2015年高考文科数学试题分类解析之立体几何


第十章
一、三视图

立体几何

试题部分

1.【2015 高考浙江,文 2】某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) , 则该几何体的体积是( A.8 cm3 D.
40 cm3 3

) B. 12 cm3
32 C. cm3 3

2.【2015 高考重庆,文 5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为( )

(A)

1 ? 2? 3

(B)

13? 6

(C)

7? 3

(D)

5? 2

3.【2015 高考陕西,文 5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为( A. 3? ) B. 4? C. 2? ? 4 D. 3? ? 4

4、 【2015 高考新课标 1, 文 11】 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r ) 组成一个几何体, 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体 的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( )

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

5.【2015 高考福建,文 9】某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的表面积等于( A. 8 ? 2 2 )
2

B. 11 ? 2 2

C. 14 ? 2 2

D. 15
1 1 1

6.【2015 高考湖南,文 10】某工作的三视图如图 3 所示,现将 该工作通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工作的一个面内,则原工件材料的 利用率为 (材料利用率=新工件的体积/原工件的体积) ( A、 C、
8? 9



B、 D、

8 27?

24( 2 ? 1) 2

8( 2 ? 1) 2

?

?

7.【2015 高考北京,文 7】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥 最长棱的棱长为( A. 1 ) C. 3 D. 2

B. 2

8【2015 高考安徽,文 9】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积 是( ) (B) 1 ? 2 2 (C) 2 ? 3 (D) 2 2

(A) 1 ? 3

9. 【2015 高考天津, 文 10】 一个几何体的三视图如图所示 (单 位:m),则该几何体的体积为

m3 .

10.【2015 高考新课标 1,文 6】 《九章算术》是我国古代内容 极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有委米依垣内角,

下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如 图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺, 米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率 约为 3,估算出堆放的米有( (A) 14 斛 (B) 22 斛 ) (C) 36 斛 (D) 66 斛

11.【2015 高考山东,文 9】已知等腰直角三角形的直角边的长为?,将该三角 形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (A)
2 2? 4 2? ????(B) ????( )? 2 2? ????( ) 3 3

)

? 4 2? ???
1 3 12【答案】4 依题意, ? a ? a ? ? a ? 16 3 ,解得 a ? 4 . 2 2

13.【2015 高考四川,文 14】在三棱住 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,其正视 图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形, 设点 M, N, P 分别是 AB, BC, B1C1 的中点, 则三棱锥 P-A1MN 的体积是______.

二、点线面位置关系
1.【2015 高考浙江,文 4】设 ? , ? 是两个不同的平面, l , m 是两条不同的直 线,且 l ? ? , m ? ? ( A.若 l ? ? ,则 ? ? ? C.若 l //? ,则 ? //? ) B.若 ? ? ? ,则 l ? m D.若 ? //? ,则 l //m

2.【2015 高考广东,文 6】若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 ? 内,l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则下列命题正确的是( A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相

交 3.【2015 高考浙江,文 7】如图,斜线段 ?? 与平面 ? 所成的 角为 60? , ? 为斜足,平面 ? 上的动点 ? 满足 ???? ? 30? ,则 点 ? 的轨迹是( A.直线 C.椭圆 ) B.抛物线 D.双曲线的一支

4.【2015 高考湖北,文 5】 l1 , l2 表示空间中的两条直线,若 p: l1 , l2 是异面直线;q:
l1 , l2 不相交,则(



A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 5.【2015 高考安徽,文 19】如图,三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC,

PA ? 1, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 60o .
(Ⅰ)求三棱锥 P-ABC 的体积; (Ⅱ)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC ? BM,并求
PM 的值. MC

6.【2015 高考北京,文 18】 (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 V ? ??C 中, 平面 V?? ? 平面 ??C , ?V?? 为等边三角形,

?C ? ?C 且 ?C ? ?C ? 2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.
(I)求证: V? // 平面 ??C ; (II)求证:平面 ??C ? 平面 V?? ; (III)求三棱锥 V ? ??C 的体积. 7.【2015 高考福建,文 20】如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是 圆 O 上 异 于 A, B 的 点 , ?? 垂 直 于 圆 ? 所 在 的 平 面 , 且

