3.2.2平面的法向量与平面的向量表示


一、复习引入
1.直线与平面垂直的定义、判定和性质
定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线, 那么称这条直线和这个平面垂直。 判定:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线, 则这条直线与这个平面垂直。 性质: (1)垂直于同一个平面的两条直 线平行。 (2)垂直于同一条直线的两个平 面平行。
?
l

?
n

l'

m A

二、提出问题
1.如何用向量来表示空间直线与平面的垂直? ??? ? ? 2.直线的向量表示为 A P ? t a 平面怎样用向量来表达呢?

三、概念形成
? ? 已知平面 ? ,如果向量 n 的基线与平面 ? 垂直,则 n ? 叫做平面 ? 的法向量或说向量 n 与平面 ? 正交。
由平面的法向量的定义可知,平面 ? 的法向量有无穷多个, 法向量一定垂直于与平面 共面的所有向量。 ? 由于垂直于同一平面的两条直线

概念1.平面的法向量

平行,所以,一个平面的所有法 向量都是平行的。 模为1的法向量,叫做单位法向量, ?? ? ? 记作 n 0 显然 ?? ?
n n0 ? ? |n|

? n ? b ? a

???? ?? mm ? c

?

三、概念形成
概念1.平面的法向量
例子:正方体AC1棱长为1,求平面ADB1的一个法向量。
A1
正方体AC1棱长为1,求平面ADB1的一个法向量。 解:建立如图所示的坐标系A-xyz,则
???? ???? ? ? D A ? (0 , ? 1, 0 ), D B 1 ? (1, ? 1,1) ? 设 n ? ( x , y , z ) 是平面ADB1的法

D1
C1

B1
D1 C1 D y C

A(0,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1)

z A1 B1 A B x

向量。那么
? ???? ?n ? DA ? ? y ? 0 ? ? ? ? ???? ? n ? D B1 ? x ? y ? z ? 0 ?

?y ? 0 ? ?x ? z ? 0

A B C

D

? 令z=1,得 n ? ( ? 1, 0,1)

向量证法

一个平面的法向量不只一个,但它们都是平行(或共线)的, 我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。

例题
例1:已知点 A(a,0,0) , (0, b,0) , (0,0, c),其中 abc? 0 B C 求平面 ABC 的一个法向量。
解:由已知得
AB? OB OA (?a,b 0 ? ? , ) AC? OC OA (?a,0 c) ? ? ,
O z C

n

设平面 (y ABC n ,, 的一个法向量 ? z x ) B
y

??AB ,yz? ? b ) ? ? ? n ?x , ) ( a , ? ax ( , 0 by 0 ? 则 ? ??AC ,yz? ? 0 ) ? ? ? n ?x , ) ( a , ? ax ( , c cz0 ?
解得? y a b x z? , a c x

A x

bc ,ab 令 , y ac x bc?, ? ? 则 z ab n?( ,ac )
a a 令? , x 1则y? ,z? b c

a a n ? (1, , ) b c

有何 关系?

三、概念形成
概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明
直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,那么这条直 线垂直于这个平面。 已知:a , b 是平面 ? 内的两条相交的直线,且 n ? a , n ? b 求证: n ? ? n
已知:a , b 是平面 ? 内的两条相交的直线,且 n ? a , n ? b 求证: n ? ? 证明:设 m 是 ?? 内任意一条直线。在 n , a , b , m 上分别取非 ? ? ? ?? 零向量 n , a , b , m 。
?? ? ? ? m ? xa ? yb ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? m ? n ? ( xa ? yb) ? x n ? a ? yn ? b ? ? ? ? ? ?? ? ? n ? a ? 0, n ? b ? 0 ?n?m ? 0 ? ?? ? 即 n?m 所以 n ? m

因为 a , b ,由共面向量定理可知,存在唯一的数对(x,y),使
n
? a
?

