高考二轮复习 专题三、极坐标与参数方程


专题:极坐标与参数方程
【命题特点】 : 近 5 年新课标高考对选修 4—4 部分的考题分布情况如下表: 年份 题号 分值 2010 23 10 2011 23 10 2012 23 10 2013 23 10 2014 23 10

1、 (2010 新课标 23)已知直线 C1 ? (1)当 ? =

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

(2)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当? 变化时,求 P 点的轨迹的参 数方程,并指出它是什么曲线。

可得出极坐标与参数方程试题的题量为 1 道解答题,总分为 10 分,试题难度为中等或 中等偏易。 【命题分析】 : 1、主要考查几种简单曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化、参数方程和普通方程互化以 及直线和圆、椭圆的位置关系等相关问题; 2、选考部分是新课标考区历年高考必考的内容,多为解答题,题目切入点或命题角度多变, 知识结合灵活度高,情境多样,但都是基础知识的有机结合,难度不大; 3、2015 年高考坐标系与参数方程选讲部分可能考查极坐标和参数方程、直线和椭圆位置关 系或极坐标中三角有界性求范围等问题。 【核心提炼】 : 1、确定极坐标方程时要注意极坐标系的基本要素:极点、极轴、长度单位、角度单位及其 正方向,缺一不可; 2、在参数方程与极坐标方程互化中,必须使 x、y 的取值范围保持一致,参数方程的形式不 一定唯一; 3、应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么求得的 曲线的参数方程的形式也不同。 【高考题型】 : 1、方程的求解:如求极坐标方程、参数方程、直角坐标方程或普通方程; 2、求点的极坐标或点的直角坐标; 3、直线与圆、椭圆、抛物线相交汇,判断位置关系、求弦长或距离的最值问题; 【问题系统】 【问题 1】做以下新课标真题:
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2、 (2011 新课标 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? (? 为参 ? y ? 2 ? 2sin ?

数) ,M 为 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 . (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线? ? 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

?
3

与 C1 的异于极点的交

? x ? 2 cos? , (? 为参数), 以坐标原点为极点, ? y ? 3 sin ? , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点 ? 都在 C 2 上,且 A、B 、C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2, ) 。 3
3、 (2012 新课标 23)已知曲线 C1 的参数方程是 ? (1)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2 + |PB|2 + |PC| 2 + |PD|2 的取值范围。

5、 (2014 新课标 23)已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ( t 为 参数). ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小 值.

——<即时训练>:

? x ? 4 ? 5 cost ( t 为参数) ,以坐标原点为 ? y ? 5 ? 5 sin t 极点,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? .
4、 (2013 新课标 23)已知曲线 C1 的参数方程式 ? (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0 , 0 ? ? ? 2 π ).

1、 (2014 福建)已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos? , ( ? 为参数). ? ? y ? 4 sin ? (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程;

? x ? a ? 2t , ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? y ? ?4t

(2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

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? ?x ? 1 ? 2、 (2014 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? ? 2 直线 l 与抛物线 y ? 4 x 交于 A , B 两点,求线段 AB 的长.

2 t, 2 (t 为参数), 2t 2

4、 (2014 新课标 2)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? , ? ? ?0, ? ? .

? ?

? 2?

(1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的 参数方程,确定 D 的坐标.

3、 (2014 辽宁)将圆 x 2 ? y 2 ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得 曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐 【课时作业】 1、 若极点与直角坐标原点重合, 极轴与 x 轴正半轴重合, 已知直线 l: ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 和曲线 C : ? ?

l 标建立极坐标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程.

x ? 1 ? 2 sin ? , (? 为参数)。 ? y ? ?1 ? 2 cos ? .

(1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 是否相交,若相交,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长。

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2、已知直线 l 的参数方程为 ? ?

x ? 2t , (t 为参数),以原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴 ? y ? t ? 4.

3、在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? 曲线 C1 上点 M (2,3) 对应的参数 ? ?

建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ? (1)试判断直线 l 和圆 C 的位置关系;

?

4

)。

?
3

x ? a cos ? ,(a ? b ? 0, ? 为参数),且 ? y ? b sin ?

。 以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

y (2)若椭圆 E 的直角坐标方程为 ? x 2 ? 1 ,P 是直线 l 上任一点,Q 是椭圆 E 上任一点, 3 求 PQ 的最小值。

2

曲线 C 2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线 ? ? (1)求曲线 C1 的普通方程, C 2 的极坐标方程; (2)若 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ?

?
4

与曲线 C 2 交于点 D ( 2 ,

?
4

).

?

2

) 是曲线 C1 上的两点,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值。

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