湖南师范大学附属中学2016


湖南师大附中 2016-2017 学年度高一第一学期期末考试 数
得分:____________ 第Ⅰ卷(满分 100 分) 一、选择题:本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 55 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.



时量:120 分钟 满分:150 分

1.已知两点 A(a,3),B(1,-2),若直线 AB 的倾斜角为 135°,则 a 的值为 A.6 B.-6 C.4 D.-4 2.对于给定的直线 l 和平面 a,在平面 a 内总存在直 线 m 与直线 l A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面 3.已知直线 l1:2x+3my-m+2=0 和 l2:mx+6y-4=0,若 l1∥l2,则 l1 与 l2 之间的 距离为 5 10 2 5 2 10 A. B. C. D. 5 5 5 5 4.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=2,PB= 3,PC =3,则这个三棱锥的外接球的表面积为 A.16π B.32π C.36π D.64π 2 2 2 2 5.圆 C1:x +y -4x-6y+12=0 与圆 C2:x +y -8x-6y+16=0 的位置关系是 A.内含 B.相交 C.内切 D.外切 6.设 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,则下列命题中正确的是 A.若 m∥n,m? β ,则 n∥β B.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n C.若 m⊥β ,α ⊥β ,则 m∥α D.若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β 7.在空间直角坐标系 O-xyz 中,一个四面体的四个顶点坐标分别为 A(0,0,2),B(2, 2,0),C(0,2,0),D(2,2,2),画该四面体三视图中的正视图时,以 xOz 平面为投影面, 则四面体 ABCD 的正视图为

8.若点 P(3,1)为圆(x-2) +y =16 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为 A.x-3y=0 B.2x-y-5=0 C.x+y-4=0 D.x-2y-1=0 9. 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形, ∠BAD=60°, 侧面 PAD 为正三角形, 且平面 PAD⊥ 平面 ABCD,则下列说法中错误的是 A.异面直线 PA 与 BC 的夹角为 60° B.若 M 为 AD 的中点,则 AD⊥平面 PMB C.二面角 P-BC-A 的大小为 45° D.BD⊥平面 PAC 2 2 10.已知直线 l 过点 P(2,4),且与圆 O:x +y =4 相切,则直线 l 的方程为 A.x=2 或 3x-4y+10=0 B.x=2 或 x+2y-10=0 C.y=4 或 3x-4y+10=0 D.y=4 或 x+2y-10=0 11.在直角梯形 BCEF 中,∠CBF=∠BCE=90°,A、D 分别是 BF、CE 上的,AD∥BC,且 AB=DE=2BC=2AF,如图 1.将四边形 ADEF 沿 AD 折起,连结 BE、BF、CE,如图 2.则在折起
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的过程中,下列说法中错误的是

A.AC∥平面 BEF B.直线 BC 与 EF 是异面直线 C.若 EF⊥CF,则平面 ADEF⊥平面 ABCD D.平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直
答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答 案 二、填空题:本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分. 2 2 12.若直线 l:x-y+1=0 与圆 C:(x-a) +y =2 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ____________. 13.已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径,记圆柱的体积为 V1,球的体积 V1 为 V2,则 =________. V2 14.已知三棱锥 P-ABC 的体积为 10,其三视图如图所示,则这个三棱锥最长的一条侧 棱长等于________.

三、解答题:本大题共 3 个小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 8 分) 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,0),B(4,6),C(0,8). (1)求 BC 边上的高所在直线 l 的方程; (2)求△ABC 的面积.

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16.(本小题满分 10 分) 已知圆 C 经过 A(-2,1),B(5,0)两点,且圆心 C 在直线 y=2x 上. (1) 求圆 C 的标准方程; (2)设动直线 l:(m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求|PQ|的最小 值.

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17.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1,D 为 BC 的中点. (1)证明:A1B⊥平面 AB1C; (2)求直线 A1D 与平面 AB1C 所成的角的大小.

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第Ⅱ卷(满分 50 分) 一、本大题共 2 个小题,每小题 6 分,共 12 分. ? 2 ? 2 18.已知集合 M=?x| <1?,N={y|y=lg(x +1)},则 N∩?RM=______. ? x ? 19.已知函数 f(x)在定义域 R 上单调递减,且函数 y=f(x-1)的图象关于点 A(1,0) t-1 2 对称.若实数 t 满足 f(t -2t)+f(-3)>0,则 的取值范围是( ) t-3 1? ?1 ? ? A.? ,+∞? B.?-∞, ? 2? ?2 ? ? ? 2? ?1 ? C.?0, ? D.? ,1?∪(1,+∞) ? 3? ?2 ? 二、本大题共 3 个大题,共 38 分.

20.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC, 侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 P AC?若存在, 求 SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由.