? n

b

因为 n 垂直于平面 ? 内任意一条直 线,所以 n ? ?

?? m ? ? m

b

a b

向量证法

?

a

三、概念形成
概念3.平面的向量表示
空间直线可以用向量来表示,对于空间的平面也可以用向 量来刻画。 ? 设A是空间任意一点, n 为空间任意一个非零向量,适合条 ????? ? 件 A M ? n ? 0 的点 M 的集合构成什么样的图形? 我们可以通过空间一点和一个 非零向量确定唯一的一个与该

? n
M1

向量垂直的平面。 ????? ? AM ? n ? 0
称此为平面的向量表达式。

?

M

A

M2

三、概念形成
概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直
?? ?? ? ? 设 n1 , n 2 分别是平面 ? , ? 的法向量,则有 ?? ?? ? ? ? // ? 或 ? 与 ? 重 合 ? n1 // n 2
?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? n1 ? n 2 ? n1 ? n 2 ? 0

?? ? ? n1 ?? ? n1 ?? ? n2

?

?

三、概念形成
概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直
例子 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的 D1
已知正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别是BB1,CD的中点。 求证:平面DEA⊥平面A1FD1 。 证明:如图所示,建立平面直角坐标系Dxyz。令DD1=2,则 D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),F(0,1,0),E(2,2,1) 设 n1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ), n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,分别是平面DEA,A1FD1的 ?? ? ???? ?? ? ???? z D 法向量,则 n1 ? D A , n1 ? D E C1 1 所以 ?
? ( x 1 , y 1 , z 1 ) ? ( 2, 0, 0 ) ? 0 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) ? ( 2, 2,1) ? 0 ? x1 ? 0 A1 ? ? ? 2 y1 ? z1 ? 0

中点。求证:平面DEA⊥平面A1FD1 。
C1 B1 F E C

A1

?? ?

?? ?

B1 F B E C y

?? ? 令 y 1 ? ? 1 ? n1 ? (0, ? 1, 2 ) ?? ? 同理可求 n 2 ? (0, 2,1) ?? ?? ? ? ? n1 ? n 2 ? (0, ? 1, 2 ) ? (0, 2,1) ? 0 ?? ? ?? ? ? n1 ? n 2 ? 平面DEA⊥平面A1 FD1 。

D A x

D A

向量证法

B 利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面 的法向量互相垂直。

四、应用举例
例1.在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中,M,N,E,F分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点, C1 F 求证:平面AMN//平面EFDB。 D1 N E M B1 A1
A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1

例1.在正方体

中,M,N,E,F分别是棱

A1 B1 ,A1 D1 ,B1 C1 ,C1 D1 的中点, 求证:平面AMN//平面EFDB。 解:以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间 直角坐标系,则 z C1 F D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), D
1

M (1,

1 2

,1), N (

1 2

, 0 ,1), F ( 0 ,

1 2

,1)

A1

N

M B1

E

????? ???? ? 1 1 ? A M ? ( 0 , ,1), A N ? ( ? , 0 ,1) 2 2

D
C

C B

设平面AMN的一个法向量为
?? ? n1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 )
? 1 ? ?? ????? ? n1 ? A M ? 2 y 1 ? z 1 ? 0 ? ?? ?? ???? ? ? ?n ? AN ? ? 1 x ? z ? 0 1 1 ? 1 2 ?

D A B

y x

向量解法

A

利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面

的法向量平行(或共线)。

四、应用举例
例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证: (1)AD1//平面BDC1 ; (2)AC1⊥平面BDC1 。
例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:(1)AD1//平面BDC1 ; (2)AC1⊥平面BDC1 。 证明:以D为坐标原点建立如图所示坐标系Dxyz, 设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1)
????? ???? 1 ? ? A D 1 ? ( ? 1, 0,1), A1 C ? ( ? 1,1, ? 1) ???? ????? A1 D B ? (1,1, 0 ), D C 1 ? (0 ,1,1) ? 设 n ? ( x , y , z ) 为平面BDC1的法向量, ? ???? ? n ? D B ? ( x , y , z ) ? (1,1, 0 ) ? 0 ? ? ? ????? ? n ? D C 1 ? ( x , y , z ) ? (0 ,1,1) ? 0 ?