?? ? ?? ? 1 .
(Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证 ?C ? 平面 ?D? ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? ABC 体积的最大值;

(Ⅲ)若 BC ? 2 ,点 E 在线段 PB 上,求 CE ? OE 的最小值 8.【2015 高考广东,文 18】 (本小题满分 14 分)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平 面与长方形 ??CD 所在的平面垂直,?D ? ?C ? 4 ,

?? ? 6 , ?C ? 3 .
(1)证明: ?C// 平面 ?D? ; (2)证明: ?C ? ?D ; (3)求点 C 到平面 ?D? 的距离. 9.【2015 高考湖北,文 20】 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底 面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在 如图所示的阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ? CD ,点 E 是 PC 的 中点,连接 DE , BD, BE . (Ⅰ)证明: DE ? 平面 PBC . 试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每 个面的直角(只需写出结论) ;若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P ? ABCD 的体积为 V1 ,四面体 EBCD 的体积为 V2 ,求
V1 的值. V2

10.【2015 高考湖南,文 18】 (本小题满分 12 分)如图 4,直三棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形, E , F 分别是

BC , CC1 的中点。
(I)证明:平面 AEF ? 平面 B1 BCC1 ; ( II ) 若 直 线 A1C 与 平 面 A1 ABB1 所 成 的 角 为 45? , 求 三 棱锥

F ? AEC 的体积。
11.【2015 高考山东,文 18】 如图,三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (I)求证: BD / / 平面 FGH ; (II)若 CF ? BC,AB ? BC, 求证:平面 BCD ? 平面 EGH . 12.【2015 高考陕西,文 18】如图 1,在直角梯形 ABCD 中,
AD // BC , ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ?

1 O是 E 是 AD 的中点, AD ? a , 2

OC 与 BE 的交点,将 ?ABE 沿 BE 折起到图 2 中 ?A1BE 的位置,得到四棱锥
A1 ? BCDE .
(I)证明: CD ? 平面 AOC ; 1 (II)当平面 A1BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的值.

13.【2015 高考四川,文 18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示 意图如图所示. (Ⅰ)请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线 DF ? 平面 BEG

D E A

C

G E

B F D A B C

H

14.【2015 高考新课标 1,文 18】 (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD , (I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; ( II)若 ?ABC ? 120? , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体 积为
6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

15.【2015 高考浙江,文 18】 (本题满分 15 分)如图,在三棱

锥 ABC - A1 B1C1 中, ?ABC ? 90?,AB ? AC ? 2, AA1 ? 4, A1 在底 面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点. (1)证明: A1D ? 平面A1BC ; (2)求直线 A1B 和平面 BB1CC1 所成的角的正弦值. 16.【2015 高考重庆,文 20】如题(20)图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ? ABC=
P

?
2

,点 D、E 在线段

AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上, 且 EF//BC. (Ⅰ)证明:AB ? 平面 PFE. (Ⅱ)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.
A D F
题(20)图

E

C

B

17【2015 高考上海,文 19】 (本题满分 12 分)如图,圆锥的顶点为 P , 底面的一条直径为 AB , C 为半圆弧 AB 的中点, E 为劣弧 CB 的中点.已 知 PO ? 2 ,OA ? 1 , 求三棱锥 P ? AOC 的体积, 并求异面直线 PA 与 OE 所 成角的大小.

参考答案 一、三视图与几何体
1【答案】C 由三视图可知,该几何体是一个棱长为 2 的正方体与一个底面边长
1 32 为 2 ,高为 2 的正四棱锥的组合体,故其体积为 V ? 23 ? ? 22 ? 2 ? cm3 . 故选 3 3

C. 2.【答案】B 由三视图可知该几何体是由一个底面半径为 1,高为 2 的圆柱,再 加上一个半圆锥:其底面半径为 1,高也为 1,构成的一个组合体,故其体积为

? ? 12 ? 2 ? ? ? ? 12 ? 1 ?

