高考数学数列通项公式与数列求和专题复习(专题训练)


专题六、数列(二)
1.求数列的通项公式关键是找出数列的递推式。根据数列的递推式的不同,数列通项公式的求 解主要有 14 种题型。 2.数列求和的常用方法有: (1)公式法; (2)错位相减法; (3)裂项相消法; (4)倒序相加法; (5)分组求和法; (6)周期法。 例 1.如图,在杨辉三角中,斜线上方的数组成数列:1,3,6,10,…,记这个数列的前 n 项和 为 Sn,则

lim
n ??

n3 ? __________ Sn

例 2.已知数列{ an }中, a1 =1,n≥2 时, a n ? 则{ an }的通项公式为___________

1 8 2 a n ?1 ? 3? n ? , 3 3 3

例 3.(2017 山东)已知 {xn } 是各项均为正数的等比数列,且 x1 ? x2 ? 3, x3 ? x2 ? 2 (Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P 1 ( x1 ,1), P 2 ( x2 , 2)...P n?1 ( xn?1 , n ? 1) 得到折 线 PP 1 2P n?1 ,求由该折线与直线 y ? 0, x ? xi ( x{xn }) 所围成的区域的面积 Tn .

1

例 4.已知函数 f ( x ) ? x ?
2

1 1 x ? ,若数列{bn}满足: b1 ? 1 , bn?1 ? 2 f (bn ) (n∈N*) .若对 2 4

任意 n∈N*,都存在有 M∈Z,使得 则整数 M 的最小值是____________

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? M 恒成立, b1 b2 b3 bn

变式训练: 1.已知数列{an}满足 a1=3,an+1?an+an+1+1=0,则 a2011=___________ 2.数列{an}中, a1 ? 1 , an - an ?1 ?

an ? an ?1 ,则{ an }的通项 an =___________

3.在数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+1,则{an}通项公式 an =___________ 4.(2012 上海)若 Sn=sin 个数是___________个。

? 2? n? +sin +…+sin (n∈N*) ,则在 S1,S2,…,S100 中,正数的 7 7 7

5.已知 2 S n ? an ?

1 ,则 S2014=____________ an 1 ,若 a2n ?1 ? a2n ?1 , a2 n ? 2 ? a2 n (n∈N+) ,则 n(n ? 2)

6.已知数列{an}满足 a2=1, an ?1 ? an ?

数列{ (?1) n an }的前 40 项的和为____________ 7.已知函数 f (n) ? n sin
2

n? ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1+a2+a3+…+a2014=____________ 2

8.已知数列{an}满足 a1=1, a2= , 且 an ? 2

an ?1 , 则如图中第 10 行所有数的和为_________ ? an ? an ?1

2

2

9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2an,则使不等式 a12+a22+…+an2<5× 2n+1 成立的 n 的 最大值为____________ 10.设 Sn 为数列{an}的前 n 项之和. 若不等式 an ? 数 n 恒成立,则 λ 的最大值为________________ 11.(2017 闵行区一模)已知无穷数列 {an } , a1 ? 1 , a2 ? 2 ,对任意 n ? N ,有 an? 2 ? an ,
*
2

Sn 2 ? ?a1 对任何等差数列{ an }及任何正整 2 n

2

数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ? an ( n ? N ) ,若数列 {
*

b2 n } 中的任意一项都在该数列中重复出现无 an

数次,则满足要求的 b1 的值为

? ?2 xn ?1,2 xn ?1 ? 1 12.给定 0 ? x0 ? 1 对一切整数 n>0,令 xn ? ? ,则使 x0 ? x6 成立的 x0 的 ?2 x ? 1,2 x ? 1 n ?1 ? n ?1
个数为____________

13.如图,△A0B1A1,△A1B2A2,…,△An﹣1BnAn 均为等腰直角三角形,其直角顶点 B1,B2,…, Bn(n∈N*)在曲线 y ?

