山东省冠县武训高级中学高考数学 2.4 二次函数与幂函数复习题库


山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库: 2.4 二次函数与幂函数
一、选择题
4

1. 幂函数 y ? x 3 的图象是(



答案 A 2.已知幂函数 f ( x) 的图象经过点(2,4),则 f ( x) 的解析式为( A. f ( x) ? 2 x B. f ( x) ? x
2

)

C. f ( x) ? 2

x

D. f ( x) ? x ? 2

答案 B
?2 ,x≤2, ? 3.设 f(x)=? ? ?log2? x-1? ,x>2,
x-2

则 f(f(5))=( C.-2

). D.2

A.-1

B.1
x-2

? ?2 ,x≤2, 解析 由于函数 f(x)=? ?log2? x-1? ,x>2, ?

所以 f(f( 5))=f[log2(5-1)]=f(2)=

2

2-2

=1.

答案 B 4.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,那么 2x+3y 的最小 值为( A.2 3 B. 4 C. 2 3
2

). D.0

解析 由 x≥0,y≥0

x=1-2y≥0 知 0≤y≤

1 2

t=2x+3y2=2-4y+3y2=3?y- ?2+ 3

? ?

2?

?

2 3

1 3 ? 1? 在?0, ?上递减,当 y= 时,t 取到最小值,tmin= . 2? 2 4 ?

1

答案 B 5.二次函数 f(x)=x -ax+4,若 f(x+1)是偶函数,则实数 a 的值为( A.-1 C.-2
2 2

)

B.1 D.2
2

解析:由题意 f(x+1)=(x+1) -a(x+1)+4=x +(2-a)x+5-a 为偶函数, 所以 2-a=0,a=2. 答案:D
5 6.设 a ? ),b ? ( 5 ( ) c ? ) ,则 a,b,c 的大小关系是( , ( 5

3 5

2

2 5

3

2 5

2



A.a>c>b

B.a>b>c

C.c>a>b

D.b> c>a

答案:A 7 .函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象关于直线 x=- 对称.据此可推测,对任意的非 2a 零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m[f(x)] +nf(x)+p=0 的解集都不可能是( A.{1,2} C.{1,2,3,4}
2 2 2

b

).

B.{1,4} D.{1,4,16,64}

解析 设关于 f(x)的方程 m[f(x)] +nf(x)+p=0 有两根,即 f(x)=t1 或 f(x)=t2. 而 f(x)=ax +bx+c 的图象关于 x=- 对称,因而 f(x)=t1 或 f(x)=t2 的两根也关于 x 2a
2

b

b 4+16 1+64 =- 对称.而选项 D 中 ≠ . 2a 2 2
答案 D 二、填空题 8.已知(0.7 ) <(1.3 ) ,则实数 m 的取值范围是_______ _.
1.3 m 0.7 m

解析:∵0<0.7 <0.7 =1,1.3 >1.3 =1, ∴0.7 <1.3 .而(0.7 ) <(1.3 ) , ∴幂函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增,故 m>0. 答案:(0,+∞) 9.若函数 y=mx +x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是________.
2 1.3 0.7 1.3 m 0.7 m

1.3

0

0.7

0

m

?m>0 ? 解析 由已知条件当 m=0,或? 1 ?-2m≤-2 ?

时,函数 y=mx +x+5 在[-2,+∞)上是

2

2

1 增函数,解得 0≤m≤ . 4

? 1? 答案 ?0, ? ? 4?
10.若方程 x +(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间, 则实数 k 的取值范围是________.
2

?f? 0? >0,? ? 解析:设 f(x)=x +(k-2)x+2k-1,由题意知?f? 1? <0,? ?f? 2? >0, ?
2



?2k-1>0,? ? ?3k-2<0,? ?4k-1>0, ?
1 2 答案:( , ) 2 3

1 2 解得 <k< . 2 3

1? ? 11.已知点( 2,2)在幂函数 y=f(x)的图象上,点?- 2, ?在幂函数 y=g(x)的图象上, 2? ? 若 f(x)=g(x),则 x=________. 1 α α β β 解析 由题意, y=f(x)=x , 2=( 2) , α =2, y=g(x)=x , =(- 2) , 设 则 得 设 则 2 得 β =-2,由 f(x)=g(x),即 x =x ,解得 x=±1. 答案 ±1
2 -2

?2,x≥2, ? 12.已知函数 f(x)=?x ?? x-1? 3,x<2. ?
则实数 k 的取值范围是________. 解析 作出函数 y=f(x)的图象如图.

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,

则当 0<k<1 时,关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根.

答案 (0,1) 三、解答题

3

2 7 m 13.已知函数 f(x)= -x 且 f(4)=- , x 2 (1)求 m 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 2 7 m m 解析:(1)f(4)= -4 =- ,∴4 =4. 4 2 2 ∴m=1.故 f(x)= -x.

x

(2)由(1)知,f(x)=2·x -x, 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且为奇函数, 又 y=x ,y=-x 均为减函数, 故在(-∞,0),(0,+∞)上 f(x)均 为减函数. ∴f(x)的单调减区间为(-∞,0),(0,+∞). 14.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3},方程 f(x)+ 6a=0 有两相等实根,求 f(x)的解析式. 解 设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0), 则 f(x)=ax -4ax+3a-2x,
2 -1

-1

f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a,Δ =(4a+2)2-36a2=0
16a +16a+4-36a =0,20a -16a-4=0 5a -4a-1=0,(5a+1)(a-1)=0, 1 解得 a=- ,或 a =1 舍去 5 1 因此 f(x)的解析 式为 f(x)=- (x-1)(x-3). 5 15.已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和-2,且 f(x)最小值是-1,函数 g(x)与 f(x)的图象 关于原点对称. (1)求 f(x)和 g(x)的解析式; (2)若 h(x )=f(x)-λ g(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 解析:(1)依 题意,设 f(x)=ax(x+2)=ax +2ax(a>0). ∵f(x)图象的对称轴是 x=-1, ∴f(-1)=-1,即 a-2a=-1,得 a=1. ∴f(x)=x +2x. 又∵函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称, ∴g(x)=-f(-x)=-x +2x. (2)由(1)得 h(x)=x +2x-λ (-x +2x)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

=(λ +1)x +2(1-λ )x. ①当 λ =-1 时,h(x)=4x 满足在区间[-1,1]上是增函数; λ -1 ②当 λ <-1 时,h(x)图象对称轴是 x= , λ +1 λ -1 则 ≥1,又 λ <-1,解得 λ <-1; λ +1 λ -1 ③当 λ >-1 时,同理则需 ≤-1, λ +1 又 λ >-1,解得-1<λ ≤0. 综上,满足条件的实数 λ 的取值范围是(-∞,0].

2

16.设函数 f(x)=ax -2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0,求实数 a 的取值 范围. 2x-2 2 解 不等式 ax -2x+2>0 等价于 a> 2 ,

2

x

2x-2 设 g(x)= 2 ,x∈(1,4),则

x

2x -? g′(x)=
2

2

2x-2? 2x

x4 x

-2x +4x -2x? x-2? = = , 4 4

x

当 1<x<2 时,g′(x)>0,当 2<x<4 时,g′(x)<0,

g(x)≤g(2)= ,
1 由已知条件 a> , 2

1 2

?1 ? 因此实数 a 的取值范围是? ,+∞?. 2 ? ?

5


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