1 6

13? ,故选 B. 6

3.【答案】 D 【解析】 由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半,所以该几何体的表

1 面积为 ? ?1? 2 ? ? ? ?12 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3? ? 4 ,故答案选 D 2

4.【答案】B 由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱 的 半 径 与 球 的 半 径 都 为 r , 圆 柱 的 高 为 2r , 其 表 面 积 为
1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 2

5.【答案】B 由三视图还原几何体,该几何体是底面为直角梯形,高为 2 的直四 棱柱,且底面直角梯形的两底分别为 1, 2 ,直角腰长为 1 ,斜腰为 2 .底面积为
1 侧面积为 2+2+4+2 2=8+2 2 ,所以该几何体的表面积为 11 ? 2 2 , 2? ?3 ? 3 , 2

故选 B. 6【答案】A

7.【答案】C 四棱锥的直观图如图所示:由三视图可知,SC ? 平面 ??CD , S ? 是四棱锥最长的棱,

SA ? SC 2 ? AC 2 ? SC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 3 ,故选 C.
8【答案】C 由该几何体的三视图可知,该几何体的直观图,如 下图所示:其中侧面 PAC⊥底面 ABC,且 ?PAC ≌ ?ABC ,由三视图中所给数据 可知:

PA ? PC ? AB ? BC ? 2 , 取 AC 中点 O, 连接 PO, BO ,则 Rt?POB

中, PO ? BO ? 1 ? PB ? 2 ∴ S ? 2 ? 9【答案】

3 1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ,故选 C. 4 2

8π 该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 的圆柱组合而成,所 3 1 8π 3 以该几何体的体积为 2 ? ? π ? 1 ? π ? 2 ? (m ) . 3 3 1 16 10.【答案】B 设圆锥底面半径为 r,则 ? 2 ? 3r ? 8 ,所以 r ? ,所以米堆的体 4 3 1 1 16 320 320 积为 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 5 = ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 4 3 3 9 9

11【答案】 B 由题意知,该等腰直角三角形的斜边长为 2 2 ,斜边上的高为 2 ,
1 4 2? 所得旋转体为同底等高的全等圆锥,所以,其体积为 ? ? ( 2) 2 ? 2 2 ? ,, 3 3

故选 B . 12【2015 高考上海,文 6】若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为 16 3 , 则a ? 13【答案】 .

1 由题意,三棱柱是底面为直角边长为 1 的 24
C1 A1 C A N B P B1

1 等腰直角三角形,高为 1 的直三棱柱,底面积为 2
如图,因为 AA1∥PN,故 AA1∥面 PMN,故三棱锥 P-A1MN 与三棱锥 P-AMN 体积相等, 三棱锥 P-AMN 的底面积是三棱锥底面积的

M

1 ,高为 1 4

1 1 1 1 故三棱锥 P-A1MN 的体积为 ? ? ? 3 2 4 24

二、点线面位置关系
1.【答案】A 【解析】采用排除法,选项 A 中,平面与平面垂直的判定,故正确;选项 B 中, 当 ? ? ? 时,l , m 可以垂直, 也可以平行, 也可以异面; 选项 C 中,l // ? 时,? , ?

可以相交;选项 D 中, ? // ? 时, l , m 也可以异面.故选 A. 2.【答案】A 若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 ? 内,l2 在平面 ? 内,l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则 l 至少与 l1 , l2 中的一条相交,故选 A. 3【答案】C 由题可知,当 ? 点运动时,在空间中,满足条件的 ?? 绕 ?? 旋转形 成一个圆锥,用一个与圆锥高成 60? 角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.故选 C. 4【答案】 A .若 p: l1 , l2 是异面直线,由异面直线的定义知, l1 , l2 不相交,所以命 题 q:l1 , l2 不相交成立,即 p 是 q 的充分条件;反过来,若 q: l1 , l2 不相交,则 l1 , l2 可能平行,也可能异面,所以不能推出 l1 , l2 是异面直线,即 p 不是 q 的必要条件, 故应选 A . 5.【答案】 (Ⅰ)
3 PM 1 (Ⅱ) ? 6 MC 3