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21.(本小题满分 13 分) f(x) 2 设函数 f(x)=mx -mx-1,g(x)= . x-1 (1)若对任意 x∈[1,3],不等式 f(x)<5-m 恒成立,求实数 m 的取值范围; 1 (2)当 m=- 时,确定函数 g(x)在区间(3,+∞)上的单调性. 4

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22.(本小题满分 13 分) 2 2 已知圆 C:(x-a) +(y-a-2) =9,其中 a 为实常数. (1)若直线 l:x+y-4=0 被圆 C 截得的弦长为 2,求 a 的值; (2)设点 A(3,0),O 为坐标原点,若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求 a 的取值范围.

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湖南师大附中 2016-2017 学年度高一第一学期期末 考试数学参考答案-(这是边文,请 据需要手工删加) 湖南师大附中 2016-2017 学年度高一第一学期期末考试 数学参考答案 第Ⅰ卷(满分 100 分) 一、选择题:本大题共 11 小题,每小题 5 分,共 55 分. 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答 案 D C B A C D B C D A D 二、填空题:本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分. 3 12.[-3,1] 13. 14. 34 2 三、解答题:本大题共 3 个小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 8-6 1 15. 【解析】(1)因为点 B(4,6),C(0,8),则 kBC= =- .(1 分) 0-4 2 因为 l⊥BC,则 l 的斜率为 2.(2 分) 又直线 l 过点 A,所以直线 l 的方程为 y=2(x-3),即 2x-y-6=0.(4 分) (2)因为点 A(3,0),C(0,8),则|AC|= 9+64= 73.(5 分) x y 又直线 AC 的方程为 + =1,即 8x+3y-24=0,(6 分) 3 8 32+18-24 26 则点 B 到直线 AC 的距离 d= = .(7 分) 64+9 73 1 所以△ABC 的面积 S= |AC|×d=13. (8 分) 2 1 ?3 1? 16. 【解析】(1)方法一:因为线段 AB 的中点为? , ?,kAB=- ,则线段 AB 的垂直平分 2 2 7 ? ? 1 ? 3? 线方程为 y- =7?x- ?,即 y=7x-10. (2 分) 2 ? 2? 联立 y=2x,得 x=2,y=4.所以圆心 C(2,4), 半径 r=|AC|= 16+9=5.(4 分) 2 2 所以圆 C 的标准方程是(x-2) +( y-4) =25.(5 分) 2 2 方法二:设圆 C 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,则 ?-2D+E+F+5=0,

? ?5D+F+25=0, ? ?E=2D,

解得 D=-4,E=-8,F=-5.(3 分)
2 2

所以圆 C 的方程是 x +y -4x-8y-5=0, 2 2 即(x-2) +(y-4) =25.(5 分) (2)直线 l 的方程化为(2x+y-8)+m(x+2y-7)=0. ?2x+y-8=0, ? ?x=3, ? 令? 得? 所以直线 l 过定点 M(3,2).(7 分) ?x+2y-7=0, ? ?y=2, ? 由圆的几何性质可知,当 l⊥CM 时,弦长|PQ|最短. 2 2 因为|CM|= (3-2) +(2-4) = 5, 2 2 则|PQ|min=2 r -|CM| =2 25-5=4 5.(10 分) 17. 【解析】(1)因为 A1A⊥平面 ABC,则 A1A⊥AC. 又 AC⊥AB,则 AC⊥平面 A A1B1B,所以 AC⊥A1B.(3 分) 由已知,侧面 AA1B1B 是正方形,则 AB1⊥A1B. 因为 AB1∩AC=A,所以 A1B⊥平面 AB1C.(5 分)
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(2)方法一:连结 A1C,设 AB1∩A1B=O,连 CO,交 A1D 于 G. 因为 O 为 A1B 的中点,D 为 BC 的中点,则 G 为△A1BC 的重心. 因为 A1O⊥平面 AB1C,则∠A1GO 是 A1D 与平面 AB1C 所成的角.(8 分) 设 AB=AC=AA1=1,则 A1B=BC=A1C= 2. 2 2 2 6 得 A1O= ,A1G= A1D= × 2sin 60°= . 2 3 3 3 A1O 3 = ,则∠A1GO=60°. A1G 2 所以直线 A1D 与平面 AB1C 所成的角为 60°.(12 分) 在 Rt△A1OG 中,sin∠A1GO=

