《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第二章精要课件 离散型随机变量的方差


2.3.2

2.3.2
【学习要求】

离散型随机变量的方差

1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
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2. 能计算简单离散型随机变量的方差, 并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质,以及二点分布、二项分布的方差的求法, 会利用公式求它们的方差. 【学法指导】 1.通过实例理解离散型随机变量的方差的意义,通过例题体会 方差在解决实际问题中的应用. 2.要善于将实际问题转化为数学问题来解决,通过模仿建立起 数学建模的思维常识.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.2

1.离散型随机变量的方差、标准差
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设离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2
n

… …

xi pi

… …

xn pn

则(xi-E(X))2 描述了 xi(i=1,2,…,n)相对于均值 E(X)的偏 离程度,而 D(X)=
∑ (xi-E(X))2pi
i=1

为这些偏离程度的加

权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程 度.我们称 D(X)为随机变量 X 的 方差 ,并称其算术平方根 D?X?为随机变量 X 的 标准差 .

填一填·知识要点、记下疑难点

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2.离散型随机变量方差的性质
2 (1)设 a,b 为常数,则 D(aX+b)= a D(X) ;

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(2)D(c)=0(其中 c 为常数). 3.服从二点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若 X 服从二点分布, D(X)= p(1-p) (其中 p 为成功 则 概率); (2)若 X~B(n,p),则 D(X)= np(1-p) .

研一研·问题探究、课堂更高效

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探究点一
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方差、标准差的概念及性质 某省运会即将举行,在最后一次射击选拔比赛中,

问题 1

甲、乙两名运动员各射击 10 次,命中环数如下: 甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,5; 乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述数据,两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是 否两个人就没有水平差距呢?如果你是教练, 选哪位选手去 参加正式比赛?

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2.3.2


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x 甲= x 乙=7,利用样本的方差公式 1 2 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2],求得:

s2 =2.2,s2 =1.2. 甲 乙
∴乙成绩较稳定,选乙参加比赛.

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问题 2 类比样本方差、标准差的概念,能否得出离散型随机

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变量的方差、标准差?


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方差:对于离散型随机变量 X,如果它所有可能取的值是

x1,x2,…,xi,…,xn,且取这些值的概率分别是 p1,p2,…, pi,…pn,那么,
D(X)=(x1 -E(X))2·1 +(x2 -E(X))2·2 +…+(xi -E(X))2·i +… p p p +(xn-E(X))2·n p
称为随机变量 X 的方差,式中的 E(X)是随机变量 X 的均值.

标准差:D(X)的算术平方根 D?X?叫做随机变量 X 的标准差.

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问题 3 随机变量的方差与样本的方差有何不同?


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样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随

机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随
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机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度, 因此它是一个常量而 非变量. 问题 4 方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系?

答 方差的单位是随机变量单位的平方; 标准差与随机变量 本身有相同的单位.

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问题 5 我们知道若一组数据 xi(i=1,2,…,n)的方差为 s2, 那么另一组数据 axi+b(a、b 是常数且 i=1,2,…,n)的方差 为 a2s2.离散型随机变量 X 的方差是否也有类似性质?
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同样具有.

方差的性质:D(aX+b)=a2D(X).

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例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均

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值、方差和标准差.

解 抛掷骰子所得点数 X 的分布列为 X
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P

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

1 1 1 1 1 1 从而 E(X)=1×6+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6=3.5; 1 1 1 1 2 2 2 2 D(X)=(1-3.5) ×6+(2-3.5) ×6+(3-3.5) ×6+(4-3.5) ×6 1 1 +(5-3.5)2×6+(6-3.5)2×6≈2.92,
D?X?≈1.71.

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2.3.2

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小结

充分应用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质

来解题. 在应用方差定义求解时, 特别要注意, 在(xi-E(X))2pi 中,极易把(xi-E(X))2 的平方漏掉,产生错误.

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跟踪训练 1 已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 2 若 E(ξ)= . 3 (1)求 D(ξ)的值; (2)若 η=3ξ-2,求 D?η?的值. 0 1 2 1 1 3 x p

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1 1 1 解 ∵ + +p=1,∴p= . 2 3 6 1 1 1 2 又 E(ξ)=0× +1× +x× = .∴x=2. 2 3 6 3
? 2?2 1 ? 2?2 1 ? 2?2 1 15 5 故(1)D(ξ)=?0-3? × +?1-3? × +?2-3? × = = . 2 ? 3 ? 6 27 9 ? ? ? ?

(2)∵η=3ξ-2,∴D(η)=D(3ξ-2)=9D(ξ), ∴ D?η?= 9D?ξ?= 5.

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探究点二 问题
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二点分布与二项分布的方差

若随机变量 X~B(n, 怎样计算 D(X)?二点分布呢? p),

答 若 X~B(n,p),可以直接利用公式 E(X)=np 计算均值; 利用公式 D(X)=np(1-p)计算方差.
二点分布是二项分布当 n=1 时的特例.E(X)=p,D(X)= p(1-p).

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例2

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在某地举办的射击比赛中, 规定每位射手射击 10 次, 每次

一发.记分的规则为:击中目标一次得 3 分;未击中目标得 0 分;并且凡参赛的射手一律另加 2 分.已知射手小李击中目标 的概率为 0.8,求小李在比赛中得分的数学期望与方差.
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用 ξ 表示小李击中目标的次数,η 表示他的得分.则由

题意知 ξ~B(10,0.8),η=3ξ+2.
因为 E(ξ)=10×0.8=8,D(ξ)=10×0.8×0.2=1.6, 所以 E(η)=E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3×8+2=26(分), D(η)=D(3ξ+2)=32×D(ξ)=9×1.6=14.4. 小结 解决本题的关键是建立二项分布模型,搞清随机变量的 含义,利用公式简化解题过程.