【解析】 (Ⅰ)解:由题设 AB =1, AC ? 2, ?BAC ? 60 ? 可得 S ?ABC ?
3 1 . ? AB ? AC ? sin 60? ? 2 2

由 PA ? 面 ABC 可知 PA 是三棱锥 P ? ABC 的高,又 PA ? 1
1 3 所以三棱锥 P ? ABC 的体积 V= ? S ?ABC ? PA ? 3 6

(Ⅱ)证:在平面 ABC 内,过点 B 作 BN ? AC ,垂足为 N ,过 N 作 MN // PA 交

PC 于 M ,连接 BM .
由 PA ? 面 ABC 知 PA ? AC ,所以 MN ? AC . 由于 BN ? MN=N ,故 AC ? 面

MBN ,又 BM ? 面 MBN ,所以 AC ? BM .
在直角 ?BAN 中,AN ? AB ? cos ?BAC ? 得
PM AN 1 = ? . MC NC 3 1 3 , 从而 NC ? AC ? AN ? .由 MN // PA , 2 2

6【答案】 (I)证明详见解析; (II)证明详见解析; (III)

3 . 3

(Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 ?? 的中点, 所以 OC ? AB . 又因为平面 V?? ? 平面 ??C ,且 OC ? 平面 ??C , 所以 OC ? 平面 V?? . 所以平面 ??C ? 平面 V?? . (Ⅲ)在等腰直角三角形 ACB 中, AC ? BC ? 2 , 所以 AB ? 2, OC ? 1 . 所以等边三角形 V?? 的面积 S ?VAB ? 3 . 又因为 OC ? 平面 V?? ,
1 3 所以三棱锥 C ? V?? 的体积等于 ? OC ? S ?VAB ? . 3 3

又因为三棱锥 V ? ??C 的体积与三棱锥 C ? V?? 的体积相等, 所以三棱锥 V ? ??C 的体积为
3 . 3

2? 6 1 7【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) ; (Ⅲ) . 2 3

【解析】解法一: (I)在 ???C 中,因为 ?? ? ?C , D 为 ?C 的中点, 所以 ?C ? ?D .又 ?? 垂直于圆 ? 所在的平面,所以 ?? ? ?C . 因为 D? ? ?? ? ? ,所以 ?C ? 平面 ?D? . (II)因为点 C 在圆 ? 上, 所以当 C? ? ?? 时, C 到 ?? 的距离最大,且最大值为 1 .
1 又 ?? ? 2 ,所以 ???C 面积的最大值为 ? 2 ?1 ? 1 . 2

又 因 为 三 棱 锥 ? ? ??C 的 高 ?? ? 1 , 故 三 棱 锥 ? ? ??C 体 积 的 最 大 值 为

1 1 ? 1? 1 ? . 3 3

(III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1 , ???? ? 90? ,所以 ?? ? 12 ? 12 ? 2 . 同理 ?C ? 2 ,所以 ?? ? ?C ? ?C . 在三棱锥 ? ? ??C 中,将侧面 ?C? 绕 ?? 旋转至平面 ?C?? ,使之与平面 ??? 共 面,如图所示. 当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值. 又因为 ?? ? ?? , C?? ? C?? ,所以 ?C? 垂直平分 ?? , 即 ? 为 ?? 中点.从而 ?C? ? ?? ? ?C? ?
2? 6 . 2
2 6 ? ? 2 2 2? 6 , 2
A P

O

B

亦即 C? ? ?? 的最小值为

解法二: (I) 、 (II)同解法一. (III)在 ???? 中, ?? ? ?? ? 1 , ???? ? 90? , 所以 ???? ? 45? , ?? ? 12 ? 12 ? 2 .同理 ?C ? 2 . 所以 ?? ? ?C ? ?C ,所以 ?C?? ? 60? . 在三棱锥 ? ? ??C 中,将侧面 ?C? 绕 ?? 旋转至平面 ?C?? ,使之与平面 ??? 共 面,如图所示. 当 ? , ? , C? 共线时, C? ? ?? 取得最小值. 所以在 ??C?? 中,由余弦定理得:
?C?2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos ? 45? ? 60? ?

