3.2立体几何中的向量方法(1)


3.2 立体几何中的向量方法(1) 一、【教学目标】
重点:直线的方向向量和平面的法向量. 难点:求平面的法向量. 知识点: .会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置 关系. 能力点: .从应用其证明空间线面的平行与垂直问题中体会直线的方向向量与平面的法向量在解决立 体几何中线面平行与垂直问题时的作用.从而树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心. 教育点:通过合作学习,学生间、师生间的相互交流,感受探索的乐趣与成功的喜悦,体会数学的理 性与严谨,逐步养成质疑的科学精神. 自主探究点:学会根据已有的情景资料找规律,进而分析、判断、归纳结论,强化“形”与“数”一 致并相互转化的思想方法. 考试点:能用向量方法证明线面的平行或垂直. 易错易混点:直线的方向向量与平面的法向量确定. 拓展点:链接高考.

二、 【引入新课】
复习回顾 前面,我们把

平面向量

推广到


空间向量

向量 究 渐渐成为重要工具

立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面以及由 它们组成的空间图形)
1.共线向量定理: 对空间任意两个向量 a, b (b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ?b ( ? 唯一) . 2.共面向量定理: 如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数 x , y 使 p ? xa ? yb . 【设计意图】:为新课做好知识、思想准备.

三、【探究新知】
1.类比理解,温故知新 为了运用向量法解决立体几何问题,首先要明确空间的点、线、面的位置是否可以用向量来确定?想 一想平面内点、线的位置可以由向量来唯一确定吗?你能利用类比的方法,相应地得出空间点、线、面的 位置也可以由向量来唯一确定的结论吗?请阅读课本第 102 页---第 103 页探究上方的内容,考下面问题: (1)如何确定一个点在空间的位置? (2)在空间中给一个定点 A 和一个定方向(向量) ,能确定一条直线在空间的位置吗? (3)给一个定点和两个定方向(向量) ,能确定一个平面在空间的位置吗?
1

(4)给一个定点和一个定方向(向量) ,能确定一个平面在空间的位置吗? 2.生成概念,提升能力 (1)点的位置向量 在空间中,取一定点 O 作为基点,空间任一点 P 的位置可用向量 OP 表示,故 OP 为点 P 的位置向量. (2)直线方向向量 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定. 对于直线 l 上的一点 P,存在实数 t 使得 AP ? t AB. 此方程称为直线的向量参数方程.这样点 A 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置, 还可以具体写出 l 上的任 意一点.
O P

OP ? OA ? t a
OP ? xOA ? yOB ( x ? y ? 1)
A
(3)平面的法向量 空间中平面?的位置可以由?内两条相交直线来确定. 对 于 平 面 ? 上 的 任 一 点 P, 存 在 有 序 实 数 对 (x,y) , 使 得

a
B

l P

OP ? xa ? yb.
b 不仅可以确定平面?的位置,还 这样,点 O 与向量 a 、
可以具体表示出?内的任意一点,除此之外,还可以用垂直于平 面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位 置.
n

b

P

?

O

a

平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线 垂直于平面?,则称这个向量垂直于平面?,记作 n ⊥ ? ,如 果 n ⊥ ? ,那么向量 n 叫做平面 ? 的法向量.

l

n
?

给定一点 A 和一个向量 n ,那么过点 A,以向量 n 为法向量的平面是完全确定的. 几点注意: (1)法向量一定是非零向量; (2)一个平面的所有法向量都互相平行; (3)向量 n 是平面的法向量,向量 m 是与平面平行或在平面内,则有 n ? m ? 0 .
2

四、【理解新知】
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置,所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向 量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系. 1.平行关系

(1) 设直线l, m的方向向量分别为 a, b ,平面?、?的法向量分别为 u, v,则
? a
a

l

? u

? u
b
线

?
?
? v

l

m
l // m ? a // b ? a ? kb ;
线面平行

?
线 平 行

l / /? ? a ? u ? a ? u ? 0;

面面平行 ? // ? ? u // v ? u ? kv .

