2015-2016学年福建省龙岩市一级达标校高二(下)期末数学试卷(文科)解析版


2015-2016 学年福建省龙岩市一级达标校高二(下)期末数学试 卷(文科)
一、选择题(每题 5 分) 1. (5 分) (2016 春?龙岩期末)复数 z=i(1﹣i) (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在 的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (5 分) (2016 春?龙岩期末)下列命题中的假命题是( ) 3 A.? x∈R,lgx=0 B.? x∈R,x >0 x 2 C.? x∈R,2 >0 D.? x∈R,x +2x﹣5=0 3. (5 分) (2016 春?龙岩期末)有这样一段演绎推理:“对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1) 是增函数,而 y= x 是对数函数,所以 y= x 是增函数”.上面推理显然是错误的, 是因为( ) A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错导致结论错 4. (5 分) (2016 春?龙岩期末) 下列函数中, 既是偶函数又在 ( 0, +∞) 上单调递增的是 ( A.y=2 B.y=
x



C.y=ln|x| D.y=cosx

5. (5 分) (2016?广元三模)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 ﹣5,则输出的 y 值是( )

A.﹣1 B.1

C.2

D.
0.6 2

6. (5 分) (2016 春?龙岩期末)若 a=2 ,b=log30.6,c=0.6 ,则( A.b>c>a B.a>b>c C.c>b>a D.a>c>b 7. (5 分) (2016 春?龙岩期末)下面使用类比推理正确的是( ) A.”loga(x?y)=logax+logay“类比推出“sin(x?y)=sinx+siny“



B.“(a+b)?c=ac+bc”类比推出“(a?b)?c=ac?bc” C.“(a+b)?c=ac+bc”类比推出“ = (c≠0)“

D.“(a?b)?c=a?(b?c)“类比推出“( ? )? = ?( ? )“ 8. (5 分) (2016 春?龙岩期末)函数 y=e
x﹣sinx

的图象大致为(



A.

B.

C.

D. 9. (5 分) (2016 春?龙岩期末)下列四个命题: 2 ①“x<2”是“x ﹣x<0”成立的必要不充分条件; 2 2 ②命题“? x∈R,x +5x=6”的否定是“? x0?R,x0 +5x0≠6”; 2 2 ③若 x>y,则 x >y ; ④若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中正确的命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10. (5 分) (2016 春?龙岩期末)函数 y=loga(x ﹣ax+2)在区间[0,1]上是单调减函数, 则实数 a 的取值范围是( ) A.[2,+∞) B. (0,1) C.[2,3) D. (2,3) 11. (5 分) (2016 春?龙岩期末)若函数 f(x)=a+xlnx 有两个零点,则实数 a 的取值范围为 ( ) A.[0, ] B. (0, ) C. (0, ] D. (﹣ ,0) 12. (5 分) (2016 春?龙岩期末)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≤0 时,f(x) =(x+2) e ,那么函数 f(x)的极值点的个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题(每题 5 分) 13. (5 分) (2016 春?龙岩期末)函数 f(x)= +lnx 的定义域为 .
2 x﹣1 2



14. (5 分) (2016 春?龙岩期末)函数 f(x)=2lnx﹣ax 在点(1,f(1) )处的切线与直线 x+6y=0 垂直,则实数 a= . 15. (5 分) (2016 春?龙岩期末)观察下列算式: 1 =1
3

2 =3+5 3 3 =7+9+11 3 4 =13+15+17+19 … 若某数 m 按上述规律展开后,发现等式右边含有”2661“这个数,则 m= . 16. (5 分) (2016 春?龙岩期末)给出下列三个命题: ①若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程是 =1.23x+0.08; ②若偶函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=f(x) ,且 x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程 f(x) =log3|x|有 3 个根; ③函数 f(x)=( ) ﹣sinx﹣1 在(0,+∞)内有且只有一个零点; ④已知函数 f(x)=ax﹣lnx,且 f(x1)=f(x2)=0,则 正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上) >e.
x 3