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跟踪训练 2

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一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通

岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且 1 概率是 . 3 (1)求这位司机遇到红灯数 ξ 的期望与方差;
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(2)若遇上红灯,则需等待 30 秒,求司机总共等待时间 η 的期望 与方差.

解 (1)易知司机遇上红灯次数 ξ 服从二项分布, 1 1 且 ξ~B(6,3),∴E(ξ)=6×3=2, 1 1 4 D(ξ)=6×3×(1-3)=3.
(2)由已知 η=30ξ, ∴E(η)=30E(ξ)=60,D(η)=900D(ξ)=1 200.

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探究点三 问题

均值、方差的综合应用

实际问题中, 均值和方差对我们的一些决策有何作用?


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利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题,也就

是当我们希望实际的平均水平比较理想时,则先求它们的均 值,但不要误认为均值相等时,它们都一样好,这时,还应 看它们相对于均值的偏离程度,也就是看哪一个相对稳定(即 计算方差的大小), 稳定者就更好, 如果我们希望比较稳定时, 这时应先考虑方差,再考虑均值是否相当接近即可.

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例3 有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 1 200 1 400 0.4 0.3 1 600 0.2 1 800 0.1

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甲单位不同职位月工资 X1/元
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获得相应职位的概率 P1 乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1 000 0.4

1 400 0.3

1 800 0.2

2 200 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

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解 根据月工资的分布列,利用计算器可算得

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E(X1)=1 200×0.4+1 400×0.3+1 600×0.2+1 800×0.1=1 400,

D(X1)=(1 200-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 600- 1 400)2×0.2+(1 800-1 400)2×0.1=40 000;
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E(X2)=1 000×0.4+1 400×0.3+1 800×0.2+2 200×0.1=1 400, D(X2)=(1 000-1 400)2×0.4+(1 400-1 400)2×0.3+(1 800- 1 400)2×0.2+(2 200-1 400)2×0.1=160 000.

因为 E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),所以两家单位的工资均值相等, 但甲单位不同职位的工资相对集中, 乙单位不同职位的工资相对分 散. 这样, 如果你希望不同职位的工资差距小一些, 就选择甲单位; 如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.

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2.3.2

小结 实际问题中, 决策方案的最佳选择是将数学期望最大的
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方案作为最佳方案加以实施;如果各种方案的数学期望相同 时,则应根据它们的方差来选择决策方案,至于选择哪一方案 由实际情况而定.

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2.3.2

跟踪训练 3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境, 且野生动物的种类和数量也大致相等, 而两个保护区内每个季 度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
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ξ

0

1

2

3

P 0.3 0.3 0.2 0.2

η P

0 0.1

1 0.5

2 0.4

试评定这两个保护区的管理水平.

研一研·问题探究、课堂更高效
解 甲保护区违规次数 ξ 的数学期望和方差分别为

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E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;

D(ξ)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-
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1.3)2×0.2=1.21.

乙保护区的违规次数 η 的数学期望和方差分别为 E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;

D(η)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.
因为 E(ξ)=E(η),D(ξ)>D(η),所以两个保护区内每个季度发生 的违规事件的平均次数相同, 但甲保护区的违规事件次数相对 分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1.同时抛掷两枚均匀的硬币 10 次,设两枚硬币同时出现反面
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的次数为 ξ,则 D(ξ)等于 15 15 A. B. 8 4
解析
? 1? ξ~B?10,4?, ? ?

5 C. 2

( A ) D.5

1? 15 1 ? ∴D(ξ)=10× ×?1-4?= . 4 ? 8 ?

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2.3.2

2.设随机变量 X 的方差 D(X)=1,则 D(2X+1)的值为( C )
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A.2

B.3

C.4

D.5

解析 D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.

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3.已知离散型随机变量 X 的可能取值为 x1=-1,x2=0,x3 =1,且 E(X)=0.1,D(X)=0.89,则对应 x1,x2,x3 的概率

0.4 0.5 p1,p2,p3 分别为________,________,________. 0.1
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解析

由题意知,-p1+p3=0.1,

1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89. 又 p1+p2+p3=1,解得 p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5.

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4.已知 X 的分布列为 X P
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-1 1 2

0 1 3

1 1 6

(1)求 E(X),D(X); (2)设 Y=2X+3,求 E(Y),D(Y).
1 1 1 1 解 (1)E(X)=x1p1+x2p2+x3p3=-1×2+0×3+1×6=-3; 5 2 2 2 D(X)=(x1-E(X)) p1+(x2-E(X)) p2+(x3-E(X)) p3=9; 7 20 (2)E(Y)=2E(X)+3=3,D(Y)=4D(X)= 9 .

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1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波 动、 集中与离散的程度, 以及随机变量取值偏离于均值的平均
本 课 均程度越小;方差越大,表明平均偏离的程度越大,说明 X 时 的取值越分散. 栏 目 2.求离散型随机变量 X 的均值、方差的步骤 开 关 (1)理解 X 的意义,写出 X 的所有可能的取值;

程度.方差 D(X)或标准差越小,则随机变量 X 偏离均值的平

(2)求 X 取每一个值的概率; (3)写出随机变量 X 的分布列; (4)由均值、方差的定义求 E(X)、D(X). 特别地, 若随机变量服从二点分布或二项分布, 可根据公式直 接计算 E(X)和 D(X).


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