D1

C1

A1
C1

B1
D C

C(0,1,0),B(1,1,0),C (0,1,1)。

z

D1 B1

D B

C

y

A

?x ? y ? 0 ? ?y? z ? 0

? 令x=1,得 n ? (1, ? 1,1)

x

向量解法

B A 利用法向量证明直线与平面的平行的基本思路是证明法向 量与直线平行(或共线)的向量垂直;证明直线与平面垂直 只要证明法向量与该直线共线的向量平行即可。

三、概念形成
概念5.用法向量证明“三垂线定理”
预备知识: 射影:已知平面 ? 和一点A,过点A作 ? 的垂线 l 与 ? 交 于点 A ' ,则 A ' 就是点A在平面 ? 内的正射影,也可简 称射影。 斜线在平面上的正射影:在直 斜线在平面上的正射影:设直 线 l 与平面 ? 交于点B,但不 上任取一点A,作A点在平 面 和 ? 垂直,那么直线 l 叫做 内的射影 A ' ,则平面内 直线 A ' B 叫做斜线 l 在该平 这个平面的斜线。斜线和平面 面内的射影。 的交点B叫做斜足。
l

A

A

?

A'

A'

B

三、概念形成
概念5.用法向量证明“三垂线定理”
三垂线定理: 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内 的射影垂直,则它也和这条斜线垂直。 已知 l 是平面 ? 的斜线, A ' B 是 l 在平面 ? 内的射影, 直线 a ? ? 且 a ? A ' B l 求证: a ? l
已知 l 是平面 ? 的斜线, A ' B 是 l 在平面 ? 内的射影, 求证: a ? l 直线 a ? ? 且 a ? A ' B 证明:取向量 n // a,则 n // ? ,且 n ? A ' B ? ???? ? ? A A ' ? ? , a ? ? ,? n ? A A ' 又 ? AB ? AA ' ? A 'B
???? ???? ? ?????
???? ? ???? ????? ? ? ? AB ? n ? ( AA ' ? A 'B) ? n ???? ? ????? ? ? ? AA '? n ? A 'B ? n ? 0 ? ???? 因此 n ? A B ? a ? l

A
? ? ?????

?

l

A

a
a n
?

?

A'

B

向量证法

?

A'

B

一、选择题 → → 1.设 M(5,-1,2),A(4,2,-1),若OM=AB,则点 B 应为 ( )

A.(-1,3,-3) C.(1,-3,3)

B.(9,1,1) D.(-9,-1,-1)

[答案] B
[解析] → → → → ∵OM=AB=OB-OA,

→ → → ∴OB=OM+OA=(9,1,1).故选 B.

→ =2AB,则 2.已知 A(3,-2,4),B(0,5,-1),若OC 3 → C 的坐标是 14 10 A.(2,- 3 , 3 ) 14 10 C.(2,- ,- ) 3 3 ( )

14 10 B.(-2, 3 ,- 3 ) 14 10 D.(-2,- , ) 3 3

[答案] B

[解析]

→ ∵AB=(-3,7,-5),
? ?

? ? → =2(-3,7,-5)=?-2,14,-10?. ∴OC 3 3 3

故选 B.

3.已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3),B(2, → → -5,1),C(3,7,λ),若AB⊥AC,则 λ 等于(
A.λ=28 C.λ=14 B.λ=-28 D.λ=-14

)

[答案] D

[解析]

→ → → AC → 由AB⊥AC?AB· =0 可求得.

