2015-2016学年高中数学 1.3第1课时 二项式定理课时作业(含解析)新人教B版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 1.3 第 1 课时 二项式定理课时作业 新人教 B 版选修 2-3

一、选择题

? 1.(2015·湖南理,6)已知? x- ?
A. 3 C.6 [答案] D

a ?5 3 ? 的展开式中含 x2的项的系数为 30,则 a=( x?
B.- 3 D.-6

)

r r r 5 [解析] Tr+1=C5(-1) a x -r,令 r=1,可得-5a=30? a=-6,故选 D. 2

2.S=(x-1) +4(x-1) +6(x-1) +4x-3,则 S 等于( A.(x-2) C.(x+1) [答案] B
4

4

3

2

)

B.x

4

4

D.x +1

4

[解析] S=(x-1) +4(x-1) +6(x-1) +4(x-1)+1=[(x-1)+1] =x .故应选 B. 3.? A.

4

3

2

4

4

x? ?a - 2 ?6 的展开式的第三项为( ? x a ?
15

) 15 B.-

x
2

x

6x C.- 2

a

D.

20

a2

[答案] A [解析] T3=T2+1=C6?
2 5

x?2 15 ? a ?4 ? ? ·?- 2 ? = .故应选 A. ? x? ? a ? x
6 7 8 3

4.在(1-x) +(1-x) +(1-x) +(1-x) 的展开式中,含 x 项的系数是( A.74 C.-74 [答案] D B.121 D.-121

)

[解析] (1-x) ,(1-x) ,(1-x) ,(1-x) 中 x 项的系数分别为-C5,-C6,-C7, -C8,故所求 x 项的系数为-(C5+C6+C7+C8)=-121. 1 5 2 3 5.( x-2y) 的展开式中 x y 的系数是( 2 A.-20 ) B.-5
1
3 3 3 3 3 3

5

6

7

8

3

3

3

3

C.5 [答案] A

D.20

1 5-r r 1 5-r r r r 5-r r [解析] 展开式的通项公式为 Tr+1=C5( x) ·(-2y) =( ) ·(-2) C5x y . 2 2 1 2 3 3 2 3 2 3 当 r=3 时为 T4=( ) (-2) C5x y =-20x y ,故选 A. 2

?3 1 ?20 6.(2015·日照高二检测)在? 2x- ? 的展开式中,系数是有理数的项共有( 2? ?
A.4 项 C.6 项 [答案] A [解析]
r

)

B.5 项 D.7 项

Tr + 1 = C 20 (

r

3

2 x)

20 - r

3 2? r ?- 1 ? r ? ? 1? 20 - r r 20 - r = ?- ? ? ? = ?- ? ·( 2 ) C 20 ·x ? 2? 2 2 ? ? ? ?

40+r 20-r r ·C20·2 ·x ., 6 ∵系数为有理数.且 0≤r≤20. ∴r=2,8,14,20.故选 A. 7.( x+ 35 16 35 4 1 2 x ) 的展开式中常数项为(
8

) 35 8

A. C.

B.

D.105

[答案] B [解析] Tr+1 =C8( x) 35 = ,故选 B. 8 二、填空题 8.(2 x- 1
r
8-r

1 r r 1 8-2r 1 4 ( ) =C8· r×x , 当 r=4 时, Tr+1 为常数, 此时 C8× 4 2 2 2 2 x

x

) 的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答)

6

[答案] -160 [解析] 考查二项式定理特殊项的求法. 由题意知, 设常数项为 Tr+1, 则 Tr+1=C6(2 x)
-r

r

6

·(-

1

x

) =C62

r

r 6-r

r r 6-r (-1) x ·x- ,∴3-r=0,∴r=3,∴Tr+1=-160,注意常数项 2 2

是 x 的次数为 0.

2

1 n 3 9.已知二项式(x- ) 的展开式中含 x 的项是第 4 项,则 n 的值为____________.

x

[答案] 9 [解析] ∵通项公式 Tr+1=Cn(-1) x 又∵第 4 项为含 x 的项, ∴当 r=3 时,n-2r=3,∴n=9. 三、解答题 10.(1)求(1+2x) 的展开式中第四项的系数;
7 3

r

r n-2r



? 1?9 3 (2)求?x- ? 的展开式中 x 的系数及二项式系数. ?
x?
[解析] (1)(1+2x) 的展开式的第 4 项为
3 3 T3+1=C3 7(2x) =280x , 7

∴(1+2x) 的展开式中第四项的系数是 280.

7

? 1?9 (2)∵?x- ? 的展开式的通项为 ?
x?
9-r 9-2r Tr+1=Cr . 9x ?-x?r=(-1)r·Cr 9x ? ?

? 1?