? 2 1 2 3? ? 1? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? ?

? 2? 3.
从而 ?C? ? 2 ? 3 ?
2? 6 . 2 2? 6 . 2

所以 C? ? ?? 的最小值为

8.【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3)

3 7 . 2

【解析】 (1)因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C//?D ,因为 ?C ? 平面 ?D? ,
?D ? 平面 ?D? ,所以 ?C// 平面 ?D?

(2) 因为四边形 ??CD 是长方形, 所以 ?C ? CD , 因为平面 ?DC ? 平面 ??CD , 平面 ?DC ? 平面 ??CD ? CD ,?C ? 平面 ??CD , 所以 ?C ? 平 面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC ,所以 ?C ? ?D ( 3 )取 CD 的中点 ? ,连结 ?? 和 ?? ,因为 ?D ? ?C ,所以

?? ? CD ,在 Rt???D 中, ?? ? ?D 2 ? D? 2
? 42 ? 32 ? 7 ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面 ?DC ? 平
面 ??CD ? CD , ?? ? 平面 ?DC ,所以 ?? ? 平面 ??CD ,由(2)知: ?C ? 平 面 ?DC ,由(1)知: ?C//?D ,所以 ?D ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC , 所以 ?D ? ?D ,设点 C 到平面 ?D? 的距离为 h ,因为 V三棱锥C??D? ? V三棱锥???CD ,

1 S ??CD ? ?? 2 ? 3 ? 6 ? 7 3 7 1 1 所以 S ??D? ? h ? S ??CD ? ?? ,即 h ? ,所以点 C 到 ? ? 1 S ??D? 2 3 3 ? 3? 4 2
平面 ?D? 的距离是
3 7 2

9【解析】 (Ⅰ)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形, 有 BC ? CD , 而 PD ? CD ? D , 所以 BC ? 平面 PCD . DE ? 平面 PCD , 所以 BC ? DE . 又因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC ? BC ? C ,所以 DE ? 平 面 PBC . 由 BC ? 平面 PCD , DE ? 平面 PBC ,可知四面体 EBCD 的四个面都是直 角三角形,即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是
?BCD, ?BCE , ?DEC , ?DEB.
1 3 1 3

(Ⅱ)由已知, PD 是阳马 P ? ABCD 的高,所以 V1 ? S ABCD ? PD ? BC ? CD ? PD ; 由 (Ⅰ) 知, 所以 V2 ? S?BCE ? DE ? BC ? CE ? DE . DE 是鳖臑 D ? BCE 的高, BC ? CE ,
1 3 1 6

在 Rt △ PDC 中,因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? CE ?
1 BC ? CD ? PD V1 3 2CD ? PD ? ? ? 4. V2 1 BC ? CE ? DE CE ? DE 6

2 CD ,于是 2

10【答案】 (I)略;(II)

6 . 12

【解析】 (I)如图,因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, 所以 AE ? BB1 ,又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点, 所以 AE ? BC ,因此 AE ? 平面 B1 BCC1 ,而 AE ? 平面 AEF , 所以平面 AEF ? 平面 B1 BCC1 。 (II) 设 AB 的中点为 D , 连接 A1 D, CD , 因为 ?ABC 是正三角形, 所以 CD ? AB , 又三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,所以 CD ? AA1 ,因此 CD ? 平面 A1 AB1 B ,于 是 ?CA1 D 直 线 A1C 与 平 面 A1 ABB1 所 成 的 角 , 由 题 设 知
?CA1 D ? 45? ,

所以 A1 D ? CD ?