(2) 设直线 l 的方向向量为 a ? (a1, b1, c1 ),平面?的法向量为 u ? (a2 , b2 , c2 ),则

l // ? ? a ? u ? 0 ? a1a2 ? bb 1 2 ? c1c2 ? 0.
注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合. 2.垂直关系

(1) 设直线l, m的方向向量分别为 a, b ,平面?、?的法向量分别为 u, v,则
l

a

?

a

l

u
C B

u

v

l

m

A

?

?

线线垂直 线面垂直 面面垂直

l ? m ? a ? b ? a? b 0 ?;

l ? ? ? a/ / u ? a ? k ;u

? ? ? ? u ? v? u v? 0 .

3

(2) 设直线l 的方向向量为a ? (a1 , b1 , c1 ),平面?的法向量为u ? (a2 , b2 , c2 ),则

l ? ? ? a // u ? a ? ku ? a1 ? ka2 , b1 ? kb2 , c1 ? kc2 .
a2 , b2 , c2 ? 0, a // u ?
3.夹角

a1 b1 c1 ? ? . a2 b2 c2

设直线l, m的方向向量分别为 a, b ,平面?、?的法向量分别为 u, v,则
(1)异面直线 l , m 所成的角为 ? (0 ? ? ?

?
2

) cos? ?

a ?b a b

(2) 直线 l与平面 ? 所成的角为 ? (0 ? ? ?

?
2

), sin ? ?

a ?u a u

(3) 二面角? - l - ?的大小为? (0 ? ? ? ? ), cos ? ?
【设计意图】:总结规律,得出一般性结论.

u ?v u v

五、【运用新知】
例 1.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0),B(0,4,0) C(0,0,2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. 解: 设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z) ; 则 n ? AB , n ? AC .

AB=(-3,4,0) , AC=(-3,0,2)

3 ? y? x ? ?( x, y, z ) ? (?3, 4,0) ? 0 ??3x ? 4 y ? 0 ? 4 ∴? 即? ∴? ?( x, y, z ) ? (?3,0, 2) ? 0 ??3x ? 2 z ? 0 ? z ? 3 x ? ? 2
取 x ? 4 ,则 n=( 4,3,6) ∴ n ? (4,3,6) 是平面 ABC 的一个法向量. 【设计意图】:明确如何求平面的法向量?

(1) 设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z) ;

(2) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a ? (a1, b1, c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 ) ;
? ?n ? a ? 0 (3) 根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 ? ; n ? b ? 0 ? ?
4

(4) 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
例 2.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 已知:直线 l与m 相交, l ? ? , m ? ? , l∥? , m∥? 求证:?∥?

证明 取l,m的方向向量a, b;取?,?的法向量u, v.
l∥? , m∥? ? a ? v, b ? v

又a, b不共线, 所以v是?的一个法向量
于是v同时是?、?的一个法向量

? ?∥?
【设计意图】:突出直线的方向向量和法向量的作用,用向量证明有关结论的重要工具. 例 3 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=DC, E 是 PC 的 中点, 求证:PA//平面 EDB. 解:法一: 如图所示建立空间直角坐标系, z 点 D 为坐标原点,设 DC=1 连结 AC,AC 交 BD 于点 G,连结 EG P

1 1 A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E (0, , ) 2 2 1 1 PA ? (1, 0, ?1), EG ? ( , 0, ? ) 2 2

E

D

C
y

所以PA ? 2EG ,即PA // EG
A

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
法二 :建系同上

B

x

B

1 1 PA ? (1,0, ?1), DE ? (0, , ) DB=(1,1, 0) 2 2
设平面 EDB 的法向量为 n ? ( x, y,1)

1 ?1 ? y? ?0 ? n ? ?1, ? 1, 1? ? PA ? n ? 0 ? PA ? n 而PA ? 平面EDB 则n ? DE, n ? DB 于是 ? 2 2 ? ?x ? y ? 0