3

三、解答题 2 17. (12 分) (2016 春?龙岩期末)已知全集 U=R,非空集合 A={x|x ﹣5x+6<0},B={x||x ﹣a|<3}. (1)当 a=2 时,求(?UA)∩B; (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分) (2016 春?龙岩期末)淘宝卖家为了解喜爱网购是否与性别有关,对买家 100 人进行了问卷调查得到了如表的列联表: 喜爱网购 不喜爱网购 合计 a=20 b 女 c d=10 男 100 合计 已知在全部 100 人中随机抽取 1 人抽到不爱网购的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.9%的把握认为喜爱网购与性别有关,请说明理由. 参考公式:K
2 2=

,其中 n=a+b+c+d.

P=(K ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0) 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 x0 x 19. (12 分) (2016 春?龙岩期末)已知 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数,g(x)=λf (x) . (1)求实数 a 的值; 2 (2)若 g(x)≤x +2x+4 在 x∈(0,+∞)时恒成立,求 λ 的取值范围. 20. (12 分) (2016 春?龙岩期末)已知函数 f(x)= ﹣ax.

(1)若 x=1 是函数 f(x)的极值点,求 a 的值; (2)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间[0,1]上的最小值. 21. (12 分) (2016 春?龙岩期末)已知函数 f(x)=e +ax﹣1(a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)记函数 f(x)的导数为 f′(x) ,证明:对任意 a∈R,给定 x1,x2 且 x1<x2 存在 x0∈ (x1,x2) ,使得 f′(x0)= .
x

[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?肇庆三模)如图所示,AB 为⊙O 的直径,BC、CD 为⊙O 的切线,B、 D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2)若⊙O 的半径为 1,求 AD?OC 的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016 春?龙岩期末)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系,已知曲线 C 的坐标方程为 ρ=2cosθ,直线 l 经过点 M(5, (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|MA|+|MB|的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016 春?龙岩期末)已知函数 f(x)=|x+a|﹣|x﹣2|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥2 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含[2,3],求实数 a 的取值范围. ) ,且倾斜角为 .

2015-2016 学年福建省龙岩市一级达标校高二(下)期末 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分) 1. (5 分) (2016 春?龙岩期末)复数 z=i(1﹣i) (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在 的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 【解答】解:复数 z=i(1﹣i)=i+1 在复平面内对应的点(1,1)所在的象限为第一象限. 故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题. 2. (5 分) (2016 春?龙岩期末)下列命题中的假命题是(
3



A.? x∈R,lgx=0 B.? x∈R,x >0 x 2 C.? x∈R,2 >0 D.? x∈R,x +2x﹣5=0 【分析】利用全称命题与特称命题的概念对 A、B、C、D 四个选项逐一判断即可. 【解答】解:对于 A,x=1 时,lg1=0,∴A 是真命题; 3 对于 B,x=﹣1 时, (﹣1) =﹣1<0,∴B 是假命题; x 对于 C,由指数函数的性质可知? x∈R,2 >0,∴C 是真命题; 对于 D,x +2x﹣5=0 解得 可知方程成立,∴D 是真命题. 故选:B. 【点评】本题考查全称命题与特称命题的概念及应用,考查了指数函数、二次函数、对数函 数的性质及应用,属于基础题. 3. (5 分) (2016 春?龙岩期末)有这样一段演绎推理:“对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1) 是增函数,而 y= x 是对数函数,所以 y= x 是增函数”.上面推理显然是错误的, 是因为( ) A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错导致结论错 【分析】对于对数函数来说,底数的范围不同,则函数的增减性不同,当 a>1 时,函数是 一个增函数,当 0<a<1 时,对数函数是一个减函数,对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)是 增函数这个大前提是错误的. 【解答】解:∵当 a>1 时,函数 y=logax(a>0 且 a≠1)是一个增函数, 当 0<a<1 时,此函数是一个减函数 ∴y=logax(a>0 且 a≠1)是增函数这个大前提是错误的, 从而导致结论错. 故选:A
2

