(北师大版)数学必修二课时作业:1.1简单几何体(含答案)


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课时提升作业(一)
简单几何体

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·阜阳高一检测)下列说法正确的是( A.棱柱的侧面都是矩形 B.棱柱的侧棱都相等 C.棱柱的各个面都是平行四边形 D.棱柱的侧棱总与底面垂直 【解析】选 B.由棱柱的定义知,棱柱的侧面都是平行四边形,故 A 错误.而平行 四边形的对边相等,故侧棱都相等,棱柱的底面不一定是平行四边形,故 C 错. 棱柱的侧棱可以与底面垂直,也可以不垂直. 2.下列图形所表示的几何体中,不是棱锥的为( ) )

【解析】选 A.由棱锥的定义及结构特征知 A 不是棱锥.

3.(2014·亳州高一检测)下列说法错误的是(

)

A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 【解析】选 D.多面体中面数最少的是三棱锥,有四个面,故 A 正确.根据棱柱的 结构特征知 B 正确.长方体、正方体符合棱柱的结构特征,C 正确.D 中三棱柱的 侧面为平行四边形,D 错误. 4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是( )

【解析】选 C.根据三棱柱的结构特征知,A,B,D 中的展开图都可还原为三棱 柱,但是 C 中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图. 5.(2014·南昌高一检测)下列说法正确的个数为( ①存在斜四棱柱,其底边为正方形; ②存在棱锥,其所有面均为直角三角形; ③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直; ④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱. A.1 B.2 C.3 D.4 )

【解析】选 B.①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正 确.如图.③不正确,圆锥的顶角小于 90°时就不存在.④不正 确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.

6.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是 ( A.两个圆锥拼接而成的组合体 B.一个圆台 C.一个圆锥 D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 【解析】选 D.如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥 AO 的底部 挖去一个同底的圆锥 BO. )

【误区警示】本题易选 A 而导致错误.事实上圆锥 BO 为空心的,并非真正的圆 锥. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7. 矩 形 绕 一 边 所 在 的 直 线 旋 转 一 周 得 到 圆 柱 , 则 得 到 不 同 形 状 的 圆 柱 有 ________个. 【解题指南】矩形包括正方形和长方形,不同的情况下得到圆柱的情形不同. 【解析】若该矩形为长方形,则矩形的长与宽所在的直线为轴可以得到 2 个不 同形状的圆柱,若该矩形为正方形,则得到 1 个圆柱. 答案:1 或 2 【误区警示】本题易漏掉一种情形而导致答案错误. 8.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾

斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________.

【解析】如图: 假设以 AB 边固定进行倾斜,则几何体 BB2C2C-AA2D2D 一定为棱柱.

答案:棱柱 9.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角 线,那么一个五棱柱对角线的条数为________. 【解析】上底面内的每个顶点,与下底面内不在同一侧面的两个顶点的连线可 构成五棱柱的对角线,上底面每个顶点有两条对角线,故一个五棱柱的对角线 共有 5×2=10 条. 答案:10 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.一直角梯形 ABCD,如图所示,分别以 AB,BC,CD,DA 所在直线为轴旋转一 周,画出所得几何体的大致形状,并指明它是由哪些简单几何体组成的.

【解析】以 AB 为轴旋转所得几何体是一个圆台,如图 a;以 BC 为轴旋转所得几 何体是一个圆柱和一个圆锥拼接而成,如图 b;以 CD 为轴旋转所得几何体是一 个圆台挖去一个小圆锥后,再与一个大圆锥拼接而成,如图 c;以 DA 为轴旋转 所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥而成,如图 d.

11.试从正方体 ABCD -A1B1C1D1 的八个顶点中任取若干, 连 结后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来. (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥. (2)四个面都是等边三角形的三棱锥. (3)三棱柱. 【解析】(1)如图所示,三棱锥 A1-AB1D1(答案不惟一).

(2)如图所示,三棱锥 B1-ACD1(答案不惟一).

(3)如图所示,三棱柱 A1B1D1-ABD(答案不惟一).

【变式训练】判断如图所示的几何体是不是棱台?为什么?

【解析】①②③都不是棱台.因为①和③都不是由棱锥所截得的,故①③都不是 棱台,虽然②是由棱锥所截得的,但截面和底面不平行,故不是棱台,只有用 平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分才是棱台,③是由长 方体截得,是棱柱而不是棱台.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)

1.(2014·西安高一检测)AB 为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过 AB 和上底面 圆心作圆柱的一截面,则这个截面是( A.三角形 C.梯形 B.矩形 D.以上都不对 )

【解析】选 D.如图,AB∥CD,且 AB≠CD,但 AD,BC 是曲线,不是直线,故选 D.

