圆锥曲线问题是高考的重点(切点弦方程)


圆锥曲线问题是高考的重点,曲线的切线又是近几年的热点,这类题对学生的要求比较高, 充分考查学生的逻辑思维能力,本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、 抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。 背景知识 已知圆 C:x2+y2= r2(r>0),点 A(x0, y0)是圆 C 上一点,求以点 A 为切点的切线方程。 分析:易知以 A(x0, y0)为切点的直线方程为:x0x+y0y=r2(r>0). (2011 年江西高考理科第 14 题)

问题 1:若椭圆

的焦点在 x 轴上,过点(1,

)作圆 x2+y2=1 的切线,切

点分别为 A、B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 解:设 A(x1,y1) B(x2,y2) ∵点 A、B 在圆 x2+y2=1 上,则 过点 A(x1,y1)的切线方程为 L1:x1x+y1y=1. 过点 B(x2 ,y2)的切线方程为 L2:x2x+y2y=1.

由于 L1,L2 经过点(1,

)则 x1+

y1=1

x2+

y2=1

故(x1,y1)(x2,y2)均为方程 x+

y=1 的解。

∴经过 A、B 两点的直线方程 AB:x+

y=1

设椭圆

的右焦点为(c ,0),上顶点为(0 ,b)

由于直线 AB 经过椭圆右焦点和上顶点。

∴c=1

即 b=2

∴a2=b2+c2=5

故椭圆方程为 由此题的解题方法,可得到如下推广: 结论一:(圆的切点弦方程) 过圆 x2+y2= r2(r>0),外一点 P(a,b)作圆的两切线,切点为 M、N,则直线 MN 的 方程为:ax+by=r2

问题 2:过椭圆 的方程。

外一点 P(1,2)作椭圆的两切线,切点为 M、N 求直线 MN

解:设 M(x1,y1) N(x2,y2)则过 M、N 的切线方程分别为;

由于两切线都过 P(1,2),则





这两式表示直线

经过 M、N,所以直线 MN 的方程为:

结论二:(椭圆的切点弦方程)

过椭圆

(a>b>0)外一点 P(x0,y0)作椭圆的两切线,切点为 M、N 则直

线 MN 的方程为:

问题 3:过抛物线 y2=4x 外一点 P(-1,-2)作抛物线两切线,切点分别为 M、N,求直 线 MN 的方程。 解:设 M(x1 y1)N(x2 y2)则过 M、N 的切线方程为 y1y=2(x+x1) y2y=2(x+x2) 由于过 M、N 的切线都经过 P(-1、-2)则-2y1=2(x1-1) -2y2=2(x2-1) ∴直线 MN 的方程为-2y=2(x-1)即 x+y-1=0 结论三:(抛物线的切点弦方程) 过抛物线 y2=2px(p>0)外一点 P(x0,y0)作两切线,切点为 M、N,则直线 MN 的方程 为 yy0=p(x+x0)

问题 4:过双曲线 直线 MN 的方程。

外一点 P(3,3)作双曲线两切线,切点分别为 M、N,求

解:设两切点的坐标为 M(x1,y1)N(x2,y2)则两切线方程为

由于两切线均过 P(3,3)则

故(x1,y1)(x2,y2)均为方程

的解,

则过 M,N 的直线方程为: 结论四:(双曲线的切点弦方程)

过双曲线

外一点 P(x0 ,y0)作双曲线两切线,切点分别为 M、N 则直线 MN

的方程为:


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