江苏省姜堰市蒋垛中学高三期初考试数学试题(含答案)


姜堰市蒋垛中学 2012~2013 学年度第二学期期初调研测试

高三数学试题
(考试时间:120 分钟 总分 160 分)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 M ? {1, x }, N ? {1, x} ,且集合 M ? N ,则实数 x 的值为
2



2.计算 i

2013

?
?


0

( i 为虚数单位)
0

3.已知向量 a ? (cos 36 , sin 36 ), b ? (cos 24 , sin(?24 )) ,则 a ? b ?
0 0

?

? ?



4.圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 的半径为
2 2



5.双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率为 2

▲ ▲ ▲

6.已知数列{an}满足 a1 = 1,an + 1 = 2an,则该数列前 8 项之和 S8 =
3

7、点 M (1, m) 在函数 f ( x) ? x 的图像上,则该函数在点 M 处的切线方程为

8.将 20 个数平均分为两组,第一组的平均数为 50 ,第二组的平均数为 40 ,则整个数组的 平均数是 ▲
3 2

9.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? x ? 1, ( x, a, b ? R) ,若对任意实数 x , f ( x) ? 0 恒成立, 则实数 b 的取值范围是 ▲ ▲

10. 已知直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0和l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0, 则l1 // l2 的充要条件是 a= 11. 已知实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 9 , ab ? bc ? ca ? 24 ,则 b 的取值范围是 12.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 不等式 f ( x ? a) ? ▲

x ,若对任意的 x ? [a, a ? 2]


3 f ( x) 恒成立,则 a 的最大值为

13.已知数列 {a n } 的通项公式为 a n ? n ? 的取值范围为 ▲

k * ,若对任意的 n ? N ,都有 a n ? a 3 ,则实数 k n

14. 已知 ?、?、? ∈R,则 | sin ? ? sin ? | ? | sin ? ? sin ? | ? | sin ? ? sin ? | 的最大值为 ▲ 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

高三数学试卷第 1 页 共 8 页

15. (本题满分 14 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c (1)求证: a cos B ? b cos A ? c ; (2)若 a cos B ? b cos A ?

3 tan A 的值 c ,试求 5 tan B

16. (本题满分 14 分)如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知平面 AA1C1C ? 平面

ABCD, 且 AB ? BC ? CA ? 3 , AD ? CD ? 1 .
(1) 求证: BD ? AA1 ; (2) 若 E 为 棱 BC 上 的 一 点 , 且 AE // 平 面
A1

D1 C1 B1

D C C 1 ,求线段 BE 的长度 1D
D A
第 16 题 图

C

E B

17. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

2 3 1 2 x ? x ? x ? 1, x ? R 3 2

高三数学试卷第 2 页 共 8 页

(1)求函数 f (x) 的极大值和极小值; (2)已知 x ? R ,求函数 f (sin x) 的最大值和最小值。 (3)若函数 g( x) ? f ?x ? ? a 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围.

18. (本题满分 16 分)如图,海岸线 MAN , ?A ? 其中 B ? MA, C ? NA . (1)若 BC = 6,,求养殖场面积最大值;

2? ,现用长为 6 的拦网围成一养殖场, 3

(2)若 AB = 2,AC = 4,在折线 MBCN 内选点 D , 使 BD + DC = 6,求四边形养殖场 DBAC 的最大面积(保留根号) .

19 . 本 题 满 分 16 分 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 已 知 F1 , F2 分 别 是 椭 圆 (
高三数学试卷第 3 页 共 8 页

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,且 a 2 b2

???? ???? ? ? ? AF2 ? 5BF2 ? 0 .
(1)求椭圆 E 的离心率; (2) 已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, 为椭圆 E 上的动点 M (异于点 A 、B ) 连接 MF1 , 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ , 设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 k1 、 k2 ,试问是否存 在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒成立?若存在,求出 ? 的值; 若不存在,说明理由.