【误区警示】本题易误将曲线 AD,BC 当作直线选 C 而导致错误. 2.下列叙述,其中正确的有( )

①两个底面平行且相似,其余的面都是梯形的多面体是 棱台; ②如图所示,截正方体所得的几何体是棱台; ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

【解析】选 A.①不正确,因为不能保证各侧棱的延长线交 于一点.②不正确, 因为侧棱延长后不能交于一点, 还原后 也并非棱锥.③不正确, 如图, 用一个过顶点的平面截四棱 锥得到的是两个三棱锥.

【拓展延伸】棱台定义的应用 除了用它作判定之外,至少还有三项用途: ①为保证侧棱延长后交于一点,可以先画棱锥再画棱台; ②如果解棱台问题遇到困难,可以将它还原为棱锥去看,因为它是由棱锥截来 的; ③可以利用两底是相似多边形进行有关推算. 3.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状是( A.四边形 C.三角形或四边形 B.三角形 D.不可能为四边形 )

【解题指南】截面与三棱锥的棱有几个交点,连起来就是几边形. 【解析】 选 C.如图, 若截面截三棱锥的三条棱, 则截面的形状为三角形(如图①), 若截面截三棱锥的四条棱,则截面的形状为四边形(如图②).

4.(2014·重庆高一检测)如图所示,模块①~⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体 构成,模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块①~⑤中选出三个放 到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体.则下列选择方案中,能 够完成任务的为( )

A.模块①②⑤ C.模块②④⑤

B.模块①③⑤ D.模块③④⑤

【解析】选 A.先将模块⑤放到模块⑥上,再把模块①放到模块⑥上,再把模块 ②放到模块⑥上,即得到棱长为 3 的大正方体. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·北京高一检测)如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的 展开图的是________.

【解析】(3)(4)中的四个三角形有公共顶点,无法折成三棱锥,当然不是正四 面体的展开图. 答案:(3)(4) 【变式训练】试判断下列三个图是否为正四面体的表面展开图.

【解析】①②③都是正四面体的表面展开图. 6.(2014·吉安高一检测)在圆锥中平行于底面的截面面积是底面的 ,则此截面 分圆锥的高为上、下两段,其比值为__________. 【解题指南】作出圆锥的轴截面图运用几何知识解决. 【解析】作出圆锥的轴截面如图,截面圆半径 ED,底面 圆半径 OB.由题意 = ,解得 = ,

由△SED∽△SOB 知 = ,故 =1∶1. 即截面分圆锥的高上、下两段的比为 1∶1. 答案:1∶1 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.如图所示的几何体的侧面展开图是一个矩形,且几何体的底面边长均为 3,侧 面的棱长为 5,已知点 P 是棱 AA1 上一动点,Q 是棱 BB1 上一动点,求 CP+PQ+QC1 的最小值.

【解析】将几何体沿棱 CC1 剪开,其侧面展开为平面图形,如图所示,CP+PQ+QC1 的最小值即平面图中矩形对角线 CC1 的长,所以(CP+PQ+QC1)min= = .

【拓展延伸】求几何体表面上连结两点曲线长的最小值问题的策略 (1)将几何体沿着某些棱剪开后展开,画出其侧面展开图. (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题. (3)结合已知条件求得结果. 8.如图,图①是正方体木块,把它截去一块,可能得到的几何体有②,③,④, ⑤的木块.

(1)我们知道,正方体木块有 8 个顶点、12 条棱、6 个面,请你将图②,③,④, ⑤的木块的顶点数、面数填入下表: 图号 ① ② ③ 顶点数 8 棱数 12 面数 6

④ ⑤ (2)观察你填出的表格,归纳出上述各种木块的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间 的关系. (3)看图⑥中正方体的切法,请验证你所得的数量关系是否正确. 【解题指南】可从顶点数 V+面数 F 的和与棱数 E 的关系考虑. 【解析】(1)通过观察各几何体,得到表格: 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 顶点数 8 6 8 8 10 棱数 12 9 12 13 15 面数 6 5 6 7 7

(2)由特殊到一般,归纳猜想得到:顶点数 V+面数 F-棱数 E=2. (3)该木块的顶点数为 10,面数为 7,棱数为 15,有 10+7-15=2,与(2)中归纳 的数量关系式“V+F-E=2”相符.

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