3 AB ? 3 , 3

在 Rt ?AA1 D 中 , AA1 ? A1 D 2 ? AD 2 ? 3 ? 1 ? 2 , 所 以
FC ? 1 2 AA1 ? 2 2

1 1 3 2 6 故三棱锥 F ? AEC 的体积 V ? S AEC ? FC ? ? 。 ? ? 3 3 2 2 12

11【答案】证明见解析 【解析】 (I) 证法一: 连接 DG, CD. 设 CD ? GF ? M ,连接 MH , 在三棱台 DEF ? ABC 中,

AB ? 2 DE,G 分别为 AC 的中点,可得 DF / / GC , DF ? GC ,所

以四边形 DFCG 是平行四边形,则 M 为 CD 的中点,又 H 是 BC 的中点,所以

HM / / BD ,
又 HM ? 平面 FGH , BD ? 平面 FGH ,所以 BD / / 平面 FGH . 证法二:在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点, 可得 BH / / EF , BH ? EF , 所以 HBEF 为平行四边形,可得 BE / / HF . 在 ?ABC 中, G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH / / AB, 又 GH ? HF ? H , 所以平面 FGH / / 平面 ABED , 因为 BD ? 平面 ABED , 所以 BD / / 平面 FGH . (II)证明:连接 HE .因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点,所以 又 H 为 BC 的中点, 所以 EF / / HC , EF ? HC , GH / / AB, 由 AB ? BC , 得 GH ? BC , 因此四边形 EFCH 是平行四边形,所以 CF / / HE. 又 CF ? BC ,所以 HE ? BC . 又 HE , GH ? 平面 EGH , HE ? GH ? H ,所以 BC ? 平面 EGH , 又 BC ? 平面 BCD ,所以平面 BCD ? 平面 EGH . 12【答案】(I) 证明略,详见解析;(II) a ? 6 . 【解析】(I)在图 1 中,因为 AB ? BC ? 的中点 ?BAD ?
1 AD ? a , E 是 AD 2

?
2

,所以 BE ? AC ,

即在图 2 中, BE ? AO 1 , BE ? OC 从而 BE ? 平面 AOC 1 又 CD // BE 所以 CD ? 平面 AOC . 1 (II)由已知,平面 A1BE ? 平面 BCDE , 且平面 A1BE ? 平面 BCDE ? BE

又由(I)知, AO ? BE ,所以 AO ? 平面 BCDE , 1 1 即 AO 1 是四棱锥 A 1 ? BCDE 的高, 由图 1 可知,AO ? 1
2 2 平行四边形 BCDE 面积 S ? BC ? AB ? a 2 , AB ? a, 2 2

从而四棱锥 A1 ? BCDE 的为
1 1 2 2 3 V ? ? S ? AO ? ? a2 ? a? a , 1 3 3 2 6



2 3 a ? 36 2 ,得 a ? 6 . 6

13【解析】(Ⅰ)点 F,G,H 的位置如图所示
H E D A B O F C G

(Ⅱ)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 BC∥FG,BC=FG 又 FG∥EH,FG=EH,所以 BC∥EH,BC=EH 于是 BCEH 为平行四边形 所以 BE∥CH 又 CH ? 平面 ACH,BE ? 平面 ACH, 所以 BE∥平面 ACH 同理 BG∥平面 ACH 又 BE∩BG=B 所以平面 BEG∥平面 ACH (Ⅲ)连接 FH 因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 DH⊥平面 EFGH 因为 EG ? 平面 EFGH,所以 DH⊥EG

又 EG⊥FH,EG∩FH=O,所以 EG⊥平面 BFHD 又 DF ? 平面 BFDH,所以 DF⊥EG 同理 DF⊥BG 又 EG∩BG=G 所以 DF⊥平面 BEG. 14【答案】 (I)见解析(II) 3+2 5 【解析】 (I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ^ BD, 因为 BE ^ 平面 ABCD,所以 AC ^ BE,故 AC ^ 平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC ^ 平面 BED ( II ) 设 AB= x , 在 菱 形 ABCD 中 , 由 ? ABC=120 ° , 可 得 AG=GC=
3 x x ,GB=GD= . 2 2 3 x. 2 2 x. 2 6 3 6 .故 x = 24 3

因为 AE ^ EC,所以在 Rt DAEC 中,可得 EG=

由 BE ^ 平面 ABCD,知 DEBG 为直角三角形,可得 BE=

1 1 由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE - ACD = 醋 AC GD ?BE 3 2

x =2
从而可得 AE=EC=ED= 6 . 所以 DEAC 的面积为 3, DEAD 的面积与 DECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 . 15【答案】(1)略;(2)
7 8

【解析】(1)设 ? 为 ?C 中点,由题意得 A1 E ? 平面 ??C ,所以 A1 E ? AE . 因为 AB ? AC ,所以 AE ? BC . 所以 AE ? 平面 A1 BC .