? a ? r , n ? 2k , k ? N ? , ? 20. (本题满分 16 分) 定义数列 ? an ? :a1 ? 1 , n ? 2 时,an ? ? n ?1 当 。 ? ? 2an ?1 , n ? 2k ? 1, k ? N . ?
(1)当 r ? 0 时, Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 。 ①求: S n ; ②求证:数列 ?S 2n ? 中任意三项均不能够成等差数列。 (2)若 r≥0,求证:不等式

2k ? a a ? 4 (n∈N*)恒成立。 k ?1 2 k ?1 2 k
n

高三数学试卷第 4 页 共 8 页

姜堰市蒋垛中学 2012~2013 学年度第二学期期初调研测试 参考答案
1、0 2、 i 3、

1 2 1 4

4、5

5、 3

6、255

7、 y ? 3x ? 2

8、45

9、 [ ,?? )

10、-1

11、[1,5]

12、-4

13、[6,12]

14、 2 ? 2

15、(1)运用余弦定理…………………………6 分 (2)由(1)知: 2b cos A ? 即: 5b cos A ? c 即: 5 sin B cos A ? sin C ? sin(A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 即: 4 sin B cos A ? sin A cos B 所以:

2 c 5

tan A ? 4 ……………………………………………………14 分 tan B

16、 (1)…………………………6 分 (2)

3 …………………………………………………14 分… 2

2 17.解(1) f ?( x) ? 2 x ? x ? 1 ? ( x ? 1)( 2 x ? 1)

1 2 1 1 1 1 31 ? f (x) 的极大值为 f (? ) ? ? (? ) 3 ? ? (? ) 2 ? ? 1 ? 2 3 2 2 2 2 24 1 f (x) 的极小值为 f (1) ? …………………………4 分 6 2 3 1 2 (2)令 sin x ? t , t ? [?1,1] ,则 f (sin x) = f (t ) ? t ? t ? t ? 1 , 3 2 1 1 由(1)知, f (t ) 在 [?1,? ] 上单调递增,在 [? ,1] 上单调递减, 2 2 5 1 31 1 , f (1) ? , ? f (?1) ? , f (? ) ? 6 2 24 6 31 1 ? f (sin x) 的最大值为 ,最小值为 。…………………………9 分 24 6 1 31 1 (3)由(1)可得, g (? ) ? ? a ? 0 或 g (1) ? ? a ? 0 2 24 6

高三数学试卷第 5 页 共 8 页

?a ? ?

31 1 或 a ? ? …………………………14 分 24 6

18. 解:(1)设 AB ? x, AC ? y, x ? 0, y ? 0.

BC 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos

2? 1 ? 2 xy ? 2 xy(? ) , 3 2

xy ? 12 …………………………………………4 分

S?

1 2? xy sin ?3 3, 2 3

所以,△ ABC 面积的最大值为 3 3 ,当且仅当 x ? y 时取到.………7 分 (2) BC = 2 7 ,由 DB + DC = 6,知点 D 在以 B 、 C 为焦点的椭圆上,

S ?ABC ? 2 3 .…………………………………………10 分
只需 ?DBC 面积最大,需此时点 D 到 BC 的距离最大, 即 D 必为椭圆短轴顶点.

?BCD 面积的最大值为 14 ,
因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 2 3 ? 14 ……………………14 分

???? ???? ? ? ? ???? ? ???? ? 19.解: (1)? AF2 ? 5 BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
故椭圆 E 的离心率为
2 .…………………………………………5 分 3

4 (2)存在满足条件的常数 ? , l ? ? .点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, 7
? c ? 2 ,从而 a ? 3 , b ? 5 ,左焦点 F1 ? ?2,0 ? ,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .…………8 分 9 5
x1 ? 1 y ? 1, y1

设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ? ,则直线 MD 的方程为 x ? 代入椭圆方程 整理得,
x2 y 2 ? ?1, 9 5

y ? x ? 1? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ? 1 1 ,? y3 ? .从而 x3 ? 1 , 2 x1 ? 5 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5

? 5 x ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? 故点 P ? 1 , , ? .同理,点 Q ? ?. x1 ? 5 x1 ? 5 ? ? ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?

? 三点 M 、 F1 、 N 共线,?

y1 y2 ? ,从而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1 ? y2 ? . x1 ? 2 x2 ? 2

4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y3 ? y4 x1 ? 5 x2 ? 5 ? ? 1 2 ? ? 从而 k2 ? x3 ? x4 5 x1 ? 9 5 x2 ? 9 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? 5 x2 ? 5

高三数学试卷第 6 页 共 8 页

故 k1 ?

