福建省厦门市2014-2015学年高二上学期期末考试数学理试题(WORD版)


厦门市 2014-2015 学年第一学期高二质量检测 数学(理科)试题 第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题所给出的四个备选项中,只有一项是
符合题目要求的。 1.已知 a ? b, a ? 0, b ? 0, c ? R, c ? 0 ,则下列不等式成立的是( A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc C. ). D. a ? b
2 2

1 1 ? a b
).

2.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? 3(n ? 2) ,则 a100 等于( A.297 B.298 C.299

D.300 ).

3.在△ABC 中,若 ?A ? 300 , ?B ? 450 , BC ? 2 ,则 AC 等于(

A.

2 3 3

B.2 ).

C.1

D.

3 2

4.下列命题中,真命题是( A. ?x ? R, x ? 0
2

B. ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 D.“若 b=0,则函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 为偶函数”的逆否
2

2

C.24 是 3 的倍数且是 9 的倍数 命题 5.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点到其渐近线的距离等于 3 ,则该双曲线的离心率等于( 4 m
B.

).

A.

1 2

3 2

C. 2

D.

7 2

6.如图,平行六面体 OABC ? O?A?B?C ? 中,设 OA ? a, OC ? b, OO? ? c ,G 为 B?C ? 的中点,用 a,b,c 表示向量 OG ,则 OG 等于( ). B.

1 1 b? c 2 2 1 1 C. a ? b ? c 2 2
A. a ?

1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. a ? b ? c 2 2

7.设 Sn 为等比数列 ?an ?的前 n 项和,若 27a2 ? a5 ? 0 ,则 A.-27 8.已知 a>0,b>0,若不等式 A.7 B.10

S4 等于 S2
D.80 ). D.10 ).
2 2

C.27

2 1 m ? ? 恒成立,则 m 的最大值等于( a b 2a ? b
B.8 C .9

9.已知函数 f ( x) ? x sin x ,当 x1 , x2 ? ( ? A. x1 ? x2

? ?

, ) 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 , x2 的关系是( 2 2
C. x1 ? x2

B. x1 ? x2 ? 0

D. x1 ? x2

10.已知抛物线 C: y 2 ? 8x 的焦点 F,点 M(-1,0) ,不垂直与 x 轴的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 x 轴平分 ? AMB ,则△FAB 的面积的取值范围是( A. (2 2 ,??) B. [2 2 ,??) ). C. (4 2 ,??) D. [4 2 ,??)

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在答题卡相应位置。

x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,则 PA ? PB ? 11.已知点 A?? 2,0?, B?2,0? ,P 是双曲线 3
12.不等式 2
x 2 ?5 x ? 5

.

?

1 的解集是 2

. .

13.已知空间三点 A?0,2,3?, B?? 2,1,6?, C ?1,?1,5? ,则向量 AB 与 AC 的夹角 ? ? 14.已知 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ 要,既不充分也不必要) 15.如图,某观测站 C 在 A 城的南偏西 20 ,一条笔直公路 AB,其中 B 在 A 城南偏东
0

a?b ? ab ”的 2

条件.(充分不必要,必要不充分,充

40 0 。B 与 C 相距 31 千米,有一人从 B 出发沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后到达
D 处。此时 C,D 之间的距离为 21 千米,则 A,C 之间的距离是 千米

16.对各项均为正整数的数列 ?an ? ,若存在正整数 m 和各项均为整数的数列 ?bn ? , 满足: (1) 0 ? bn ? m ;(2)m 是 an ? bn 的约数; (3)存在正整数 T,使得 bn?T ? bn 对所有 n ? N 恒成立,则称数列 ?an ? 为模周期数列,其中数列 ?bn ? 称为
*

数 列 ?an ? 的 模 m 数 列 , T 叫 做 数 列 ?bn ? 的 周 期 。 已 知 数 列 ?an ? 是 为 模 周 期 数 列 , 且 满 足 :

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 ,若 m ? 10 ,则一个可能的 T=



三、解答题:本大题共 5 小题,共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? 4, cos B ? (1)若 b ? 3, 求 sin A 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 12,求 b 的值。

4 。 5

18. (本小题满分 12 分) 某厂生产 A、B 两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、钢材和以及耗电量如下表:

已知生产 A 产品的利润是每吨 3 万元,生产 B 产品的利润是每吨 5 万元, 现因条件限制,该工厂仅有劳动力 300 个,钢材 360 千克,并且供电局只 能供电 200 千瓦,试问该厂如何安排生产,才能获得最大利润?

19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面ABCD ,

BC ? 4, AB ? PA ? 2 ,M 为线段 PC 的中点,N 在线段 BC 上,且 BN ? 1 。
(1)证明: BM ? AN ; (2)求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值。

20.(本小题 13 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1 ,曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 4 x ? 1 。

(1)求函数 f ( x) 的解析式。 (2)若函数 f ( x) 的图象与直线 y ? kx ? 1 有三个公共点,求 k 的取值范围。

21.(本小题 13 分)

(? a,0), (a,0) , 设点 A, B 的坐标分别为 直线 AC, BC 相交于点 C , 且它们的斜率之积是 ?

b2 ( 常数 a , b 为 a2

正实数) 。 (1)求点 C 的轨迹 E 的方程。 (2)设 O 为坐标原点, P, Q 为轨迹 E 上的动点,且 OP ? OQ ,求

1 1 ? 的值。 2 | OP | | OQ |2

22.(本小题满分 14 分) 下图的三角形图案称为谢宾斯基三角形,图中黑色三角形的个数依次构成一个数列 {an }, 设 bn ? an ?

1 (n ? N ? ) , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和。 n(n ? 1)

(1)写出数列 {an } 的一个通项公式; (2)求 Sn ; (3)设 cn ? S n ?

1 ,e 是 自 然 对 数 的 底 数 , n ?1
3

f (n) ? 3n , 证 明 : 不 等 式

f (1) f (2) f (n) )? (1 ? 2 ) ? e 2 对任意正整数 n 恒成立。 ( 1 ? 2 )(1 ? 2 c1 c2 cn


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