【点评】本题考查演绎推理的基本方法,考查对数函数的单调性,是一个基础题,解题的关 键是理解函数的单调性,分析出大前提是错误的. 4. (5 分) (2016 春?龙岩期末) 下列函数中, 既是偶函数又在 ( 0, +∞) 上单调递增的是 ( A.y=2 B.y=
x



C.y=ln|x| D.y=cosx

【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可. 【解答】解:A.y=2 为增函数,关于 y 轴不对称不是偶函数, B.y= 是偶函数,则(0,+∞)上是减函数,
x

C.y=ln|x|是偶函数,当 x>0 时,y=lnx 是增函数,满足条件. D.y=cosx 是偶函数,则(0,+∞)上不单调性, 故选:C. 【点评】 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 要求熟练掌握常见函数单调性和奇偶性 的性质. 5. (5 分) (2016?广元三模)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 ﹣5,则输出的 y 值是( )

A.﹣1 B.1

C.2

D.

【分析】框图输入框中首先输入 x 的值为﹣5,然后判断|x|与 3 的大小,|x|>3,执行循环 体,|x|>3 不成立时跳出循环,执行运算 y= ,然后输出 y 的值. 【解答】解:输入 x 的值为﹣5, 判断|﹣5|>3 成立,执行 x=|﹣5﹣3|=8; 判断|8|>3 成立,执行 x=|8﹣3|=5; 判断|5|>3 成立,执行 x=|5﹣3|=2; 判断|2|>3 不成立,执行 y= . 所以输出的 y 值是﹣1. 故选 A.

【点评】本题考查了程序框图中的循环结构,考查了当型循环,当型循环是先判断后执行, 满足条件执行循环体,不满足条件时算法结束,此题是基础题. 6. (5 分) (2016 春?龙岩期末)若 a=2 ,b=log30.6,c=0.6 ,则( A.b>c>a B.a>b>c C.c>b>a D.a>c>b 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解.
0.6 0 0.6 2



【解答】解:∵a=2 >2 =1, b=log30.6<log31=0, 2 c=0.6 =0.36, ∴a>c>b. 故选:D. 【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对 数函数的单调性的合理运用. 7. (5 分) (2016 春?龙岩期末)下面使用类比推理正确的是( A.”loga(x?y)=logax+logay“类比推出“sin(x?y)=sinx+siny“ B.“(a+b)?c=ac+bc”类比推出“(a?b)?c=ac?bc” C.“(a+b)?c=ac+bc”类比推出“ = (c≠0)“ )

D.“(a?b)?c=a?(b?c)“类比推出“( ? )? = ?( ? )“ 【分析】四个命题,结论不正确,列举反例,正确命题给予证明即可. 【解答】解:对于 A,x=0,y=1,结论不成立; 对于 B, (a?b)?c=abc,结论不成立; 对于 C,利用分式的运算,可知结论成立; 对于 D,左边与 共线,右边与 共线,结论不成立; 故选:C. 【点评】类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .但类比推理的结论不一 定正确,还需要经过证明,我们在进行类比推理时,一定要注意对结论进行进一步的论证, 如果要证明一个结论是正确的,要经过严密的论证,但要证明一个结论是错误的,只需要举 出一个反例. 8. (5 分) (2016 春?龙岩期末)函数 y=e
x﹣sinx

的图象大致为(



A.

B.

C.