1 ( x ? 0) 上,A0 与坐标原点 O 重合,Ai(i∈N*)在 x 轴正半轴上.设 x

Bn 的纵坐标为 yn,则 y1+y2+…+yn=____________

3

14.如图,一个粒子在第一象限运动,在第一秒内,它从原点运动到(0,1) ,然后接着按图所 示在 x 轴,y 轴平行方向来回运动(即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)…) , 若每秒运动一个单位长度,那么第 2010 秒时,这个粒子所在的位置为( )

A.(16,44)B.(15,44) C.(14,44) D.(13,44) 15.(2017 普陀区一模)已知数列 {an } 的各项均为正数,且 a1 ? 1 ,对任意的 n ? N ,均有
*

2 an ?1 ? 1 ? 4an ? (an ? 1) , bn ? 2log 2 (1 ? an ) ? 1 ;

(1)求证: {1 ? an } 是等比数列,并求出 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 中去掉 {an } 的项后,余下的项组成数列 {cn } ,求 c1 ? c2 ? ??? ? c100 ; (3)设 d n ?

1 ,数列 {dn } 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ( 1 ? m ? n ) ,使得 bn ? bn ?1

T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列,若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由;

16.(2017 浦东新区一模)设数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? n ? 4n ? 1 , bn ? an ? n ? 2n ;
2 2

(1)若 a1 ? 2 ,求证:数列 {bn } 为等比数列; (2)在(1)的条件下,对于正整数 2 、 q 、 r (2 ? q ? r ) ,若 5b2 、 bq 、 br 这三项经适当 排序后能构成等差数列,求符合条件的数组 ( q, r ) ; (3)若 a1 ? 1 , cn ? bn ? n , d n ? 1 ? 的最大整数;

1 1 ? 2 , M n 是 dn 的前 n 项和,求不超过 M 2016 2 cn cn ?1

4

17.(2017 崇明县一模)已知数列 {an } 、{bn } 满足 2Sn ? (an ? 2)bn ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和; (1)若数列 {an } 是首项为

2 1 ,公比为 ? 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式; 3 3

(2)若 bn ? n , a2 ? 3 ,求证:数列 {an } 满足 an ? an? 2 ? 2an?1 ,并写出 {an } 通项公式; (3)在(2)的条件下,设 cn ? 其他两项之积;

an ,求证:数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列 bn

18.(2017 徐家汇区一模)正数数列 {an } 、{bn } 满足: a1 ? b1 ,且对一切 k ? 2 , k ? N , ak 是 ak ?1 与 bk ?1 的等差中项, bk 是 ak ?1 与 bk ?1 的等比中项; (1)若 a2 ? 2 , b2 ? 1,求 a1 、 b1 的值; (2)求证: {an } 是等差数列的充要条件是 an 为常数数列; (3)记 cn ? | an ? bn | ,当 n ? 2 , n ? N ,指出 c2 ? ? ? cn 与 c1 的大小关系并说明理由;
?

?

5

19.(2017 嘉定区一模) 已知无穷数列 {an } 的各项都是正数, 其前 n 项和为 Sn , 且满足: a1 ? a ,

rSn ? an an?1 ?1 ,其中 a ? 1 ,常数 r ? N ;
(1)求证: an? 2 ? an 是一个定值; (2)若数列 {an } 是一个周期数列(存在正整数 T ,使得对任意 n ? N ,都有 an?T ? an 成立,
*

则称 {an } 为周期数列, T 为它的一个周期) ,求该数列的最小周期; (3)若数列 {an } 是各项均为有理数的等差数列, cn ? 2 ? 3
n ?1

(n? N ) ,问:数列 {cn } 中的
*

所有项是否都是数列 {an } 中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例;

20.如图,已知曲线 C1: y ?

2x 1 ( x ? 0) 及曲线 C2: y ? ( x ? 0) ,C1 上的点 P1 的横坐标为 x ?1 3x

a1(0<a1< ) .从 C1 上的点 Pn(n∈N+)作直线平行于 x 轴,交曲线 C2 于点 Qn,再从点 Qn 作直线平行于 y 轴,交曲线 C1 于点 Pn+1.点 Pn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{an}

1 ? a2 n ; 2 1 4 (Ⅱ)若 a1= ,求证:|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|< . 3 3
(Ⅰ)试求 an+1 与 an 之间的关系,并证明: a2 n ?1 ?

6


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