由 D , ? 分别为 B1C1 , BC 的中点,得 DE // BB1 且 DE ? BB1 ,从而 DE // AA1 且

DE ? AA1 ,
所以 AA1 DE 是平行四边形,所以 A1 D // AE . 因为 AE ? 平面 A1 BC ,所以 A1 D ? 平面 A1 BC . (2)作 A1 F ? DE ,垂足为 F ,连结 ?F . 因为 AE ? 平面 A1 BC ,所以 BC ? A1 E . 因为 BC ? AE ,所以 BC ? 平面 AA1 DE . 所以 BC ? A1 F , A1 F ? 平面 BB1C1C . 所以 ?A1 BF 为直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的平面角. 由 AB ? AC ? 2, ?CAB ? 90? ,得 EA ? EB ? 2 . 由 AE ? 平面 A1 BC ,得 A1 A ? A1 B ? 4, A1 E ? 14 . 由 DE ? BB1 ? 4, DA1 ? EA ? 2, ?DA1 E ? 90? ,得 A1 F ?
7 8 7 . 2

所以 sin ?A1 BF ?

16.【答案】 (Ⅰ)祥见解析, (Ⅱ) BC = 3 或 BC = 3 3 . 【解析】证明:如题(20)图.由 DE ? EC , PD ? PC 知, E 为等腰

D PDC 中 DC 边的中点,故 PE ^ AC ,
又平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , PE ? 平面 PAC , PE ^ AC , 所以 PE ^ 平面 ABC ,从而 PE ^ AB . 因衈 ABC=
p , EF ? BC , 故AB 2 EF .

P

A

D F
题(20)图

E

C

B

从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE , EF 都垂直, 所以 AB ^ 平面 PFE .

(2)解:设 BC=x ,则在直角 D ABC 中,
1 1 AB= AC2 - BC 2 = 36 - x 2 .从而 SDABC = AB? BC= x 36 x 2 2 2

由 EF ? BC ,知

S AF AE 2 2 4 AEF ? D ABC ,故 DAEF = ( ) 2 = , = = ,得 D AB AC 3 SDABC 3 9

4 即 SDAEF = SDABC . 9 1 1 1 4 由 AD= AE , SDAFB = SDAFE = ? SDABC 2 2 2 9

2 1 SDABC = x 36 - x 2 , 9 9 1 1 从 而 四 边 形 DFBC 的 面 积 为 SDFBC = SDABC -SDADF = x 36 - x 2 - x 36 - x 2 2 9 7 = x 36 - x 2 18

由(1)知,PE PE ^ 平面 ABC ,所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高.

PEC 中, PE= PC2 - EC 2 = 42 - 22 = 2 3 , 在直角 D
1 1 7 体积 VP - DFBC = 鬃 SDFBC PE = ? x 36 x 2 ?2 3 3 3 18 7,

故得 x 4 - 36 x 2 + 243 = 0 ,解得 x 2 = 9或x 2 = 7 ,由于 x > 0 ,可得 x = 3或x = 3 3 . 所以 BC = 3 或 BC = 3 3 . 17【答案】 arccos
10 10

【解析】因为 PO ? 2 , OA ? 1 , 所 以 三 棱 锥

P ? AOC







1 1 1 1 1 1 V ? S ?AOC ? OP ? ? ? AO ? CO ? OP ? ? ?1?1? 2 ? . 3 3 2 3 2 3

因为 OE // AC ,所以异面直线 PA 与 OE 所成的角就是 PA 与 AC 的夹角. 在 ?ACP 中, AC ? 2 , AP ? CP ? 5 , 过 P 作 PH ? AC ,则 AH ?
2 , 2 AH 10 , ? AP 10 10 . 10

在 Rt?AHP 中, cos ?PAH ?

所以异面直线 PA 与 OE 所成角的大小 arccos


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