11-12学年高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人教A版选修2-3


? 2.3 离散型随机变量的均值 与方差

? 2.3.1 离散型随机变量的均 值

? 1.通过实例,理解离散型随机变量均值 (数学期望)的概念,能计算简单离散型随 机变量的均值,并能解决一些实际问题. ? 2.掌握二点分布、二项分布的均值,体 会二项分布数学期望的证明方法. ? 3.通过本节学习,体会离散型随机变量 的均值在实际生活中的意义和应用,提高 数学应用意识,激发学习兴趣.

? 本节重点:离散型随机变量的均值概念及 计算. ? 本节难点:求离散型随机变量的均值.

二项分布的均值 若 X~B(n,p),则 E(X)=np. 证明:∵P(X=k)=Ck pk(1-p)n-k=Ck pkqn-k n n
1 2 ∴EX=0×C0p0qn+1×Cnp1qn 1+2×Cnp2qn 2+?+ n
- -

k×Ck pkqn-k+?+n×Cnpnq0. n n 又∵kCk =k· n n! k!(n-k)!

n· (n-1)! - = =nCk -1 , n 1 (k-1)![(n-1)-(k-1)]!

∴E(X)=np(C 0-1p0qn-1+C1-1p1qn-2+?+Ck-1 pk-1q(n-1) n n n-1
-(k-1)

+?+Cn-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np. n-1

故若 X~B(n,p),则 E(X)=np. 若两个随机变量 X 与 Y 的均值都是有限数,则 E(aX+ bY)=aEX+bEY.利用它可以很方便地推证二项分布的均值. 考虑成功概率为 P 的 n 次独立重复试验中成功次数 X, 则 X~B(n,p),记
n

?1 ? X=? ?0 ?

第i次成功 (i=1、2、?、n)则 X 第i次失败

= ?Xi.
i=1

∵Xi~B(1,p),其分布列为 Xi P 0 1-p 1 p

其均值 E(Xi)=0×(1-p)+1×p=p,i=1、2、?、n. ∴E(X)= ?E(Xi)=np.
i=1 n

? 1.定义:一般地,若离散型随机变量X的 分布列为 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn ? 则称E(X)= X的均值或 数学期望.
x1p1+x2p2+?+xipi+xnpn

为随机变量

? 2.离散型随机变量的数学期望反映了离 散型随机变量取值的平均水平. ? 3.若a,b为常数,X为离散型随机变量, 则aX+b也是离散型随机变量 ,并且E(aX+b)= aE(X)+b ,特别地,E(c)= c (c是常 数). ? 4.若离散型随机变量X服从两点分布,则 E(X)= p. ? 5.若X服从二项分布,即若X~ B(n,p), 则 E(X)= np .

[例 1]

若对于某个数学问题,甲,乙两人都在研究,

2 4 甲解出该题的概率为3,乙解出该题的概率为5,设解出该 题的人数为 X ,求 E(X).

? [分析] 首先确定随机变量X所有可能的取 值,X可取0,1,2,然后分别求出它们对应 的概率,再利用求期望的公式计算.

[解析]

记“甲解出该题”为事件 A, “乙解出该题” B )=

为 事 件 B , X 可 能 取 值 为 0,1,2.P(X = 0) = P( A

? 2? ? 4? 1 P( A )· B )=?1-3?×?1-5?= , P( P(X=1)=P(A B )+P( A B) ? ? ? ? 15 ? 2? 4 2 ? 4? 2 =P(A)P( B )+P( A )P(B)=?1-3?×5+3×?1-5?=5,P(X= ? ? ? ?

2 4 8 2)=P(AB)=P(A)P(B)=3×5=15. 所以 X 的分布列如下表:

X P

0 1 15

1 2 5

2 8 15

1 2 8 22 故 E(X)=0×15+1×5+2×15=15≈1.467.

? [点评] 解此类题的一般步骤是:①明确 随机变量的取值,以及取每个值的试验结 果;②求出随机变量取各个值的概率;③ 列出分布列;④利用期望公式进行计算.

? 随机抛掷一枚骰子,求所得骰子点数X的 均值. ? [分析] 每点出现的概率都是 ? [解析] ∵P(X=i)=1/6,i=1、2、?、6, ∴ E(X) = 1×1/6 + 2×1/6 + ? + 6×1/6 = 3.5.