令 9-2r=3,r=3, ∴x 的系数为(-1) C9=-84.
3 3 3

x3 的二项式系数为 C3 9=84.

一、选择题 1.(4 -2 ) (x∈R)展开式中的常数项是( A.-20 C.15 [答案] C [解析] 设第 r+1 项为常数项,
2x(6-r) -x r r r 12x-2rx-rx Tr+1=Cr (-2 ) =(-1) ·C62 , 62

x

-x 6

)

B.-15 D.20

∴12x-3rx=0,∴r=4.∴常数项为 T5=(-1) C6=15. 2.在(1-x )(1+x) 的展开式中 x 的系数是( A.-297 C.297 [答案] D [解析] x 应是(1+x) 中含 x 项与含 x 项. ∴其系数为 C10+C10(-1)=207.
3
5 2 5 10 5 2 3 10 5

4 4

)

B.-252 D.207

3.使(3x+ A.4 C.6 [答案] B

1

x x

) (n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( B.5 D.7

n

)

[解析] 由二项式的通项公式得 Tr+1=Cn3 5 =0,即 n= r,所以 n 最小值为 5.选 B. 2 二、填空题

r n-r

xn- r,若展开式中含有常数项,则 n- r

5 2

5 2

4.(2015·徐州期末)在(1+2x) 的展开式中,x 的系数为________.(用数字作答) [答案] 80 [解析] 在(1+2x) 的展开式中,x 的系数为 C5·2 =80. 5.设 a=?π sinxdx,则二项式(a x- 1
5 3 3 3

5

3

?0

x

) 的展开式中的常数项等于________.

6

[答案] -160 [解析] a=?π sinxdx=(-cosx)|0 =2,二项式(2 x-
π

1

?0
r

x

) 展开式的通项为 Tr+1=C6

6

r

(2 x)

6-r

·(-

1

x

) =(-1) ·2

r

6-r

·C6x

r 3-r

, 令 3-r=0 得, r=3, ∴常数项为(-1) ·2 ·C6

3

3

3

=-160. 三、解答题 2 ?n ? 6.已知? x+ 2? 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数之比为 56?3,求展开式中

?

x?

的常数项. [解析] T5=Cn( x)
4

n-4 4 -8

2 x =16Cnx

4

n-20
2



n-2 2 -4 2 T3=C2 2 x =4Cnx n( x)

n-10
2

.

16Cn 56 由题意知, 2 = ,解得 n=10. 4Cn 3
10-k k -2k k k Tk+1=Ck 2 x =2 C10x 10( x)

4

10-5k , 2

5k 令 5- =0,解得 k=2, 2 ∴展开式中的常数项为 C102 =180. 7.求(1+x+x ) 展开式中 x 的系数.
4
2 8 5 2 2

[解析] 解法 1:(1+x+x ) =[1+(x+x )] . ∴Tr+1=C8(x+x ) ,则 x 的系数由(x+x ) 来决定.
r-k 2k r+k T′k+1=Ck x =Ck ,令 r+k=5, rx rx r
2 r 5 2 r

2 8

2

8

∵k≤r,∴?
5

?r1=5 ? ? ?k1=0
5 0

;或?
4 1

?r2=4 ? ? ?k2=1
3 2

;或?

?r3=3 ? ? ?k3=2

.

∴含 x 的系数为 C8C5+C8C4+C8C3=504. 解法 2: (1+x+x )=[(1+x)+x ] =C8(1+x) +C8(1+x) ·x +C8(1+x) ·(x ) +C8(1 +x) ·(x ) +…,则展开式中含 x 的系数为 C8C8+C8C7+C8C6=504.
5 2 3 5 0 5 1 3 2 1 2 2 8 0 8 1 7 2 2 6 2 2 3

?2x2- 1 ? ?8 8.在? 3 ? 的展开式中,求:(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数;(2)倒数 ? x? ?
第 3 项. [解析] 要求展开式中某些特定的项或特定的系数时, 可以不必写出全部的展开式, 只 需利用通项公式即可.

? 1 ? 20 4 4 4 (1)∵T5=C ·(2x ) ·? 3 ? =C8·2 ·x , ? x? 3 ? ?
4 8 2 8-4

∴第 5 项的二项式系数是 C8=70,第 5 项的系数是 C8·2 =1 120.

4

4

4

?- 1 ? 6 2 (2)解法 1:展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项,T7=C ·(2x ) ·? 3 ? =112x . ? ? x? ?
6 8 2 8-6

?2x2- 1 ? ? 1 -2x2? 8 ? ? ? ?8 展开式中的第 3 项,T3= 解法 2:在 3 ? 展开式中的倒数第 3 项就是? 3 ? ? x? ? ? x ? ? 1 ? 8-2 2 2 2 C ·? 3 ? ·(2x ) =112x . ? x? ? ?
2 8

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