4 4k 2 ? 0 ,从而存在满足条件的常数 ? ? ? 。.…………………………………14 分 7 7
数列 ?a2 k ?1? 、 ?a2 k ? ( k ? N ) 均为等比数列。
?

20、解: (1)当 r ? 0 时,计算得数列的前 8 项为:1,1,2,2,4,4,8,8.从而猜出

∵ a2 k ? a2 k ?1 ? 2a2 k ?2 , a2 k ?1 ? 2a2 k ? 2a2 k ?1 ,
k ?1 ∴数列 ?a2 k ?1? 、 ?a2 k ? ( k ? N ) 均为等比数列,∴ a2 k ?1 ? a2 k ? 2 。
?

①∴ S2 k ? 2(a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 k ?1 ) ? 2(2 ? 1) ? 2k ?1 ? 2 ,
k

S2 k ?1 ? S2 k ?2 ? a2 k ?1 ? 2k ? 2 ? 2k ?1 ? 3 ? 2k ?1 ? 2 ,

? n ?1 n ? 2k , ?2 2 ? 2, k ? N ? . ………………………………4 分 ∴ Sn ? ? n ?1 ?3 ? 2 2 ? 2, n ? 2k ? 1, ?
②证明(反证法) :假设存在三项 Sm , Sn , S p (m, n, p ? N , m ? n ? p) 是等差数列, 即 2 S n ? S m ? S p 成立。
?

n1 因 m, n, p 均为偶数,设 m ? 2m1 , n ? 2n1 , p ? 2 p1 , m1 , 1 , p ? N ) ( ,
∴ 2 ? 2(2 1 ? 1) ? 2(2
n m1

?

? 1) ? 2(2 p1 ? 1), 即 2 ? 2n1 ? 2m1 ? 2 p1 ,

∴2 1

n ? m1 ?1

? 1 ? 2 p1 ?m1 ,而此等式左边为偶数,右边为奇数,这就矛盾。……………8 分

(2)∵ a2 k ? a2 k ?1 ? r ? 2a2 k ?2 ? r ,∴ a2 k ? r ? 2(a2 k ? 2 ? r ) , ∴ ?a2k ? r? 是首项为 1 ? 2r ,公比为 2 的等比数列, ∴ a2 k ? r ? (1 ? 2r ) ? 2
k ?1



又∵ a2 k ?1 ? 2a2 k ? 2(a2 k ?1 ? r ) , ∴ a2 k ?1 ? 2r ? 2(a2 k ?1 ? 2r ) , ∴ ?a2 k ?1 ? 2r? 是首项为 1 ? 2r ,公比为 2 的等比数列, ∴ a2 k ?1 ? 2r ? (1 ? 2r ) ? 2 ∴
k ?1



高三数学试卷第 7 页 共 8 页

2k 2k ? ? a2 k ?1a2 k ?(1 ? 2r ) ? 2k ?1 ? 2r ? ? ?(1 ? 2r ) ? 2 k ?1 ? r ? ? ? ? ? 2k ?1 ? ?(1 ? 2r ) ? 2 k ? 2 ? r ? ? ?(1 ? 2r ) ? 2 k ?1 ? r ? ? ? ? ?

? 2 ? 1 1 ?? ? , k ?2 k ?1 1 ? 2r ? (1 ? 2r ) ? 2 ? r (1 ? 2r ) ? 2 ? r ? ?


? 2k 2 n ? 1 1 ? ? a a 1 ? 2r ? ? (1 ? 2r ) ? 2k ?2 ? r ? (1 ? 2r ) ? 2k ?1 ? r ? ? k ?1 2 k ?1 2 k k ?1 ? ?
n

? 2 ? 1 1 2 2 4 。 ? ? ? (1 ? 2r ) ? 2?1 ? r ? (1 ? 2r ) ? 2 n ?1 ? r ? ? 1 ? 2r ? ? 1 ? 2r 1 ? 2r ? 2r 1 ? 2r
n 2k 4 ? 4 。………………………………………16 分 ∵ r ? 0 ,∴ ? 4 。∴ ? 1 ? 2r k ?1 a2 k ?1a2 k

高三数学试卷第 8 页 共 8 页


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