线面平行与面面


线面平行与面面平行的判定定理
平面BCD . 2.已知:空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB, AD 的中点,求证: EF // A
证明:连结 BD ,在 ?ABD 中, ∵ E , F 分别是 AB, AD 的中点, ∴ EF // BD , EF ? 平面BCD , BD ? 平面BCD ,
C B E D F

∴ EF // 平面BCD . 4 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证: PQ∥面BCE.

证法一:如图9-3-4(1),作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ,∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, ∴
PM PE QN BQ PM QN , .∴ . ? ? ? AB AE DC BD AB DC

∴PM∥QN.即四边形PMNQ为平行四边形. ∴PQ∥MN. 又∵MN ? 面BCE,PQ ? 面BCE,∴PQ∥面BCE. 5 如图 1,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=

1 AP=2,D 为 AP 的中点, 2

E,F,G 分别为 PC、 PD、CB 的中点,将△PCD 沿 CD 折起,使点 P 在平面 ABCD 内的射影为点 D,如图 2. (I)求证:AP∥平面 EFG; 解:由题意,△PCD 折起后 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, PD=2. (I)∵E、F、G 分别为 PC、PD、BC 的中点. ∴EF∥CD,EG∥PB. 又 CD∥AB ∴EF∥AB,PB∩AB = B,∴平面 EFG∥平面 PAB. ∴PA∥平面 EFG. 6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证:PC∥面BDQ. .证明:如答图9-3-2,连结AC交BD于点O.

∵ABCD是平行四边形,∴AO=OC.连结OQ,则OQ在平面BDQ内, 且OQ是△APC的中位线,∴PC∥OQ. ∵PC在平面BDQ外,∴PC∥平面BDQ.

7.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的 中点.求证:(1)E、F、B、D四点共面;(2)面AMN∥面EFBD. .证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB,如答图9-3-3, 则由正方体性质得 B1D1∥BD. ∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点, ∴EF∥ ∴EF∥
1 B1D1. 2 1 BD. 2

∴E、F、B、D对共面. (2)连结A1C1交MN于P点,交EF于点Q,连结AC交BD于点O,分别连结PA、QO. ∵M、N为A1B1、A1D1的中点, ∴MN∥EF,EF ? 面EFBD. ∴MN∥面EFBD. ∵PQ∥AO,∴四边形PAOQ为平行四边形. ∴PA∥OQ.而OQ ? 平面EFBD, ∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P,PA、MN ? 面AMN, ∴平面AMN∥平面EFBD. 9 正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于 AB (如图所示) M、 N 在对角线 AC、 FB 上且 AM= FN。 求证:MN //平面 BCE

证:过 N 作 NP//AB 交 BE 于 P,过 M 作 MQ//AB 交 BC 于 Q

CM QM ? AC AB

BN NP ? ? NP ? MQ BF EF
MQPN

又 ∵ NP // AB // MQ ?

MN // PQ ? ? ? MN // 面B C E PQ ? 面BCE?

题型举例
考点 1 直线与平面平行的判定与性质 例 1、已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( D ) A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m ‖ ? , 则?‖ ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

练习 1、设有直线 m、n 和平面 ?、? .下列四个命题中,正确的是(D) A.若 m / /? , n / /? ,则 m∥n C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? B.若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? , ,则 ? / / ? D.若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m / /?

例 2、在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E、F 分别为 AB、SC 的中点. 求证:EF//平面 SAD.

练习 2、在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、AD 的中点.求证:EF//平面 BCD.

例 3、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BC、C1D1 的中点.求证:EF//平面 B1D. 练习 3、已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的中点, 求证:AF//平面 PEC.

考点 2 平面与平面平行的判定与性质 例 6、在以下四个命题中,正确的命题是() ①平面 ? 内有两条直线与平面 ? 平行,那么这两个平面平行; ②平面 ? 内有无数条直线与平面 ? 平行,那么这两个平面平行; ③平面 ? 内 ? ABC 的三个顶点到平面 ? 的距离相等,那么这两个平面平行; ④平面 ? 内有两条相交直线与平面 ? 内两条相交直线平行,那么这两个平面平行. A. ③④ B. ②④ C. ②③④ . D. ④

练习 6、在下列条件中,可判断平面 ? 与平面 ? 平行的是

①平面 ? 内有两条直线与平面 ? 平行,那么这两个平面平行; ②平面 ? 内有无数条直线与平面 ? 平行,那么这两个平面平行; ③平面 ? 内有一条直线与平面 ? 平行,平面 ? 内有一条直线与平面 ? 平行,那么这两个平 面平行; ④平面 ? 和平面 ? 分别平行于两异面直线. 例 7、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD//平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1//平面 FBD.