D. 【分析】先求出函数的导数,再根据导数大于或等于零,可得函数 y=e 递增,结合图象得出结论.
x﹣sinx x﹣sinx x﹣sinx

的在 R 上单调

【解答】解:由于函数 y=e ,它的导数 y′=e (1﹣cosx)≥0, x﹣sinx 故函数 y=e 的在 R 上单调递增, 故排除 B、C、D, 故选:A. 【点评】本题主要考查函数的图象,利用导数研究函数的单调性,属于基础题. 9. (5 分) (2016 春?龙岩期末)下列四个命题: 2 ①“x<2”是“x ﹣x<0”成立的必要不充分条件; 2 2 ②命题“? x∈R,x +5x=6”的否定是“? x0?R,x0 +5x0≠6”; 2 2 ③若 x>y,则 x >y ; ④若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中正确的命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】①根据充分条件和必要条件的定义进行判断, ②跟姐姐全称命题的否定是特称命题进行判断, ③根据不等式的关系进行判断, ④根据复合命题真假关系进行判断. 2 2 【解答】解:①由 x ﹣x<0 得 0<x<1,则“x<2”是“x ﹣x<0“成立的必要不充分条件,故 ①正确; 2 2 ②命题“? x∈R,x +5x=6”的否定是“? x0∈R,x0 +5x0≠6”,故②错误; 2 2 ③当 x=1,y=﹣1 时满足 x>y,则 x >y ;不成立,故③错误, ④若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题.正确, 故正确的是①④, 故选:B 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及充分条件和必要条件,含有量词的命题的否定 以及复合命题的真假关系,涉及知识点较多,但难度不大. 10. (5 分) (2016 春?龙岩期末)函数 y=loga(x ﹣ax+2)在区间[0,1]上是单调减函数, 则实数 a 的取值范围是( ) A.[2,+∞) B. (0,1) C.[2,3) D. (2,3)
2

【分析】先根据复合函数的单调性确定函数 g(x)=x ﹣ax+2 的单调性,进而分 a>1 和 0 <a<1 两种情况讨论,最后综合讨论结果,可得答案. 【解答】解:令 g(x)=x ﹣ax+2(a>0,且 a≠1) , ①当 a>1 时,g(x)在[0,1]上为减函数, ∴ ,
2

2

∴2≤a<3; ②当 0<a<1 时,g(x)在[0,1]上为减函数,此时不成立. 综上所述:2≤a<3. 故选:C 【点评】本题主要考查复合函数的单调性和对数函数的真数一定大于 0.属中档题. 11. (5 分) (2016 春?龙岩期末)若函数 f(x)=a+xlnx 有两个零点,则实数 a 的取值范围为 ( ) A.[0, ] B. (0, ) C. (0, ] D. (﹣ ,0) 【分析】求导 f′(x)=lnx+1,从而可得 f(x)在(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是 增函数,结合函数在定义域内的极限,可得函数 f(x)=a+xlnx 有两个零点时,实数 a 的取 值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=a+xlnx 有两个零点, ∴函数 f′(x)=lnx+1, 当 x∈(0, )时,f′(x)<0,函数为减函数; 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,函数为增函数; 故当 x= 时,函数取最小值 a﹣ , 又∵ f(x)=a, f(x)=+∞;

∴若使函数 f(x)有两个零点, 则 a>0 且 a﹣ <0, 即 a∈(0, ) , 故选:B 【点评】本题考查了导数法求函数的最小值,函数的零点,对数函数的图象和性质,属于中 档题 12. (5 分) (2016 春?龙岩期末)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≤0 时,f(x) =(x+2) e ,那么函数 f(x)的极值点的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】求导数确定函数的单调性,即可得出函数 f(x)的极值点的个数.
2 x﹣1

【解答】解:当 x≤0 时,f(x)=(x+2) e , x﹣1 ∴f′(x)=(x+4) (x+2)e , ∴x<﹣4 时,f′(x)>0,﹣4<x<﹣2 时,f′(x)<0,﹣2<x≤0 时,f′(x)>0, ∴x=﹣4,﹣2 是函数的极值点, ∵f(x)是定义域为 R 的偶函数, ∴x=2,4 是函数的极值点, 又 f(0)= ,x<0 递增,x>0 递减,即为极值点. 故选:D. 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的极值点,考查学生分析解决问题的能力,确 定函数的单调性是关键. 二、填空题(每题 5 分) 13. (5 分) (2016 春?龙岩期末)函数 f(x)= +lnx 的定义域为(0,2) .

