上海市延安中学2013学年度第二学期期中考试(高二数学)


上海市延安中学 2013 学年度第二学期期中考试(高二数学) (考试时间:90 分钟 满分:100 分)

班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律地零分. 1、复数 ?4 ? i 的虚部为___________. 2、 ?3 的平方根是___________. 3、已知球 O 的半径为 2cm ,则球 O 的表面积为___________ cm . 4、正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,二面角 A ? CD ? A 1 的大小为___________. 5、已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 1,高为 2,则其体积为___________. 6、已知圆柱底面半径为 r , O 是上底面圆心, A 、 B 是下底面圆周上 两个不同的点,母线 BC 长为 3.如图,若直线 OA 与 BC 所成角的大小
2

? ,则 r =___________. 6 7、正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面边长为 2,若 AC1 与底面 ABCD
为 所成角为 60 ,则 AC 1 1 和底面 ABCD 的距离是___________. 8 、 若 关 于 x 的 方 程 x2 ? (1 ? i) x ? 6 ? 3i ? 0 有 两 根 x1 和 x2 , 其 中 x1 是 实 数 根 , 则

x1 =___________. x2
9、正四棱锥的底面边长为 2cm ,高为 3cm ,则该四棱锥的表面积为___________ cm . 10、在复平面上,已知直线 l 上的点 Z 所对应的复数 z 都满足 z ? 3 ? z ? 4 ? i ,则直线 l 的 倾斜角为___________.(结果用反三角函数值表示) 11、设圆锥底面圆周上两点 A 、 B 间的距离为 2,圆锥顶点到直线 AB 的距离为 3, AB 和 圆锥的轴的距离为 1,则该圆锥的体积为___________. 12、 在 xOy 平面上, 将双曲线的一支 其渐近线 y ?
2

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 及 9 16

4 x 和直线 y ? 0 ,y ? 4 围成的封闭图形记 3

为 D ,如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何 体为 ? .过 (0, y )(0 ? y ? 4) 作 ? 的水平截面,计算截面 面积,利用祖暅原理得出 ? 的体积为___________. 二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,选对得 4

分,否则一律的零分. 13、 可以用集合语言将 “公理 1: 如果直线 l 上有两个点在平面 ? 上, 那么直线 l 在平面 ? 上.” 表述为( )

(A)若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? ; (B)若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? ; (C)若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? ; (D)若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? .

R 和 I 分别表示复数集、 14、 若用 C 、 实数集和纯虚数集, 其中 C 为全集, 那么有 (
(A) C = R



I

(B) R

?CI = R

(C) ? CR ? C

I

(D) ? CR

I?I

15、已知 ABCD 矩形中, AB ? 4 , AD ? 3 ,在水平位置的平面 并使对角线 AC 平行于 ? 上画出矩形 ABCD 的直观图 A' B'C' D' ,

y 轴,则 A' B'C' D' 的面积为(
(A) 12 (C) 6 (B) 6 2 (D) 3 2



16、如图,点 A 是平面 ? 外一定点,过 A 作平面 ? 的斜 线 l ,斜线 l 与平面 ? 所成角为 50 .若点 P 在平面 ? 内 运动,并使直线 AP 与 l 所成角为 35 ,则动点 P 的轨迹 是( (A)圆 (C)抛物线 ) (B)椭圆 (D)双曲线的一支

三、简答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17、 (本题满分 8 分) 已知复数 z 满足 z ? 2 ? 3(1 ? z)i ,求 | z | .

18、 (本题满分 8 分)

已知直线 a 在平面 ? 上,直线不在平面 ? 上,且 a∥ b ,求证: b∥ ? . (注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为完整的证明) 证明:因为直线不在平面 ? 上,所以______①______或 b 下面 b 假设 b

? ? A,

? ? A 不可能. ? ? A,

因为______②______,所以 A ? a . 在平面 ? 上过作直线 c∥a , 根据______③______,可得______④______, 这和 b

c ? A 矛盾,所以 b ? ? A 不可能.

所以 b∥ ? . 19、 (本题满分 8 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 120 的扇形,且圆锥的全面积为 (1)圆锥的底面半径和母线长; (2)圆锥的体积.

