2014届高考数学理科试题大冲关:3.2导数的应用(一)


2014 届高考数学理科试题大冲关:导数的应用(一)

一、选择题 1.函数 f(x)=x+elnx 的单调递增区间为( A.(0,+∞) C.(-∞,0)和(0,+∞) B.(-∞,0) D.R )

2.若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x2-4x+3,则使得函数 f(x+1)单调递减的一个充分不必 要条件为 x∈( A.(0,1) C.(1,3) ) B.[0,2] D.(2,4) )

3.函数 f(x)的导函数为 f′(x),若(x+1)· f′(x)>0,则下列结论中正确的是( A.x=-1 一定是函数 f(x)的极大值点 B.x=-1 一定是函数 f(x)的极小值点 C.x=-1 不是函数 f(x)的极值点 D.x=-1 不一定是函数 f (x)的极值点

4.已知函数 f(x)=4x+3sin x,x∈(-1,1),如果 f(1-a)+f(1-a2)<0 成立,则实数 a 的取 值范围为( A.(0,1) C.(-2,- 2) ) B.(1, 2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

5.若函数 f(x)=2x2-lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实 数 k 的取值范围是( A.[1,+∞) C.[1,2) ) 3 B.[1, ) 2 3 D.[ ,2) 2

6.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( ) A.2 C .6 二、填空题 7.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 8.如图是 y=f(x)的导函数的图象,现有四种说法: (1)f(x)在(-3,1)上是增函数;
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B.3 D.9

(2)x=-1 是 f(x)的极小值点; (3)f(x)在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数; (4)x=2 是 f(x)的极小值点; 以上正确的序号为________. 9.若函数 f(x)=x3-px2+2m2-m+1 在区间(-2,0)内单调递减,在区间(-∞,-2)及(0, +∞)内单调递增,则 p 的取值集合是________. 三、解答题 10.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在点 x0 处取得极小值-5,其导函数 y=f′(x)的图象 经过点(0,0), (2,0). (1)求 a,b 的值; (2)求 x0 及函数 f(x)的表达式.

11.设函数 f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立. 注:e 为自然对数的底数.

12.设 f(x)=ax3+bx+c 为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x-6y-7=0 垂 直,导函数 f′(x)的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,极大值和极小值,并求函数 f(x)在[-1,3]上的最大值与最 小值.

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详解答案
一、选择题 e 1.解析:∵函数 f(x)的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=1+ >0.故 f(x)的递增区间为 x (0,+∞). 答案:A 2.解析:令 f′(x)=x2-4x+3<0,得 1<x<3,即函数 f(x)的单调递减区间是[1,3],则使得 函数 f(x+1)的单调递减区间是[0,2],结合题意及选项知. 答案:A 3.解析:由题意,得 x>-1,f′(x)>0 或 x<-1,f′(x)<0,但函数 f(x)在 x=-1 处未必 连续,即 x=-1 不一定是函数 f(x)的极值点. 答案:D 4.解析:∵f(x)=4x+3sin x,x∈(-1,1), ∴f′(x)=4+3cos x>0 在 x∈(-1,1)上恒成立. ∴f(x)在(-1,1)上是增函数. 又 f(x)=4x+3sin x,x∈(-1,1)是奇函数, ∴不等式 f(1-a)+f(1-a2)<0 可化为 f(1-a)<f(a2-1), -1<1-a<1 ? ? 2 从而可知,a 需满足?-1<a -1<1 ? ?1-a<a2-1 答案:B 1 1 5.解析:因为 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x- ,由 f′(x)=0,得 x= .据题意得 x 2 1 ? ?k-1<2<k+1 ? , ? ?k-1≥0 3 解得 1≤k< . 2 答案:B 6.解析:函数的导数为 f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数 f(x)在 x=1 处有极值,可知函数 f(x)在 x=1 处的导数值为零,12-2a-2b=0,所以 a+b=6,由题意知 a,b 都是正实数,所

,解得 1<a< 2.

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a+b 2 6 2 以 ab≤( ) =( ) =9,当且仅当 a=b=3 时取到等号. 2 2 答案:D 二、填空题 7.解析:f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2,当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0, 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,显然当 x=2 时 f(x)取极小值. 答案:2 8. 解析:当 x∈(-3,-1)时,f′(x)<0,即 f(x)在(-3,-1)上是减函数,故(1)错误;对 (2),当 x<-1 时,f′ (x)<0,当 x>-1 时,f′(x)>0,故 x=-1 是 f(x)的极小值点,故(2)正确, 同理可知(4)错误;当 x∈(2,4)时,f′(x)<0,f(x)是减函数;当 x∈(-1,2)时,f′(x)>0,f(x)是 增函数,故(3)正确. 答案:(2)(3) 9.解析:由题意知 f′(-2)=0,f′(0)=0,而 f′(x)=3x2-2px,则有 12+4p=0,即 p =-3.故填{-3}. 答案:{-3} 三、解答题 10.解:(1)由题设可得 f′(x)=3x2+2ax+b. ∵f′(x)的图象过点(0,0),(2,0),
?b=0, ? ∴? 解得 a=-3,b=0. ?12+4a+b=0 ?

(2)由 f′(x)=3x2-6x>0,得 x>2 或 x<0, ∴在(-∞,0)上 f′(x)>0,在(0,2)上 f′(x)<0,在(2,+∞)上 f′(x)>0,∴f(x)在 (-∞,0),(2,+∞)上递增,在(0,2)上递减,因此 f(x)在 x=2 处取得极小值, 所以 x0=2,由 f(2)=-5,得 c=-1,∴f(x)=x3-3x2-1. 11.解:(1)因为 f(x)=a2lnx-x2+ax,其中 x>0, ?x-a??2x+a? a2 所以 f′(x)= -2x+a=- . x x 由于 a>0,所以 f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞). (2)由题意得:f(1)=a-1≥e-1,即 a≥e. 由(1)知 f(x)在[1,e]内单调递增, 要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立,
? ?f?1?=a-1≥e-1, 只要? 2 2 2 ?f?e?=a -e +ae≤e . ?

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解得 a=e. 12.解:(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). 即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c. ∴c=0. ∵f′(x)=3ax2+b 的最小值为-12, ∴b=-12. 1 又直线 x-6y-7=0 的斜率为 , 6 因此 f′(1)=3a+b=-6, 故 a=2,b=-12,c=0. (2)f(x)=2x3-12x,f′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2), 列表如下 X f′(x) f(x) (-∞,- 2) + - 2 0 极大 (- 2, 2) - 2 0 极小 ( 2,+∞) +

所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2,+∞). f(x)的极大值为 f(- 2)=8 2,极小值为 f( 2)=-8 2 又 f(-1)=10,f(3)=18, 所以当 x= 2时,f(x)取得最小值为-8 2,当 x=3 时 f(x)取得最大值 18.

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