练习 7、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C,B1C1,C1D1 的中点, 求证:平面 MNP//平面 A1BD.

练习 8、ABCD 为空间四边形,点 M、E、F 分别为 ? BAC,? ACD,? ADB 的重心. (1)求证:平面 MEF//平面 BCD; (2)求 S? MEF 与S? BCD 的比值.

例 9、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,面对角线 AB1,BC1 上分别有点 E、F,且 B1E=C1 F.求证:EF//平面 ABCD.

练 习 9 、 在 四 棱 柱 ABCD — A1B1C1D1 的 底 面 是 梯 形 , 侧 棱 与 底 面 垂 直 , 且 AB//CD, AD ? DC ,CD=2,DD1=AB=1,P,Q 分别是 CC1,C1D1 的中点.求证:AC//平面 BPQ.

考点 3 平行关系的综合应用

练习 10、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 BC、CC1、C1D1、A1A 的中 点. 求证:(1)BF//HD1;(2)EG//平面 BB1D1D;(3)平面 BDF//平面 B1D1

练习

1.平面α ∩平面β =a,平面β ∩平面γ =b,平面γ ∩平面 a=c,若 a∥b,则 c 与 a,b 的位置关系是( A.c 与 a,b 都异面 C.c 至少与 a,b 中的一条相交 ) B.c 与 a,b 都相交 D.c 与 a,b 都平行 ( )

2.不同直线 m, n 和不同平面 ? , ? ,给出下列命题:

? // ? ? ? ? m // ? m ??? m ??? ③ ? ? m, n异面 n?? ?
① 其中假命题有 A 0个 B 1个 C



m // n ? ? ? n // ? m // ? ?

2个

D 3个

3、已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,有下列命题
①若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β ; ③若α ∩β =n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β ; 其中真命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

4、对于直线 m、n 和平面 ? ,下面命题中的真命题是
A.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n // ? B.如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n与? 相交 C.如果 m ? ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n D.如果 m // ? , n // ? , m 、n 共面,那么 m // n

5、过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A1、C1、B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交线为
l,则 l 与 A1C1 的位置关系是__________;

6、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AA1=4,点 D 是 AB 的中点, 求证:AC 1//平面 CDB1;

7、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分 别是 AB、PC 的中点. 求证: EF // 平面 PAD;

8、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点.
求证: C1O//面 AB1D1; .

D1 A1 D O A B B1

C1

C

9、 长方体ABCD-A1B1C1D1中,点P ? BB (异于 B、B1) 1

PA ? BA1 ? M , PC ? BC1 ? N , 求证:MN / /平面ABCD
A1

D1

C1

B1 P M D N C

A

B

1 . 如图,已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC .

P

M

B
A

C
2 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,求证:平面 A 1 BD// 平面 CD 1B 1.

D

D1 A1 B1

C1

C
A
D

B
3 . 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是平行四边形, M , N 分别是 AB , PC 的 中点,求证: MN // 平面 PAD . P

N

D

C

A

M

B

4 如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点, E , F 分别是 PA , BD 上 的点且 PE∶EA ? BF ∶FD ,求证: EF// 平面 PBC .

P E
D F

C

A

B

5 . 如图,在正方体 ABCD ? A D1 AC 且与直线 D1B 平行的截面,并说 C1 1B 1C1D 1 中,试作出过 明理由.

A1

B1

D

C
B

A

6. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 13 , 平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离都是 13 , M , N 分别是 PA , DB 上的点,且 PM ∶MA ? BN∶ND ? 5∶8 . 求证:直线 MN // 平面 PBC ;

P

M
D

C

E

N
A

B

BC ,C1D1 的中点, E F 7. 如图, 在正方体 ABCD ? A 求证:EF // 1B 1C1D 1 中, , 分别是棱
平面 BB1D1D .

D1 A1

F

C1
B1

D

C
B
E

A


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