? [例2] 已知随机变量X的分布列为 X P 0 0.4 2 m 4 0.3

? 求:(1)E(X); ? (2)若Y=5X+4,求E(Y).

? [分析] 由题目可获取以下主要信息: ? ①已知随机变量X的分布列.②求E(X). ? 解答本题可先求出参数m的值,再直接利 用期望公式及性质求解.

? [解析] (1)由随机变量分布列的性质, ? 得 0.4+m+0.3=1. ? ∴m = 0.3 , ∴ E(X) = 0×0.4 + 2×0.3 + 4×0.3=1.8. ? (2)方法一:∵Y=5X+4, ? ∴随机变量Y的分布列为: Y P 4 0.4 14 0.3 24 0.3

? ? ? ?

∴E(Y)=4×0.4+14×0.3+24×0.3 =1.6+4.2+7.2=13. 方法二:∵Y=5X+4, ∴E(Y)=E(5X+4)=5E(X)+4=5×1.8+4 =13. ? [点评] (1)求期望关键是求分布列,然后 直接套用期望公式;(2)对于aX+b型的随 机变量,利用期望的性质E(aX+b)=aE(X) +b求解较简捷.

1 (1)设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= (k=1、2、3、 6 4、5、6),求 E(2X+3); 1 (2)设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=n(k=1、 ?、 2、 n),求 E(X).

[分析] 利用离散型随机变量的均值概念与性质解题.

[解析]

1 1 1 (1)E(X)=1× +2× +?+6× =3.5, 6 6 6

∴E(2X+3)=2EX+3=2×3.5+3=10. 1 (2)E(X)=n(1+2+?+n) 1 n(n+1) n+1 = · = . n 2 2

? [例3] 设一位足球运动员,在有人防守的 情况下,射门命中的概率为p=0.3,求他 一次射门时命中次数X的期望. ? [分析] 首先写出X的分布列,由于射门一 次可能命中或不命中,故服从两点分布. ? [解析] X的分布列为P(X=0)=0.7,P(X =1)=0.3,因此,E(X)=0×0.7+1×0.3 =0.3(或直接用结论).

? [点评] 对于这类应用问题,求期望的一般 步骤是:首先写出随机变量所有可能的取 值,然后求出随机变量取每个值时对应事 件的概率,列出分布列,最后利用期望的 定义计算求解.

? [例4] 某同学参加科普知识竞赛,需回答 三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确 得100分,回答不正确得-100分.假设这 名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各 题回答正确与否相互之间没有影响. ? (1)求这名同学回答这三个问题的总得分X 的概率分布和均值; ? (2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的 概率.

? [分析] (1)求X的可能取值,即是求得分, 答对0道题得-300分,答对1道题得100- 200 = - 100 分 , 答 对 两 道 题 得 2×100 - 100=100分,答对3道题得300分; ? (2)总分不为负分包括:总分为100分和总 分为300分两种情况.

? [解析] (1)X的可能取值为-300、-100、100、 300. ? P(X=-300)=0.23=0.008, ? P(X=-100)=3×0.22×0.8=0.096, ? P(X=100)=3×0.2×0.82=0.384, ? P(X=300)=0.83=0.512. ? 所以X的概率分布为

X P

300 -300 -100 100 0.008 0.096 0.384 0.512

? E(X) = ( - 300)×0.008 + ( - 100)×0.096 + 100×0.384+300×0.512=180. ? (2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X≥0) =0.384+0.512=0.896.

? (2010·四川理,17)某种有奖销售的饮料, 瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买” 字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一 瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、 丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. ? (1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率; ? (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

? [解析] ①甲、乙、丙中奖与否是等可能 事件,而甲中奖与乙,丙未中奖是相互独 立的.②中奖人数可为0,1,2,3且相互独立, 由独立事件至少有一个发生的概率计算即 可. ? 解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、 B、C,那么 1
P(A)=P(B)=P(C)= . 6 1 5 2 25 P(A· · )=P(A)P( B )P( C )=6·6) =216. B C ( 25 答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 . 216

(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
1 1 k 5 3-k P(ξ=k)=C3? ? ? ? ,k=0,1,2,3.

? ?? ? ?6? ?6?

所以中奖人数 ξ 的分布列为 ξ P 0 125 216 1 25 72 2 5 72 3 1 216

125 25 5 1 1 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 216 72 72 216 2

? [点评] 本题主要考查相互独立事件,随机 变量的分布列、数学期望等概念及相关计 算,考查了运用所学知识解决问题的能力.

