空间向量的标准正交分解与坐标表示(导纲)


§3. 1《空间向量的标准正交分解与坐标表示》——(导纲)
【学习目标】 1、掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示,理解空间向量的投影的定义,会求 空间向量的投影。 2、从向量的几何表示到坐标表示,体会向量的几何和代数的双重特点;通过向量的正交分解的相关 运算提高学生的运算能力; 通过例题与练习提高学生动手能力、 分析问题解决问题的能力以及其 知识迁移能力。 3、经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。 【合作探究】 课前练习

? ?? ? 1.在给定的空间直角坐标系中, j ,k分别为x轴,y轴,z轴正方向 i, ? ?? ? 上的 把i, j ,k叫作 ?? ? ? 2.标准正交分解:若i, j , k是标准正交基,对空间任意向量a,存在 ? ? ? ? ? ? ? ? 三元有序实数(x,y,z),使a =xi ? y j ? zk,把a =xi ? y j ? zk ? 叫作a的 3.坐标的意义 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? (1)投影的定义:一般地,若b0为b的单位向量,称a ? 0 ? a cos a, b b ? ? 为向量a在向量b方向上的 (2)坐标的意义:向量的坐标等于

2.空间向量坐标的定义

?? ? 1)在给定的坐标系中, 令i, j , k为直角坐标系中x轴, y轴, z轴正方向上的单位向量, ? ??? ? ? 设a是空间任意向量, 作OP ? a.
z C
? k

P
? j

? a
B y

? i

O D

A x

3.思考探究:

??? ? ??? ? (1)向量 AB的起点A不在坐标原点时,向量 AB的坐标还是 ??? ? 终点B的坐标吗?如果不是,向量 AB的坐标是怎样的?

(2)起点都在坐标原点,终点关于坐标平面对称的两个向 量的坐标有什么关系?关于坐标轴对称又如何呢?

4.例题讲解

例1.如图, 在直角坐标系中有长方体ABCD ? A1B1C1D1 , AB ???? ? ?? ? ? 2, BC ? 3, AA1 ? 5.(1)写出C1的坐标, 给出AC1关于i, j, k的 分解式;(2)求BD1的坐标.
z A1 D1 C1

(A) O D C x

B y

5.动手操作—运用公式 试一试:

练习 如图, 在直角坐标系中有长方体ABCD ? A1 B1C1D1 , 1. ???? ?? ? AB ? 2, BC ? 3, AA1 ? 5.(1)写出B1的坐标, 给出AB1关于i, j , k ???? ? 的分解式;(2)求BD1的坐标.

z A1 D1 C1

B1

(A) O D C x 6.向量坐标的意义

B y

7.空间向量投影的定义

8.思考探究:

? ? 向量a在b方向上的投影一定是正数吗?

9.例题讲解

例2.如图,已知单位正方体ABCD?ABCD , 求(1)向量 1 1 1 1 ???? ??? ? ??? ? CA1在CB上的投影;(2) BC是单位向量, 且垂直于平面ABB1 A1 , ???? ??? ? 求向量CA1在BC上的投影.

D1 A1 D A B B1

C1

C

10.动手操作—运用公式 试一试:

练习2.如图,已知单位正方体ABCD ? A1B1C1D1 ,(1)求向量 ???? ??? ? ???? ??? ? ? CA1在CA上的投影.(2)求向量 BC1在BD上的投影.

D1 A1 D A
11.例题讲解

C1 B1 C B

?? ? ? ?? ? 例3.设单位向量i, j , k两两垂直, i, j , k方向的正交分解 a沿 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 为a =2i ? 3 j ? 4k .求证:? =2,?j =-3,?k =-4. ai a a

12.动手操作—运用公式 试一试:

?? ? ? ?? ? 练习3.设单位向量i, j , k两两垂直, i, j , k方向的正交分解 a沿 ? ? ? ?? ? ? ? ? 为a =2i ? 3 j ? 4k, ? 3i ? j.求a ? 的值. b b

13.布置作业—自主探究
一:p34 面练习第 1,2 题 二:预习下一节《空间向量基本定理》导学提纲。


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