4? cm2 ,求: 3

20、 (本题满分 12 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 已知关于 x 的实系数一元二次方程 2x2 ? 4(m ?1) x ? m2 ? 1 ? 0 . (1)若方程的两根为 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2 ? 2 ,求 m 的值; (2)若方程有虚根 z ,且 z ? R ,求 m 的值.
3

21、 (本题满分 12 分) 本题共 2 个小题, 第 1 小题满分 6 分,

第 2 小题满分 6 分 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1. (1) 在空间中与点 A 距离为

1 的所有点构成曲面 S , 曲面 S 将正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1分 3

为两部分,若设这两部分的体积分别为 V1 , V2 (其中 V1 ? V2 ) ,求的 (2)在正方体表面上与点 A 的距离为

V1 值; V2

2 3 的点形成一条空间曲线,求这条曲线的长度. 3

上海市延安中学 2013 学年度第二学期期中考试(高二数学) (考试时间:90 分钟 满分:100 分)

班级______________姓名______________学号________________成绩______________ 一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律地零分. 1、复数 ?4 ? i 的虚部为______ ?1 _____. 2、 ?3 的平方根是______ ? 3i _____. 3、已知球 O 的半径为 2cm ,则球 O 的表面积为______ 16? _____ cm .
2

4、正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,二面角 A ? CD ? A 1 的大小为______ 45 _____. 5、已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 1,高为 2,则其体积为______ 6、已知圆柱底面半径为 r , O 是上底面圆心, A 、 B 是下底面圆周上 两个不同的点,母线 BC 长为 3.如图,若直线 OA 与 BC 所成角的大小

3 _____. 6

? ,则 r =______ 3 _____. 6 7、正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面边长为 2,若 AC1 与底面 ABCD
为 所成角为 60 ,则 AC 1 1 和底面 ABCD 的距离是______ 2 6 _____. 8 、 若 关 于 x 的 方 程 x ? (1 ? i) x ? 6 ? 3i ? 0 有 两 根 x1 和 x2 , 其 中 x1 是 实 数 根 , 则
2

3 x1 =______ ? (2 ? i ) _____. 5 x2
9、 正四棱锥的底面边长为 2cm , 高为 3cm , 则该四棱锥的表面积为____ 4 ? 4 10 ___ cm .
2

10、在复平面上,已知直线 l 上的点 Z 所对应的复数 z 都满足 z ? 3 ? z ? 4 ? i ,则直线 l 的 倾斜角为______ arctan 7 _____.(结果用反三角函数值表示) 11、设圆锥底面圆周上两点 A 、 B 间的距离为 2,圆锥顶点到直线 AB 的距离为 3, AB 和 圆锥的轴的距离为 1,则该圆锥的体积为______ 12、 在 xOy 平面上, 将双曲线的一支 其渐近线 y ?

4 2? _____. 3

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 及 9 16

4 x 和直线 y ? 0 ,y ? 4 围成的封闭图形记 3 为 D ,如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何
体为 ? .过 (0, y )(0 ? y ? 4) 作 ? 的水平截面,计算截面 面积,利用祖暅原理得出 ? 的体积为______ 36? _____. 二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题

有且只有一个正确答案,选对得 4 分,否则一律的零分. 13、 可以用集合语言将 “公理 1: 如果直线 l 上有两个点在平面 ? 上, 那么直线 l 在平面 ? 上.” 表述为( C )

(A)若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? ; (B)若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? ; (C)若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? ; (D)若 A ? l , B ? l 且 A ? ? , B ? ? ,则 l ? ? . 14、 若用 C 、R 和 I 分别表示复数集、 实数集和纯虚数集, 其中 C 为全集, 那么有 ( (A) C = R D )

I

(B) R

?CI = R

(C) ? CR ? C

I

(D) ? CR

I?I

15、已知 ABCD 矩形中, AB ? 4 , AD ? 3 ,在水平位置的平面 并使对角线 AC 平行于 ? 上画出矩形 ABCD 的直观图 A' B'C' D' ,

y 轴,则 A' B'C' D' 的面积为(
(A) 12 (C) 6

D



(B) 6 2 (D) 3 2

16、如图,点 A 是平面 ? 外一定点,过 A 作平面 ? 的斜 线 l ,斜线 l 与平面 ? 所成角为 50 .若点 P 在平面 ? 内 运动,并使直线 AP 与 l 所成角为 35 ,则动点 P 的轨迹 是( B ) (B)椭圆 (D)双曲线的一支

(A)圆 (C)抛物线

三、简答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17、 (本题满分 8 分) 已知复数 z 满足 z ? 2 ? 3(1 ? z)i ,求 | z | . 由已知可得: (1 ? 3i) z ? 2 ? 3i ? z ?

2 ? 3i , 1 ? 3i

从而 | z |?| z |?