? [例5] 某公司有客户3000人,若公司准备了100 份小礼品,邀请客户在指定时间来领取,假设 收到邀请的任一客户去领奖的概率为4%.问:公 司能否向每一位顾客都发出领奖邀请?若向每 一位顾客都发出领奖邀请,且能使每一位领奖 人都得到礼品,公司至少应准备多少份礼品? ? [分析] 解本题关键是判断出随机变量X服从二 项分布,可直接用二项分布的均值公式求解.

? [解析] 设公司向每一位顾客发出领奖邀 请 后 来 领 奖 的 人 数 为 X , 则 P(X = k) = C (0.04)k(1-0.04)3000-k(k=0,1,2,?,3000), 可 见 X ~ B(3000,0.04) , 所 以 , EX = 3000×0.04=120(人)>100(人). ? 所以不能向每一位顾客都发出领奖邀 请.若向每一位顾客都发出领奖邀请,且 能使每一位领奖人都得到奖品,公司至少 应准备120份礼品.

? [点评] 解此类题首先判断随机变量X是否 服从特殊分布(两点分布和二项分布),如 果是,代入相应的公式求期望值;如果不 是,则先列出X的分布列,再代入期望公 式求解.

? 某保险公司新开设了一项保险业务,若在 一年内事件A发生,该公司要赔偿a元,设 在一年内A发生的概率为p,为使公司收益 的期望值等于a的百分之十,公司应要求 顾客交多少保险金?

? [解析] 设保险公司要求顾客交x元保险金,若 以X表示公司每年的收益额,则X的概率分布列 如下表: X P x 1-p x-a p

? 因为公司每年收益X的期望值EX=x(1-p)+(x- a)p=x-ap,要使公司收益的期望值等于a的百 分之十,只需EX=0.1a,即x-ap=0.1a,x= (0.1+p)a,所以当顾客交的保险金为(0.1+p)a元 时,可使公司收益的期望值为a的百分之十.

? [点拨] 当今的社会,经济繁荣、储蓄、保 险、股票、证券等经济活动繁多,其实每 一个经济现象都蕴含了丰富的数学知识, 例如数学期望就有广泛的应用,能直接算 出经营者的赚与赔.

? [例6] 如下图形状的三个游戏盘中(圆形 游戏盘的两个同心圆的半径之比是1:2), 各有一个玻璃小球,依次摇动三个游戏盘 后,将它们水平放置,就完成了一局游 戏.

? (1)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在 阴影部分的概率是多少? ? (2)一局游戏后,用X表示小球停在阴影部 分的次数与小球没有停在阴影部分的次数 之差的绝对值,求X的分布列及数学期 望. ? [分析] 由题目可获取以下主要信息:① 三个游戏盘的形状;②完成一局游戏的规 则. ? 解答本题可先根据题意确定概率模型及X 的所有可能取值,再按要求分别求解.

[解析]

(1)一局后,三个盘中的小球停在阴影部分分

别记为事件 A1、A2、A3, 1 由题意 A1、A2、A3 相互独立,且 P(A1)=2, 1 1 P(A2)=4,P(A3)=3. A1∩A2∩A3 表示三个盘中的小球都停在阴影部分. P(A1∩A2∩A3)=P(A1)· 2)· 3) P(A P(A 1 1 1 1 = × × = . 2 4 3 24

(2)一局后,小球停在阴影部分的次数可能取值为 0、 1、2、3,相应的小球没有停在阴影部分的次数可能取值 为 3,2,1,0,所以 X 的可能取值为 1、3. 则 P(X=3)=P(A1∩A2∩A3)+P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =P(A1)· 2)· 3)+P( A1 )· A2 )· A3 ) P(A P(A P( P( 1 1 1 1 3 2 7 = × × + × × = . 2 4 3 2 4 3 24 7 17 P(X=1)=1-24=24. 所以分布列为:

X P

1 17 24

3 7 24

17 7 19 ∴E(X)=1× +3× = . 24 24 12

? [点评] 解答此类综合题的关键是充分结 合以前所学的有关概率的模型——古典概型、 几何概型等,把握各种模型的特征,把概 率与统计有机融合在一起,使知识在大脑 中形成纵向和横向的联系,达到知识上的 理论升华.

