2014-2015微积分上复习题


一、选择 1. “ f ( x) 在 x ? x0 处有定义”是当 x ? x0 时 f ( x) 有极限的[ (A)必要条件 (C)充分必要条件 2.已知 lim
x ?2

].

(B)充分条件 (D)无关条件 ].

x 2 ? ax ? b ? 2 ,则 a , b 的值是[ x2 ? x ? 2

(A) a ? ?8, b ? 2 (C) a ? 2, b ? ?8 3. lim
x 2 ? 2 x ? sin x ?[ x?? 2 x 2 ? sin x

(B) a ? 2, b 为任意值 (D) a , b 均为任意值 ].

(A)

1 2

(B)2

(C)0

(D)不存在

4.已知当 x ? 0 时, f ( x ) 是无穷大量,下列变量当 x ? 0 时一定是无穷小量 的是[ ]. (B) x ? f ( x) (D) f ( x ) ? ].
1 x

(A) x ? f ( x) (C)
x f ( x)

5.下列函数中属于偶函数的是[

x ?x (A) e ? e ;

(B) ? cos x ;

(C) ? x sin x ;

(D) y ? 1 ? x2 。 ].

6.下列函数中,____是(2,+∞)内的单调递增的连续函数[

1 (A) x ;

(B) ln(-2+x); ].

(C) tanx;

(D) e 。

?x

? 7x ? x 7. lim?1 ? ? =[ x ?0 5 ? ?

1

(A) e

1

4



4 (B) e ;

?4 (C) e ;

( D) e

?

7 5



1 8. lim cos( ?3x 2 ? 5) =[ x ?? x

]. (C) 0; ].
?2

(A)3;

(B) 1 ;

(D) ∞。

9.导数 [(ln5 ? ln(? x)]? =[
?1 (A) x ;

(B) 3 x ? x



(C) 3xln3+ x ;

?2

(D) 3xln3 ? x 。

?2

10 .若要修补 f ( x) ? [ ]. (A)
3 2

1? 1? x 1? 3 1? x

,使其在点 x ? 0 处连续,则要补充定义 f ( x) ?

(B)

1 2

(C)3

(D)1 ].

11.若 f ?x ? 点 x ? x0 处可导,则下列各式中结果等于 f ??x0 ? 的是[ (A) lim
f ? x0 ? ? f ? x0 ? ?x ? ?x f ? x0 ? 2?x ? ? f ? x0 ? ?x

?x ?0

(B) lim

?x ?0

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x f ? x0 ? 2?x ? ? f ? x0 ? ?x ? ?x

(C) lim

?x ?0

(D) lim

?x ?0

12.下列结论错误的是[

]

(A)如果函数 f ?x ? 在点 x ? x0 处连续,则 f ?x ? 在点 x ? x0 处可导 (B)如果函数 f ?x ? 在点 x ? x0 处不连续,则 f ?x ? 在点 x ? x0 处不可导 (C)如果函数 f ?x ? 在点 x ? x0 处可导,则 f ?x ? 在点 x ? x0 处连续 (D)如果函数 f ?x ? 在点 x ? x0 处不可导,则 f ?x ? 在点 x ? x0 处也可能连续
2 ? ?x 1 13.设 f ?x ? ? ? 3 ? ?x

x?0 x>0

,则 f ?x ? 在点 x ? 0 处[

]

(A)左导数不存在,右导数存在 (B)右导数不存在,左导数存在 (C)左、右导数都存在 (D)左、右导数都不存在 14.若曲线 y ? x 2 ? ax ? b 和 y ? x 3 ? x 在点(1,2)处相切(其中 a, b 是常数) , 则 a, b 之值为[ ].

(A) a ? 2, b ? ?1 (C) a ? 0, b ? ?2

(B) a ? 1, b ? ?3 (D) a ? ?3, b ? 1

15.设 Y= cos(3 ? 2 x) , 则微分 DY=____; (A) 3 cos(3 ? 2 x)dx ; (C) 2 sin(3 ? 2 x)dx ; 16.导数 [9 ln ? x ]? =____;
?3 A) 5 x ; 5 B) 3 x ; 5 C) x ; ?5 D) 3 x 。

(B) ? 2 cos(3 ? 2 x)dx ; (D) ? 2 sin(3 ? 2 x)dx 。

( x ? 1)145 (ax ? 1) 5 ? 10 , 则 A 的值为; 17. 设 lim x? ? ( x 3 ? 1) 50
A) 1; B) 2; C) 均不对;
x 2n ? 1 x ?1

D)