方法二:分别取 AB,B1B 的中点 E,F,连 DE,EF,DF, 则 ED∥AC,EF∥AB1, 所以平面 DEF∥平面 AB1C. 因为 A1B⊥平面 AB1C,则 A1B⊥平面 DEF. 设 A1 B 与 EF 的交点为 G,连 DG, 则∠A1DG 是直线 A1D 与平面 DEF 所成的角. (8 分) 设 AB=AC=AA1=1,则 A1B=BC=A1C= 2. 3 3 2 6 得 A1G= A1B= ,A1D= 2sin 60°= . 4 4 2 A1G 3 = ,则∠A1DG=60°. A1D 2 所以直线 A1D 与平面 AB1C 所成的角 为 60°. (12 分) 第Ⅱ卷(满分 50 分) 一、本大题共 2 个小题,每小题 6 分,共 12 分. 18.[0,2] 【解析】M=(-∞,0)∪(2,+∞),N=[0,+∞),所以 N∩?RM=[0,2]. 19.B 【解析】因为 y=f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称,则 y=f(x)的图象关于原 点对称,即 f(x)为奇函数. 2 2 由 f(t -2t)+f(-3)>0,得 f(t -2t)>-f(-3)=f(3), 因为 f(x)在 R 上是减函数, 2 2 则 t -2t<3,即 t -2t-3<0,得-1<t<3. t-1 2 t-1 1 因为 y= =1+ 在区间(-1,3)上是减函数,则 < ,选 B. t-3 t-3 t-3 2 二、本大题共 3 个大题,共 38 分. 在 Rt△A1GD 中,sin∠A1DG=

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20. 【解析】(1)连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,连接 SO, 由题意得 SO⊥AC, 又因为正方形 ABCD 中,AC⊥BD, 所以 AC⊥平面 SBD, ∵SD? 平面 SBD,所以 AC⊥SD. (6 分) (2)在棱 SC 上存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC. 设正方形边长为 a,则 SD= 2a. 2a 由 SD⊥平面 PAC 得 PD= , 4 故可在 SP 上取一点 N,使 PN=PD. 过点 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点为 E,连接 BN, 在△BDN 中,易得 BN∥PO,又因为 NE∥PC, 所以平面 BEN∥平面 PAC,所以 BE∥平面 PAC. 因为 SN∶NP=2∶1,所以 SE∶EC=2∶1. (12 分) 2 2 21. 【解析】(1)由 f(x)<5-m,得 mx -mx-1<5-m,即 m(x -x+1)<6. 2 6 ? 1? 3 2 因为 x -x+1=?x- ? + >0,则 m< 2 .(3 分) x -x+1 ? 2? 4 6 设 h(x)= 2 ,则当 x∈[1,3]时,m<h(x)恒成立. x -x+1 2 因为 y=x -x+1 在区间[1,3]上是增函数,则 h(x)在区间[1,3]上是减函数,h(x)min 6 =h(3)= . 7 6? ? 所以 m 的取值范围是?-∞, ?. (6 分) 7? ? 1 (2)因为 f(x)=mx(x-1)-1,则 g(x)=mx- . x -1 1 ? 1 ?x 当 m=- 时,g(x)=-? + ?.(7 分) 4 ?4 x-1? 1 ? ? x1 1 ? ?x2 设 x1>x2>3,则 g(x1)-g(x2)=? + -? + ? ?= ? 4 x2-1? ? 4 x1-1? x2 x1 1 1 x2-x1 x1-x2 - + - = + = 4 4 x2-1 x1-1 4 (x1-1)(x2-1) 1 1 ? - ? (x1-x2)? ?.(10 分) ?(x1-1)(x2-1) 4? 因为 x1-1>x2-1>2,则(x1-1)(x2-1)>4, 1 1 得 < ,又 x1-x2>0,则 g(x1)-g(x2)<0, (x1-1)(x2-1) 4 即 g(x1)<g(x2),所以 g(x)在区间(3,+∞)上是减函数.(13 分) 22. 【解析】(1)由圆方程知,圆 C 的圆心为 C(a,a+2),半径为 3.(2 分) 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2,则 2 d +1=9,即 d=2 2.(4 分)

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|a+(a+2)-4| 所以 =2 2,即|a-1|=2,所以 a=-1 或 a=3.(6 分) 2 (2)设点 M(x,y),由|MA|=2|MO|,得 (x-3) +y =2 x +y ,即 x +y +2x-3= 0. 所以点 M 在圆 D:(x+1) +y =4 上.其圆心为 D(-1,0),半径为 2.(8 分) 因为点 M 在圆 C 上,则圆 C 与圆 D 有公共点,即 1≤|CD|≤5.(9 分) 2 ?a +3a+2≥0, ? 2 2 所以 1≤ (a+1) +(a+2) ≤5,即? 2 ?a +3a-10≤0, ? ? ?(a+2)(a+1)≥0, 即? (11 分) ?(a-2)(a+5)≤0, ? ? ?a≤-2或a≥-1, 解得? 即-5≤a≤-2 或-1≤a≤2. ?-5≤a≤2, ? 故 a 的取值范围是[-5,-2]∪[-1,2].(13 分)
2 2 2 2 2 2 2 2

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