? (2010·淄博)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检, 其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4 件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万

元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品 的利润(单位:万元)为X.
? (1)求X的分布列;

? (2)求1件产品的平均利润(即X的均值);
? (3)经技术革新后,仍有第四个等级的产品,但次品率降 为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的 平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?

[解析] (1)X 的所有可能取值有 6,2,1,-2; 126 50 P(X=6)= =0.63,P(X=2)= =0.25, 200 200 20 4 P(X=1)=200=0.1,P(X=-2)=200=0.02. 故 X 的分布列为 X P 6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02

? (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(- 2)×0.02=4.34. ? (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1 件产品的平均利润为 ? E(x)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+x+ (-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29), ? 依题意,E(x)≥4.73,即4.76-x≥4.73, ? 解得x≤0.03. ? 所以三等品率最多为3%.

? 一、选择题 ? 1.随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等 于( ) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5
? A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 ? [答案] A ? [ 解 析 ] 根 据 题 意 , 由 已 知 表 格 可 求 E(X) = 0×0.3 + 2×0.2 + 4×0.5 = 2.4 , 故 E(5X + 4) = 5E(X)+4=5×2.4+4=16,故答案选A.

1 2.某班有 的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地 4 找出 5 名学生,那么其中数学成绩优秀的学生数 X~
? 1? B?5,4?,则 ? ?

E(-X)的值为 ( )

1 A.4

1 B.-4

5 C.4

5 D.-4

[答案] D

[解析]
? 1? B?5,4?, 故 ? ?

由于离散型随机变量 X 服从二项分布, X~ 即 1 5 n=5, 4, p= E(X)=4, 进而得 E(-X)=-E(X)

5 =-4,所以答案选 D.

? 3.节日期间,某种鲜花进价是每束2.5元,售价 是每束5元;节后卖不出的鲜花以每束1.6元处 理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种 鲜花的需求量X(束)的分布列如下表.若进这种 鲜花500束,则期望利润是 ( ) X P
? A.706元 ? C.754元 ? [答案] A

200 0.20

300 0.35

400 0.30

500 0.15

B.690元 D.720元

? [解析] 本题考查数学期望的概念,节日 期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)= 200×0.20+300×0.35+400×0.30+ 500×0.15=40+105+120+75=340(束), 则利润Y=5X+1.6(500-X)-500×2.5= 3.4X-450,所以E(Y)=3.4E(X)-450= 3.4×340-450=706(元).故期望利润为 706元.应选A.

? 二、填空题 ? 4.由于电脑故障,使得随机变量X的概率分布列 中部分数据丢失(以□代替),其表如下表.请你 先将丢失的数据补充,再求随机变量的数学期望, 其期望值为________.
X 3 4 5 6 0.□ P 0.20 0.10 0.10 0.15 0.20 5 1 2

? [答案] 3.5 ? [解析] 本题考查随机变量的概率,数学 期望.由题知,它们的概率的和为1,可 以得到应填的数为2,然后根据数学期望 E(X) = 1×0.20 + 2×0.10 + 3×0.25 + 4×0.10+5×0.15+6×0.20=3.5.

? 5.设离散型随机变量X可能取的值为 1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).又X的 数学期望E(X)=3,则a+b=________.

? [解析]
X P

由题意可得随机变量X的分布列如下表.
1 2 3 4 a+b 2a+b 3a+b 4a+b

? 由分布列的性质得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+ (4a+b)=1,即10a+4b=1①,又E(X)=3,所 以1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a +b)=3,即30a+10b=3②.联立①②两式解得a = ,b=0,

? 三、解答题 ? 6.袋中有4只红球、3只黑球,今从袋中随 机取出4只球,设取到一只红球得2分,取 到一只黑球得1分,试求得分X的数学期 望.

[解析]

取出 4 只球,它们的颜色分布情况是:

4 红得 8 分,3 红 1 黑得 7 分,2 红 2 黑得 6 分,1 红 3 黑得 5 分,因此,
1 3 2 2 C4C3 4 C4C3 18 P(X=5)= 4 = ,P(X=6)= 4 = , C7 35 C7 35 3 1 4 0 C4C3 12 C4C3 1 P(X=7)= C4 =35,P(X=8)= C4 =35, 7 7

4 18 12 1 44 ∴E(X)=5×35+6×35+7×35+8×35= 7 .


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