2017届高三数学二轮复习高考大题标准练四理


高考大题标准练(四)
满分 60 分,实战模拟,60 分钟拿到高考主观题高分! 1.已知函数 f(x)=(sinx+cosx) -2cos x(x∈R). (1)求函数 f(x)的周期和递增区间. (2)若函数 g(x)=f(x)-m 在[0, ]上有两个不同的零点 x1,x2, 求 tan(x1+x2)的值. 【解析】(1)因为 f(x)=(sinx+cosx) -2cos x =sin2x-cos2x= sin (x∈R).
2 2 2 2

由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ +

? kπ - ≤x≤kπ +

(k∈Z). (k∈Z).

所以函数 f(x)的周期为 T=π ,递增区间为 (2)因为 g(x)=f(x)-m=0 同解于 f(x)=m; 在直角坐标系中画出函数 f(x)= sin 在

上的图象,

由图象可知,当且仅当 m∈[1,

)时,

方程 f(x)=m 在

上的区间



有两个不同的解 x1,x2,

且 x1 与 x2 关于直线 x= 所以 x1+x2=

对称,即

=

,

;故 tan(x1+x2)=-1.

2. 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 为矩形 ,PD ⊥底面 ABCD,E 是 AB 上一点 . 已知
1

PD=

,CD=4,AD=

.

(1)若∠ADE= ,求证:CE⊥平面 PDE. (2)当点 A 到平面 PDE 的距离为 时,求三棱锥 A-PDE 的侧面积.

【解析】(1)在 Rt△DAE 中,AD= 所以 AE=AD·tan∠ADE= 又 AB=CD=4,所以 BE=3. 在 Rt△EBC 中,BC=AD= 所以 tan∠CEB= = , , ·

,∠ADE= , =1.

所以∠CEB= .

又∠AED= ,所以∠DEC= ,即 CE⊥DE. 因为 PD⊥底面 ABCD,CE? 底面 ABCD, 所以 PD⊥CE.又 PD∩DE=D, 所以 CE⊥平面 PDE. (2)因为 PD⊥底面 ABCD,PD? 平面 PDE, 所以平面 PDE⊥平面 ABCD. 过 A 作 AF⊥DE 于 F,所以 AF⊥平面 PDE, 所以 AF 就是点 A 到平面 PDE 的距离,即 AF= 在 Rt△DAE 中,由 AD·AE=AF·DE, .

2



AE=

· ×

,解得 AE=2. = , ,

所以 S△APD= PD·AD= × S△ADE= AD·AE= × ×2=

因为 BA⊥AD,BA⊥PD,AD∩PD=D, 所以 BA⊥平面 PAD, 因为 PA? 平面 PAD,所以 BA⊥PA. 在 Rt△PAE 中,AE=2,PA= 所以 S△APE= PA·AE= × ×2= . + + . .以原点为圆心, = = ,

所以三棱锥 A-PDE 的侧面积 S 侧= 3.已知椭圆 C: +

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 =0 相切.

椭圆的短轴长为直径的圆与直线 x-y+ (1)求椭圆 C 的方程.

(2)若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 顺次相交于 A,M,N(A 点在椭圆右顶点的右 侧),且∠NF2F1=∠MF2A.求证直线 l 恒过定点,并求出斜率 k 的取值范围. 【解析】(1)由题意知 e= = 所以 e =
2



=

= ,

即 a =2b .又因为 b=

2

2

=1,所以 a =2,b =1,

2

2

所以椭圆方程为

+y =1.

2

(2)由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由
2 2 2

得(2k +1)x +4kmx+2m -2=0.
2 2 2

2

2

2

由Δ =16k m -4(2k +1)(2m -2)>0,得 m <2k +1, 则有 x1+x2= ,x1x2= .

因为∠NF2F1=∠MF2A,

3

且∠MF2A≠90°, 又 F2(1,0),则 +

+

=0. =0,即 + =0,

化简得 2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0. 将 x1+x2= ,x1x2= 代入上式得 m=-2k,

所以直线 l 的方程为 y=kx-2k,即直线过定点(2,0). 将 m=-2k 代入 m <2k +1, 得 4k <2k +1,即 k < ,又因为 k≠0, 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 4.设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值. (2)讨论函数 g(x)=f′(x)- 零点的个数. 【解析】 (1)由题设, m=e 时, f(x)=lnx+ , 则 f′(x)= f(x)在(0,e)上单调递减; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. 所以 x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2, 所以 f(x)的极小值为 2. (2)由题设 g(x)=f′(x)- = 3 2 2 2 2 2



.

, 所以当 x∈(0, e)时, f′(x)<0,

- (x>0),
3

令 g(x)=0,m=- x +x(x>0),设φ (x)=- x +x(x>0), 则φ ′(x)=-x +1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ ′(x)>0,φ (x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ ′(x)<0,φ (x)在(1,+∞)上单调递减. 所以 x=1 是φ (x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是φ (x)的最大值点, 所以φ (x)的最大值为φ (1)= . 又φ (0)=0,结合 y=φ (x)的图象(如图所示),可知
2

4

①当 m> 时,函数 g(x)无零点; ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 综上所述,当 m> 时,函数 g(x)无零点;当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点. 5. 椭圆 E:
2

+

=1(a>b>0) 的焦点到直线 x-3y=0 的距离为

, 离心率为

, 抛物线

G:y =2px(p>0)的焦点与椭圆 E 的焦点重合;斜率为 k 的直线 l 过 G 的焦点与 E 交于 A,B,与 G 交于 C,D. (1)求椭圆 E 及抛物线 G 的方程. (2)是否存在常数λ ,使 为常数,若存在,求λ 的值,若不存在,说明理由.

+

【解析】(1)设 E,G 的公共焦点为 F(c,0),由题意是

=

, =

.

联立解得 c=2,a=
2

,b=1.
2

所以椭圆 E: +y =1,抛物线 G:y =8x. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 直线 l 的方程为 y=k(x-2),与椭圆 E 的方程联立 (1+5k )x -20k x+20k -5=0. Δ =400k -20(5k +1)(4k -1)=20(k +1)>0.
4 2 2 2 2 2 2 2



5

x1+x2= |AB|= = =

,x1x2= |x1-x2|

.

直线 l 的方程为 y=k(x-2), 与抛物线 G 的方程联立 得 k x -(4k +8)x+4k =0. x3+x4= . .
2 2 2 2

|CD|=x3+x4+4=

+ =

= .

+

要使

+

为常数,则 20+

λ =4,得λ =-

.

故存在λ =-

,使

+

为常数.

6


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