知方程 2xm+2+3y1
-2n

=17 是一个二元一次方程, 则 m=________, n=________.

(2)方程①y=3x2+x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=2;⑤

1 x? y +y=0;⑥x+y+z=1;⑦ +x=4 中, y 3

是二元一次方程的有_________. 解:(1)由二元一次方程的定义,得 m+2=1,1-2n=1 ∴m=-1,n=0 (2)根据二元一次方程的定义.可知②③⑤是二元一次方程. 评注:二元一次方程必须要同时符合下列条件的整式方程:①方程中含有两个未知数; ②方程中含有未知数的项的次数都是 1.

?x ? 1 [例 2]写出一个以 ? 为解的二元一次方程组. ? y ? ?1 ?x ? 1 ?2 x ? y ? 1 解:答案不惟一.只要写出的二元一次方程组的解是 ? 即可.例如 ? ? y ? ?1 ? x ? y ? 2.
评注:二元一次方程组的解必须同时适合方程组中的每个方程.

Ⅳ.随堂练习 Ⅴ.课时小结
这节课通过对实际问题的分析,使学生进一步体会到了方程是刻画现实世界的有效模 型.在此基础上,我们了解了二元一次方程.二元一次方程组及其解等概念,并学会了判断 一组数是不是某个二元一次方程组的解.

Ⅵ.课后作业
(一)课本 P1104 习题 11.1 (二)预习课本 P105~P107

Ⅶ.活动与探究
求二元一次方程 2x+y=7 的正整数解. 过程: 我们知道求二元一次方程 2x+y=7 的正整数解, 就是求适合 2x+y=7 的一组未知数 的正整数的值. 2x+y=7 的解有无数多个,而正整数解只有九个.由等式的性质可由方程 2x+y=7 得到 y=7-2x,由于 x,y 只能取正整数,所以 x=1,2 或 3. 当 x=1 时,y=7-2×1=5; 当 x=2 时,y=7-2×2=3; 当 x=3 时,y=7-2×3=1.

? x ? 1, ? x ? 2,? x ? 3, 结果:二元一次方程 2x+y=7 的正整数解为 ? ? ? ? y ? 5;? y ? 3;? y ? 1.

●板书设计

谁的包裹多 一、概念 1.二元一次方程 含有两个未知数,并且所含的未知数的项的次数都是 1 的方程叫二元一次方程. 2.二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组. 3.二元一次方程的解. 4.二元一次方程组的解. 二、例题精讲 例 1.(略) 例 2.(略) 三、随堂练习 四、课时小结

●备课资料 一、参考例题
[例 1]已知方程 8x=

1 y+4.(1)用 x 的代数式表示 y.(2)求当 x 为何值时,y=12? 3 1 y+4 实际就是含未知数 x 的一元一次方 3

分析:第(1)小题中,关键是把 x 看作是已知数,把 y 看作是未知数,然后按解一元一次 方程的解法解;第(2)小题中把 y=12 代入方程 8x=

程. 解:(1)去分母,得 24x=y+12 移项,得 y=24x-12 (2)若 y=12,即 24x-12=12 ∴24x=24,x=1 评注: 将二元一次方程中的一个未知数用另一未知数的代数式表示出来, 这个过程实质 是方程的一个变形,这种变形的方法是,把二元一次方程看做一元一次方程,其中把要表示 的未知数仍看作是未知数,把另一个未知数看作已知数,然后解一元一次方程即可.

?x ? 2 ?2 x ? (m ? 1) y ? 2 [例 2]已知 ? 是方程组 ? 的解,求 m+n 的值. ?nx ? y ? 1 ?y ? 1 ?x ? 2 ?2 x ? (m ? 1) y ? 2 分析:因为 ? 是方程组 ? ?nx ? y ? 1 ?y ? 1 ?x ? 2 的解,所以 ? 同时满足方程① ?y ? 1 ②
① ③ ④
则②和④可求

和方程②,将 ? x ? 2 分别代入方程①和方程②,可得 ?4 ? m ? 1 ? 2 ? ? ?y ? 1 ?2n ? 1 ? 1 出 m、n 的值.

解 : ∵ ?x ? 2 是 方 程 组 的 解 , 所 以 将 其 代 入 原 方 程 组 中 两 个 等 式 仍 成 立 , 即 ? ?y ? 1

?2 ? 2 ? (m ? 1) ?1 ? 2 ?m ? ?1 解得 ? ,∴m+n=-1+0=-1 ? ?2n ? 1 ? 1 ?n ? 0
评注:仔细体会“已知方程组的解”这类已知条件的用法,并加深理解方程组的解的意 义.

二、参考练习
1.填空题 - - (1)已知方程 2x2n 1-3y3m n+1=0 是二元一次方程,则 m=_________,n=_________. 1 x y (2) 方 程 ① 2x+5y=0; ② 2x - =8; ③ 5x+2y=7; ④ 4x - xy=3; ⑤ ? 1 ? ; ⑥ x - 2y2=6; y 4 5 ⑦

x? y +y=5 中,二元一次方程有_________.(填序号) 4
(3)若 x-3y=2,则 7-2x+6y=_________. (4)若 x=1,y=-1 适合方程 3x-4my=1,则 m=_________. (5)在 x-5y=7 中,用 x 表示 y=_________;若用 y 表示 x,则_________. 答案: (1)

1 2

1 2

(2) ①③⑤⑦

(3)7 - 2x+6y=7 - 2(x - 3y)=7 - 2 × 2=3

(4) -

1 2

(5)

x?7 5

7+5y

2.选择题 (1)下列方程组中,是二元一次方程组的是

?x ? ? y?5 A. ? 3 ? ? x ? 3z ? 7

? x ? 2 y ? xy ? 1 B. ? ?4 x ? 5 y ? 2

?x ?7 ? ?2 C. ? ?x ? y ? 1 ? ?2 3 4

y ? x? ?3 ? ? 2 D. ? ? 1 ? y ? ?3 ? ?x

?2 x ? y ? 7 ? (2)下列各对数中,是方程组 ? x y 的解是 ? ? ?1 ? ?4 2

?x ? 0 A. ? ? y ? ?2

?x ? 2 B. ? ? y ? ?3 ?

? x ? ?1 C. ? ? y ? ?5

D.均不对

?x ? 2 ?ax ? by ? 1 (3)已知 ? 是方程组 ? 的解,则 a 等于 ?y ? 1 ?ax ? by ? 5
A.

3 2

B.2

C .1

D.-2

?x ? a (4)若 ? 是方程 3x+y=0 的一个解(a≠0).则有 ?y ? b

A.a、b 异号 B.a、b 同号 答案:(1)C (2)B (3)A (4)A 3.已知方程 ( x ? 1) ? 1 ? 答案:-3

C.a、b 同号也可能异号

D.以上均不对

1 2

1 y ,求当 x=-3 时,y 的值. 3


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