5

10 。

18.补充定义 F (1) = ____则函数 F (X) = A) 4; B) 2n ;

是连续函数; D) 3。

C) 1;

?lg(? x) f ( x) ? ? 2 ?x 19. 设函数
x ? ?10

( x ? 0), ( x ? 0), 则下列结论不正确的是;
;C)
x ?0 ?

lim f ( x) ? 1



B)

x ?0 ?

lim f ( x) ? 0

lim f ( x) ? 4

;D)

x ?3?

lim f ( x ) ? 9



20.设 f ?x ? 二阶可导, y ? f ?1nx?, 则 y?? ? [ (A) f '' ?1nx? (C)
1 '' f ?1nx ? ? f ' ?1nx ? x2

]

(B) f '' ?1nx ?

?

?
? ?

(D)
]

1 '' f ?1nx ? ? f ' ?1nx ? x2

?

1 x2

?

21.若 f ? u ? 可导,且 y ? f (e x ) 有 dy ? [ (A) f ' e x dx
1 3

? ?

(B) f ' e x dex ].

? (C) f ?e x ? de x

?

?

(D) f e x e x dx

? ? ??
'

22. f ?x? ?| x | ,点 x ? 0 是 f ?x ? 的[ (A)间断点 (C)极大值点

(B)极小值点 (D)拐点

二、填空
1.函数 y

?

x 的定义域是 lg? x ? 1?



1? x , g ( x) ? 1 ? x, 则 f [ g ( ?2)] ? x x?4 3.过曲线 f ( x) ? 上一点 (2,3)的切线斜率为 _______; 4? x x?3 4.函数 f ( x ) ? 2 的间断点是 ; x ? 3x ? 2
2.设函数 f ( x ) ?

;.

1 ? 2 ? x sin 5.函数 f ( x) ? ? x ? ?0
是否连续? 6. lim (1 ?
x ??

x?0 x?0

在x ? 0 处

;是否可导? 。 。

; (填是或者否)

5 x ) = 2x

7. lim e ?9 x =
x ? ??

8. lim ( x ? 2 x ? 1 ?
2 x ???

x 2 ? 2 x ? 1) = ________。


9. lim

x ? ??

x 800 = e6x

10. lim

? 8x 2 ? 2x ? 1 = x ?? 3x 2 ? 1



11. 函数 y ? ln(x 2 ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 12.曲线 y ? x ? ln(1 ? x) 在区间

;最小值为

. 内单调增加.

内单调减少;在区间

? x ? t cost ? 13.曲线 ? ,在 t ? 处的法线方程是 2 ? y ? t sin t
1 14、(  )= d dx x+1 2 x ? ax ? b 15、若 lim 2 ? 2, 则a, b的值分别为: x? 1 x+2x-3
16. lim

ln(1 ? 3 x) = x ?0 e 6 x ? 1



17. {

x ? 1? t 4 y ? 1 ? cost



dy ? dx




18. 导数 ( x 3 e 2 x )' =

19. 若 y ? e f ( x) , 则 y?? =______。 20. 若函数 y = f (x) 满足 f’(3) = 0 且 f ”(3) <0, 则 x = 3 是函数的________点。 三、计算+解答 1.

ln 4 x lim 。 x ? ?? 2 x e5 ? 7x 。 x ??? e 6 x ? 5 x
sin x ( )? 。 1 ? cos x
y = ln sin(-8x) , 求微分 dy 。
1 2 x2

2. lim 3. 4.

5.求极限 lim x e
x?0

6. 若 f ( x) ? ( x3 ? 10)4 , 求f ''(0)
4 x2

7.

求极限 lim(cos x)
x ?0

8.y = (1 ? x) , 求二阶导数 y ?? 。
6

9. 求 y ? 3 y ? x ? 8x 过点 (2,0) 的切线方程。
3 4

10.

y?

1 3 x ? x 2 ? 4 , 求 y 的极值。 3
的凸凹区间及拐点(列表) 。

11. 求函数 y = xe ? x 12. lim
x ?2

x 2 ? 3x ? 2 . x2 ? 4
1

13. lim(1 ? sin x) x
x ?0

14. lim
x ?0

tan x ? x x ln(1 ? x 2 )

15.讨论函数 f ( x) ? x2 ? Inx2的单调区间并求极值
1 ? 2 ? x cos 16.讨论f ( x) ? ? x ? x ? x?0 x?0

17. 将一个边长为 30 厘米的正方形,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将 四边折起做一个无盖容器,问截去的小正方形边长为多大时,所得容器体积最大? 18. 某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器, 问容器的底半径与高各为多少时可使 用料最省?


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