2 x﹣1

【分析】解:根据函数 f(x)的解析式,列出使函数解析式有意义的不等式组,求出解集 即可. 【解答】解:∵函数 f(x)= +lnx,





解得 0<x<2; ∴函数 f(x)的定义域为(0,2) . 故答案为: (0,2) . 【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题,是基础题目. 14. (5 分) (2016 春?龙岩期末)函数 f(x)=2lnx﹣ax 在点(1,f(1) )处的切线与直线 x+6y=0 垂直,则实数 a=﹣4. 【分析】先根据两直线垂直的条件求出函数 f(x)=2lnx﹣ax 在点(1,f(1) )处的切线的 斜率 k,接着求出函数 f(x)=2lnx﹣ax 的导数 f′(x) ,令导数中 x=1,则 f′(1)=k,求出 a 的值. 【解答】解:∵函数 f(x)=2lnx﹣ax 在点(1,f(1) )处的切线与直线 x+6y=0 垂直, 直线 x+6y=0 的斜率为 ,

∴函数 f(x)=2lnx﹣ax 在点(1,f(1) )处的切线的斜率 k=6, ∵函数 f(x)=2lnx﹣ax 的导函数为 f′(x)= 令 x=1,则 2﹣a=6, ∴a=﹣4. 故答案为:﹣4. ,

【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查了两直线垂直的条件:斜率之 积为﹣1,考查运算能力,属于基础题. 15. (5 分) (2016 春?龙岩期末)观察下列算式: 1 =1 3 2 =3+5 3 3 =7+9+11 3 4 =13+15+17+19 … 若某数 m 按上述规律展开后,发现等式右边含有”2661“这个数,则 m=52. 3 【分析】可得规律:第 n 行的左边是 n ,右边是 n 个连续奇数的和,设第 n 行的第一个数 为 an,累加可得 an,计算可得 a52=2653,a53=2757,可知 2661 在第 52 行. 3 【解答】解:由题意可得第 n 行的左边是 n ,右边是 n 个连续奇数的和, 设第 n 行的第一个数为 an,则有 a2﹣a1=3﹣1=2, a3﹣a2=7﹣3=4,…an﹣an﹣1=2(n﹣1) , 以上(n﹣1)个式子相加可得 an﹣a1=
2 3 3

=n ﹣n,

2

故 an=n ﹣n+1,可得 a52=2653,a53=2757, 故可知 2661 在第 52 行, 故答案为:52. 【点评】本题考查归纳推理,涉及累加法求数列的通项公式,属基础题. 16. (5 分) (2016 春?龙岩期末)给出下列三个命题: ①若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程是 =1.23x+0.08; ②若偶函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=f(x) ,且 x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程 f(x) =log3|x|有 3 个根; ③函数 f(x)=( ) ﹣sinx﹣1 在(0,+∞)内有且只有一个零点; ④已知函数 f(x)=ax﹣lnx,且 f(x1)=f(x2)=0,则 >e.
x

正确命题的序号是①③④(把你认为正确命题的序号都填上) 【分析】①利用回归直线方程的定义和性质进行求解. ②根据函数奇偶性和周期性的关系,作出两个函数的图象,利用数形结合进行判断, ③利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题进行判断, ④根据基本不等式的关系转化为证明 x1?x2>e 即可证明
2

>e 成立.

【解答】解:①若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方 程是 y﹣5=1.23(x﹣4) ,即 =1.23x+0.08;故①正确,

②若偶函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=f(x) ,且 x∈[0,1]时,f(x)=x, 作出函数 f(x)和 g(x)=log3|x|的图象, ∵f(3)=f(1)=1,g(3)=1,

∴方程 f(x)=log3|x|有 4 个根;故②错误,

③函数 f(x)=( ) ﹣sinx﹣1=0 得( ) =sinx+1, 作出两个函数 y=( ) 和 y=sinx+1 在(0,+∞)内的图象,由图象知两个函数只有一个交 点, 即函数 f(x)有且只有一个零点;故③正确,
x

x

x

④设 x1>x2>0, 则 则当 > ,
2

>e,即 x1?x2>e 时,
2



>e 成立,

下证明,x1?x2>e 成立 设 x1>x2>0, ∵f(x1)=0,f(x2)=0, ∴lnx1﹣ax1=0,lnx2﹣ax2=0, ∴lnx1﹣lnx2=a(x1﹣x2) ,lnx1+lnx2=a(x1+x2) 2 原不等式 x1?x2>e 等价于 lnx1+lnx2>2?a(x1+x2)>2, ? > ?ln > ,