所以,PA // 平面EDB
法三:建系同上
5

设PA ? xDE ? yDB 解得 x=-2,y=1
即PA ? ?2DE ? DB 于是PA 、 DE、 DB共面 而PA ? 平面EDB 所以,PA // 平面EDB
【设计意图】:利用空间向量解决立体几何中的平行问题 (1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量,但要注意说明这两条直线不共 线. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,但要说明直线不在平面内. ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 共线,也要说明直线不在平面内. ③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.同时要注意强 调直线不在平面内. 例 4 如图 1, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, BC=3, AC=6, D, E 分别是 AC, AB 上的点, 且 DE∥BC, DE=2, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

解: (1)

CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平面 A1CD ,

AC ? 平面 A1CD , 1
? DE ? AC 1

又 A1C ? CD ,
? 平面 BCDE 。 ? AC 1

(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , 0, 0 ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , 3, 0? , E ? ?2 , 2, 0? ∴A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , ? 1, 0? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y , z?

?

?

?

?

z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

D (-2,0,0) C (0,0,0) x

6

?A B ? n ? 0 ? 则? 1 ? ? A1 E ? n ? 0

?3 y ? 2 3z ? 0 ? ∴? ? ??2 x ? y ? 0

? 3 z? y ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

∴n ? ?1 ,2 , 3

?

?

又∵M ?1 ,0 , 3

?

?
?

∴CM ? ?1 ,0 , 3 ∴cos ? ?

?

CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 ,

∴CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45 ? 。 (3)设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , a, 0? ,则 a ? ? 0 , 3? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 , a, 0? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ? ,

?

?

? ?ay ? 2 3z1 ? 0 则? 1 ? ?2 x1 ? ay1 ? 0
∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a

? 3 z ? ay ? ? 1 6 1 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 1 ? ? 2

?

?。

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直, 则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 , ∵ 0 ? a ? 3 ,∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直。 【设计意图】:运用向量数量积判断向量的共线与垂直,用向量证明线线、线面、面面的垂直,尤其是 用向量法来解决垂直问题相比一作二证三算法要方便了许多.

六、【课堂小结】
用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路: 一种是用向量表示几何量, 利用向量的运算进行判断; 另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标) 表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之 间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

七、【布置作业】
必做题:1. 设 a, b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件,判断 l1,l2 的位置关系.

(1) a ? (2, ?1, ?2), b ? (6, ?3, ?6); (2) a ? (1, 2, ?2), b ? (?2,3, 2); (3) a ? (0, 0,1), b ? (0, 0, ?3).
7

2.设 u, v 分别是平面 ? , ? 的法向量,根据下列条件,判断 ? , ? 的位置关系.

(1) u ? (?2, 2,5), v ? (6, ?4, 4); (2) u ? (1, 2, ?2), v ? (?2, ?4, 4); (3) u ? (2, ?3,5), v ? (?3,1, ?4).
3.设平面 ? 的法向量为 (1, 2,-2 ,平面 ? 的法向量为 (?2, ?4, k ) ,若 ? ∥ ? ,则 k ? ____; ) 若 ? ⊥ ? ,则 k ? _______. 4.已知 l ∥ ? ,且 l 的方向向量为 (2, m,1) ,平面 ? 的法向量为 (1, , 2) ,则 m =___. 5.若 l 的方向向量为 (2,1, m) ,平面 ? 的法向量为 (1, , 2) ,且 l ⊥ ? ,则 m ? _______. 选做题: 用向量法证明:一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

1 2

1 2

八、【教后反思】
1.本教案的亮点是:①知识结构清晰,直观简明;②知识梳理强化了学生对于利用空间向量表示平行 或垂直时,直线的方向向量与平面的法向量之间的关系,便于学生的理解记忆;③例题选择有代表性,紧 扣课本,链接高考,知识的重点、难点体现较好,通过讲练结合,大大提高学生的学习效率;④对解题方 法的总结比较好,便于学生系统的运用所学知识解决具体问题. 2.本教案的弱项是:内容多,个别学生接受起来吃力.

九、板书设计
3.2 立体几何中的向量方法 平行关系: 垂直关系: 夹角: 例 1: 例 2: 例 3: 例 4:

8


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