二、填空题
4.已知a=(2,-2,3),b=(4,2,x),且a⊥b,则x= ____.
[答案]
[解析]

4 -3
4 a⊥b?a· b=0, 代入坐标求解, x=-3. 得

5.已知两点 A(-3,2,3),B(3,-3,2),O 是坐标原 → → 点,则 cos〈OA,OB〉=________.
[答案] 9 - 22

[解析] 代入夹角公式,求得.

三、解答题 6.如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在 的平面互相垂直, AB= 2, AF=1, 是线段 EF 的中点. M 求 证:AM∥平面 BDE.

[证明]

建立如下图所示的空间直角坐标系.

2 设 AC∩BD=N, 连接 NE, 则点 N, 的坐标分别是( , E 2 2 2 ,0),(0,0,1). → =(- 2,- 2,1). ∴NE 2 2

2 2 又点 A,M 的坐标分别是( 2, 2,0),( 2 , 2 ,1). → =(- 2,- 2,1) ∴AM 2 2 → → ∴NE=AM,且 NE 与 AM 不共线,∴NE∥AM. 又∵NE?平面 BDE, AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE.

[例 6]

如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中,

∠ABC=60° PA⊥面 ABCD, , PA=AC=a, PB=PD= 2a, 点 E 在 PD 上, PE?ED=2? 1 在棱 PC 上是否存在一 且 , 点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论.

[分析] 利用线面平行满足的条件,转化为向量运算
求待定量.
[解析] 方法一:当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面

→ =BC+1CP=AD+1(CD+DP) AEC.因为BF → 2 → → 2 → → → +1(AD-AC)+3(AE-AD) → → → → =AD 2 2 3→ 1→ =2AE-2AC. → → → 所以BF、AE、AC共面. 又 BF?平面 AEC,从而 BF∥平面 AEC.

方法二:如图,以A为坐标原点,直线AD、AP分别为
y轴、z轴,过A点垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间 直角坐标系.

由 题 意 知 , 相 关 各 点 的 坐 标 分 别 为 A(0,0,0) ,
? B? ? ? ? ? 3 ? 3 1 1 ? ? ? a,- a,0?,C? a, a,0?,D(0,a,0),P(0,0,a), 2 2 2 ? ? 2 ?

? ? 2 1 E?0,3a,2a,0?, ? ? ? 2 1 ? → ? → 所以AE=?0,3a,3a?,AC=? ? ? ? ? ? 3 1 ? → a, a,0?,AP=(0,0, 2 2 ?

a),

? → ? PC=? ?

? ? ? 3 1 3 1 ? → ? ? a,2a,-a?,BP=?- 2 a,2a,a?. 2 ? ? ?

设点 F 是棱 PC 上的点, → =λPC=( 3aλ,1aλ,-aλ),其中 0<λ<1. → PF 2 2 → =BP+PF=( 3a(λ-1),1a(1+λ),a(1-λ)) 则BF → → 2 2 → → → 令BF=λ1AC+λ2AE, 得

? 3 ? (λ-1)= 3aλ1 2 ?2 ?1 1 2 ? a(1+λ)= aλ1+ aλ2, 2 3 ?2 ? 1 ?a(1-λ)=3aλ2 ? ?λ-1=λ1 ? ?1+λ=λ +4λ 1 3 2 即? ? 1 ?1-λ= λ2 3 ? 1 1 3 解得 λ=2,λ1=-2,λ2=2.

1 → =-1AC+3AE, F 是 PC 的中点时, 、 → → 即 → 即 λ=2时, BF BF 2 2 → → AC、AE共面. 又 BF?平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中点时, BF∥平面 AEC. 方法三:当 F 是棱 PC 的中点时, BF∥平面 AEC. 如图,取 PE 的中点 M,连结 FM,则 FM∥CE.①

1 由 EM= PE=ED,知 E 是 MD 的中点,∴BM∥OE, 2 ② 由①②知,平面 BFM∥平面 AEC, 又 BF?平面 BFM,∴BF∥平面 AEC.


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