=t,则 t>1,

∴ln



?lnt>



设 g(t)=lnt﹣

, (t>1) ,

∴g′(t)=

>0,

∴函数 g(t)在(1,+∞)是递增, ∴g(t)>g(1)=0 即不等式 lnt> 故所证不等式 x1?x2>e 成立.则
2

成立, > >e 成立,故④正确,

故答案为:①③④ 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强,难度极大,考查 学生的运算和转化能力. 三、解答题 2 17. (12 分) (2016 春?龙岩期末)已知全集 U=R,非空集合 A={x|x ﹣5x+6<0},B={x||x ﹣a|<3}. (1)当 a=2 时,求(?UA)∩B; (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)求出集合 A,B 的等价条件,结合集合的基本运算进行求解. (2)根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系建立不等式关系进行求解即可. 2 【解答】解:由 x ﹣5x+6<0 可得 2<x<3,即 A=(2,3) , 由|x﹣a|<3 可得 a﹣3<x<a+3,即 B=(a﹣3,a+3)…3 分 (Ⅰ)当 a=2 时 B=(﹣1,5) ,?UA=(﹣∞,2]∪[3,+∞) …5 分 则(?UA)∩B=(﹣1,2]∪[3,5)…6 分 (Ⅱ)若 p 是 q 的充分条件,则 A? B,…7 分 则 …10 分

∴0≤a≤5 …12 分. 【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用,比较基础. 18. (12 分) (2016 春?龙岩期末)淘宝卖家为了解喜爱网购是否与性别有关,对买家 100 人进行了问卷调查得到了如表的列联表: 喜爱网购 不喜爱网购 合计 a=20 b 女 c d=10 男 100 合计 已知在全部 100 人中随机抽取 1 人抽到不爱网购的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.9%的把握认为喜爱网购与性别有关,请说明理由. 参考公式:K
2=

,其中 n=a+b+c+d.

P=(K ≥ x0) x0

2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

【分析】 (1)根据部 100 人中随机抽取 1 人抽到不爱网购的概率为 ,可得不喜爱网购人数 100× =40,从而可得列联表; (2)利用列联表,计算 K ,与临界值比较,可得结论. 【解答】解: (1)∵全部 100 人中随机抽取 1 人抽到不爱网购的概率为 . ∴不喜爱网购人数 100× =40 列联表补充如下: 女 男 合计 …6 分
2 2

…2 分

喜爱网购 20 40 60

不喜爱网购 30 10 40

合计 50 50 100

(2)∵K 的观测值 K =

2

≈16.67>10.828…10 分

∴有 99.9%的把握认为喜爱网购与性别有关. …12 分. 【点评】本题考查概率与统计知识,考查学生的计算能力,属于中档题. 19. (12 分) (2016 春?龙岩期末)已知 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数,g(x)=λf (x) . (1)求实数 a 的值; (2)若 g(x)≤x +2x+4 在 x∈(0,+∞)时恒成立,求 λ 的取值范围. x 【分析】 (1)由 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数,可得 f(0)=0,进而得到 a 值; (2)若 g(x)≤x +2x+4 在 x∈(0,+∞)时恒成立,则 λ≤ 不等式可得答案. x 【解答】解: (1)∵f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=ln(1+a)=0. ∴a=0,…4 分 经检验 a=0 符合题意; …5 分 x (2)由(1)得:f(x)=lne =x, ∴g(x)=λf(x)=λx …6 分 2 ∵g(x)≤x +2x+4 在 x∈(0,+∞)时恒成立 ∴λ≤ =x+ +2≥6…10 分
2 2 x

=x+ +2,结合基本

(当且仅当 x= ,即 x=2 取得最小值)…11 分 ∴λ≤6 …12 分.

【点评】 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质, 恒成立问题, 基本不等式, 难度中档.