2 ? 3i 2 ? 3i 7 . ? ? 2 1 ? 3i 1 ? 3i

18、 (本题满分 8 分)

已知直线 a 在平面 ? 上,直线不在平面 ? 上,且 a∥ b ,求证: b∥ ? . (注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为完整的证明) 证明:因为直线不在平面 ? 上,所以___① b∥ ? ___或 b 下面 b 假设 b

? ? A,

? ? A 不可能.

? ? A,

因为___② a∥ b ___,所以 A ? a . 在平面 ? 上过作直线 c∥a , 根据___③公理 4___,可得___④ b∥c ___, 这和 b

c ? A 矛盾,所以 b ? ? A 不可能.

所以 b∥ ? . 19、 (本题满分 8 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 120 的扇形,且圆锥的全面积为 (1)圆锥的底面半径和母线长; (2)圆锥的体积. (1)设圆锥底面半径为 r cm ,母线长为 R cm .

4? cm2 ,求: 3

2 ? R ? R ? 3r , 3 4? 1 2 ? ? r 2 ? ? ? R 2 ? 4? r 2 , 又根据已知:圆锥的全面积为 3 2 3
由圆锥底面周长为 2? r ? 解得 r ?

3 cm , R ? 3cm . 3 R2 ? r 2 ? 2 6 1 2 6 cm ,从而圆锥体积 V ? ? r 2 h ? ? cm3 . 3 3 27
2 2

(2)圆锥的高 h ?

20、 (本题满分 12 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 已知关于 x 的实系数一元二次方程 2x ? 4(m ?1) x ? m ? 1 ? 0 . (1)若方程的两根为 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2 ? 2 ,求 m 的值; (2)若方程有虚根 z ,且 z ? R ,求 m 的值.
3

m2 ? 1 ? 0 ,可知两根同 2 号,从而 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 2(m ?1) ? ?2 ,解得 m ? 0 或 m ? 2 (舍) ;
(1)当 ? ? 0 ,即 m ? (??,2 ? 3] [2 ? 3, ??) ,由 x1 ? x2 ? 当 ? ? 0 , 及 m?( 2 ?

3 , 2?

3, ) 此 时 方 程 有 两 个 共 轭 复 根 , 故 x1 ? x2 , 且 由
2

x1 ? x2 ? 2 可得 x1 ? 1 ,进而 1 ? x1 ? x1 x2 ?
从而综上所述: m ? 0 或 m ? 1 .

m2 ? 1 ,解得 m ? 1 或 m ? ?1 (舍) ; 2

(2)由题意 2z 2 ? 4(m ?1) z ? m2 ? 1 ? 0 (I) ,从而 2 z3 ? 4(m ?1) z 2 ? (m2 ? 1) z ? 0 (II)
3 2 2 2 2 由(I) 、 (II)联立消去 z ,可得 2 z ? ? ?(m ? 1) ? 8(m ? 1) ? ? z ? 2( m ? 1)( m ? 1) ? 0

由于 z 为虚数,且 z ? R ,从而 (m2 ? 1) ? 8(m ?1)2 ? 0 ? 7m2 ?16m ? 7 ? 0 ,
3

解得 m ?

8 ? 15 . 7

21、 (本题满分 12 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1. (1)在空间中与点 A 距离为

1 的所有点构成曲面 S ,曲面 3

S 将正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 分为两部分,若设这两部分
的体积分别为 V1 , V2 (其中 V1 ? V2 ) ,求的 (2)在正方体表面上与点 A 的距离为

V1 值; V2

2 3 的点形成一条空间曲线,求这条曲线的长度. 3

1 4 1 3 ? ? V (1)由题意: V2 ? ? ? ? ( ) ? ,从而 V1 ? 1 ? ,则 1 ? 8 3 3 162 162 V2
(2)由题意:以 A 球心,

1?

?

162 ? 162 ? ? .

?

?

162

2 3 为半径的球面与正方体 AC1 各侧面的截交线均为圆弧段. 3

球面与侧面 AC 、 AB1 、 AD1 所截得的圆弧段,可视作均以 A 为圆心,圆心角均为

? ,半 6

径均为

2 ? 2 3 3 的圆弧,从而相应圆弧段长为 ? 3? ?; 3 6 3 9

B 、 D 为圆心,圆心 球面与侧面 C1 A1 、 C1B 、 C1D 所截得的圆弧段,可视作分别以 A 1、
角均为

? ? 3 3 3 ,半径均为 的圆弧,从而相应圆弧段长为 ? ? ?; 2 2 3 6 3
? 3 3 ? 5 ? ? ??? 3? . ? 6 9 ? ? ? 6

从而球面与整个正方体相相截所得的空间区间长为 3 ? ?


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