20. (12 分) (2016 春?龙岩期末)已知函数 f(x)=

﹣ax.

(1)若 x=1 是函数 f(x)的极值点,求 a 的值; (2)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间[0,1]上的最小值. 【分析】 (1)求出函数的导数,根据 f′(1)=0,求出 a 的值,检验即可; (2)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值 即可. 2 【解答】解: (1)f′(x)=x ﹣a, ∵x=1 是函数 f(x)的极值点, ∴f′(1)=1﹣a=0,解得:a=1, 经检验符合题意, ∴a=1; (2)由 f(x)= ﹣ax,得:f′(x)=x ﹣a,
2

当 0<a<1 时,令 f′(x)=0,解得:x= , 列表如下: x 0 (0, ) 0 f′(x) ﹣ f(x) 0 ↘ ﹣

( + ↗ ,

,1)

1 ﹣a

由表可知,当 x=

时,f(x)取得最小值为:﹣

当 a≥1 时,f′(x)≤0 在[0,1]恒成立,f(x)在[0,1]上是减函数, 故当 x=1 时,f(x)取得最小值为 ﹣a,

综上所述:f(x)min=



【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题. 21. (12 分) (2016 春?龙岩期末)已知函数 f(x)=e +ax﹣1(a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)记函数 f(x)的导数为 f′(x) ,证明:对任意 a∈R,给定 x1,x2 且 x1<x2 存在 x0∈ (x1,x2) ,使得 f′(x0)= .
x

【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,判断函数的单调性,从而求出函数的单 调区间即可;

(2)求出 f(x)的导数,令 g(x)=f′(x)﹣

,根据函数的单调性求出

g(x)在(x1,x2)单调递增且连续,g(x1 )g(x2)<0,从而得到结论. x x 【解答】解: (1)由 f(x)=e +ax﹣1,则 f′(x)=e +a 当 a≥0 时,对? x∈R,有 f′(x)>0,所以函数 f(x)在区间 R 上单调递增; 当 a<0 时,由 f′(x)>0,得 x>ln(﹣a) ;由 f′(x)<0,得 x<ln(﹣a) , 此时函数 f(x)的单调增区间为(ln(﹣a) ,+∞) ,单调减区间为(﹣∞,ln(﹣a) ) . 综上所述,当 a≥0 时,函数 f(x)的单调增区间为 R; 当 a<0 时,函数 f(x)的单调增区间为(ln(﹣a) ,+∞) ,单调减区间为(﹣∞,ln(﹣a) ) ; x x (2)证明:由 f(x)=e +ax﹣1,则 f′(x)=e +a, = +a,

令 g(x)=f′(x)﹣

=e +a+

x

+a=

[(x2﹣x1)e ﹣(

x



)],

可知函数 g(x)是单调递增函数, g(x1)═ [(x2﹣x1) ﹣( ﹣ )]= [(x2﹣x1+1) ﹣ ],

h(x)=(x2﹣x+1)e ﹣

x

,h′(x)=e (x2﹣x) ,

x

当 x<x2 时,h′(x)>0,即 x<x2,h(x)单调递增 h(x1)<h(x2) ,∵ >0,从而可知 g(x1)<0,

g(x2)═

[(x2﹣x1﹣1)

+

],

令 h1(x)=(x﹣x1﹣1)e +

x

,h1′(x)=(x﹣x1)e ,

x

当 x>x1 时,h1′(x)>0 即 x>x1,h(x)单调递增, ∴h1(x2)=(x2﹣x1﹣1) ∵ + >,h1(x1)=(x1﹣x1﹣1) + =0,

>0,从而可知 g(x2)<0,

g(x)在(x1,x2)单调递增且连续,g(x1 )g(x2)<0, 存在 x0∈(x1,x2) ,使得 f′(x0)= .

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道 综合题. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?肇庆三模)如图所示,AB 为⊙O 的直径,BC、CD 为⊙O 的切线,B、 D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2)若⊙O 的半径为 1,求 AD?OC 的值.

【分析】 (1)要证明 AD∥OC,我们要根据直线平行的判定定理,观察已知条件及图形, 我们可以连接 OD,构造出内错角,只要证明∠1=∠3 即可得证. (2)因为⊙O 的半径为 1,而其它线段长均为给出,故要想求 AD?OC 的值,我们要将其 转化用半径相等或相关的线段积的形式, 结合 (1) 的结论, 我们易证明 Rt△BAD∽Rt△ODC, 根据相似三角形性质,不们不难得到转化的思路. 【解答】解: (1)如图,连接 BD、OD. ∵CB、CD 是⊙O 的两条切线, ∴BD⊥OC, ∴∠2+∠3=90° 又 AB 为⊙O 直径, ∴AD⊥DB, ∠1+∠2=90°, ∴∠1=∠3, ∴AD∥OC; (2)AO=OD, 则∠1=∠A=∠3, ∴Rt△BAD∽Rt△ODC, AD?OC=AB?OD=2.

【点评】根据求证的结论,使用分析推敲证明过程中所需要的条件,进而分析添加辅助线的 方法,是平面几何证明必须掌握的技能,大家一定要熟练掌握,而在(2)中根据已知条件 分析转化的方向也是解题的主要思想.解决就是寻找解题的思路,由已知出发,找寻转化方 向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016 春?龙岩期末)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系,已知曲线 C 的坐标方程为 ρ=2cosθ,直线 l 经过点 M(5, (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|MA|+|MB|的值. 【分析】 (1)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x +y =ρ ,代入曲线 C 的极坐标方程,即可得到所求直 角坐标方程;运用直线的参数方程: (t 为参数) ,可得所求;
2 2 2

) ,且倾斜角为



(2)将直线的参数方程,代入曲线 C 的直角坐标方程,化简整理,运用韦达定理,即可得 到所求和. 2 2 2 【解答】解: (1)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x +y =ρ , 2 ρ=2cosθ 得 ρ =2ρcosθ, 2 2 2 2 即为 x +y =2x 即(x﹣1) +y =1; 又因为直线 l 过点 M(5, ) ,且倾斜角为 ,

可得直线 l 的参数方程为



即为

(t 为参数) ;

(2)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2, 2 2 将直线 l 的参数方程代入圆的直角坐标方程(x﹣1) +y =1, 得(4+
2

t) +(

2

+ t) =1,

2

化简得 t +5 t+18=0, 即有 t1+t2=﹣5 ,t1t2=18, 可得|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=5 . 【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的求法,同时考 查直线参数方程的运用,考查运算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016 春?龙岩期末)已知函数 f(x)=|x+a|﹣|x﹣2|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥2 的解集; (2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含[2,3],求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)运用分段函数求得 f(x)的解析式,由 f(x)≥2,即有 解不等式即可得到所求解集; 或 x≥2,

(2)由题意可得|x+a|≤4﹣x+x﹣2=2 在[2,3]恒成立.则﹣2≤x+a≤2 在[2,3]恒成立.即 有﹣x﹣2≤a≤﹣x+2 在[2,3]恒成立.求得不等式两边的最值,即可得到 a 的范围. 【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|

=



由 f(x)≥2,即有

或 x≥2,

可得 ≤x<2 或 x≥2, 即为 x≥ . 故不等式 f(x)≥2 的解集{x|x≥ }; (2)f(x)≤|x﹣4|的解集包含[2,3], 即为|x+a|≤|x﹣4|+|x﹣2|在[2,3]恒成立, 即有|x+a|≤4﹣x+x﹣2=2 在[2,3]恒成立. 则﹣2≤x+a≤2 在[2,3]恒成立. 即有﹣x﹣2≤a≤﹣x+2 在[2,3]恒成立. 由﹣x﹣2 的最大值为﹣4,﹣x+2 的最小值为﹣1. 故﹣4≤a≤﹣1. 则实数 a 的取值范围是[﹣4,﹣1]. 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,注意运用绝对值的意义,考查不等式恒成立问题的 解法,注意运用参数分离和转化思想,求函数的最值,考查运算能力,属于中档题.


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