第3章测试卷B-人教A版数学必修5


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第三章不等式单元检测 B
说明: 本试卷分为第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ (选择题 卷
注意事项:

共 60 分)

1.答第Ⅰ 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写 在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 12 步题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知关于 x 的不等式 (1 ? b) x 2 ? ax ? 0 的解集为[-1,0],则 a+b 的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.3 ( )

? x ? y ? 1, ? 2.设 x、y 满足约束条件 ? y ? x, 则z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 0, ?
A.0 B.2 C.3 D.





1 2


3. 已知不等式 ( x ? y )( ?

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, 恒成立, y 则正实数 a 的最小值为 ( y
C.6 D.8

A.2

B.4

4. (2009 四川卷文)已知 a , b , c , d 为实数,且 c > d .则“ a > b ”是“ a - c > b - d ” 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

5.某人计划投资不超过 10 万元,开发甲、乙两个项目,据预测,甲、乙项目可能的最大盈 利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.在确保可能的资金亏损
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不超过 1.8 万元的条件下,此项目的最大盈利是 A.5 万元 B.6 万元
x y

( D.8 万元 ( D .4 4 3



C.7 万元

6.若 x、y 为实数, 且 x+2y=4, 则 3 ? 9 的最小值为 A.18 B.12 C .2 3



7.关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为( ? ? ,1) ,则关于 x 的不等式 (ax ? B)(x ? 2 ? 0 的解集为 A. (??,?1) ? (2,??) C. (1,2) B. (-1,2) D. (??,1) ? (2,??) ( )

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 8. (2009 山东卷理)设 x, 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z=ax+by y (a>0, b>0) ? x ? 0, y ? 0 ?
的值是最大值为 12,则 A.

25 6

2 3 ? 的最小值为 a b 8 11 B. C. 3 3

( D.4
2t ?1



9.若不等式 x2-2ax+a>0,对 x∈ 恒成立, 则关于 t 的不等式 a R ( ) A.1<t<2 10.若 x<0,则 2 + 3x + A.2 + 4 3 11. 若 B.-2<t<1 4 的最大值是 x B.2± 3 4 C.2-4 3 C.-2<t<2

? at

2

? 2t ?3

<1 的解为

D.-3<t<2 ( D.以上都不对 )

1 1 b a a2 ? ? 0, ? 2a ? b 则下列不等式: | a |?| b | ; a ? b ? ab ; ① ② ③ ? ? 2; ④ a b a b b
( C.3 个 D. 4 个 ( ) )

中,正确的不等式有 A.1 个 B.2 个

12.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 | a | ?2 | b |

A.

2 5 15

B.

2 4

C.

5 5

D.

2 2

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第Ⅱ (非选择题 卷
注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横一上.

? ? x ? 2 y ? 5 ? 0? ? ? ? 2 2 13.设 m 为实数,若 ?( x, y ) | ?3 ? x ? 0 ? ? {( x, y ) | x ? y ? 25}, 则m 的取值范围 ? ?m x ? y ? 0 ? ? ? ?
是 .
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

14.若正数 a、b 满足 ab=a+b+3, 则 ab 的取值范围是 15.(2009 安徽卷文)不等式组

. .

所表示的平面区域的面积等于

16.不等式 | 2 x ? 1 | ? x ? 1的解集是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg[(m 2 ? 3m ? 2) x 2 ? (m ? 1) x ? 1] 的定义域为 R,求实数 m 的 取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 2009 年推出一种新型家用轿车,购买时费用为 14.4 万元,每年应交付保险费、养路费 及汽油费共 0.7 万元,汽车的维修费为:第一年无维修费用,第二年为 0.2 万元,从第
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三年起,每年的维修费均比上一年增加 0.2 万元.
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

(I)设该辆轿车使用 n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费) 为 f(n),求 f(n)的表达式;
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(II)这种汽车使用多少报废最合算(即该车使用多少年,年平均费用最少)?

19. (本小题满分 12 分) 函数 f (x)=x2+ax+3,当 x∈ [-2, 2]时 f (x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

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20. (本小题满分 12 分) 据统计,某市的工业垃圾若不回收处理,每吨约占地 4 平方米,2002 年,环保部 门共回收处理了 100 吨工业垃圾,且以后垃圾回收处理量每年递增 20%(工业垃圾经 回收处理后,不再占用土地面积). (Ⅰ )2007 年能回收处理多少吨工业垃圾?(精确到 1 吨)
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(Ⅱ )从 2002 年到 2015 年底,可节约土地多少平方米(精确到 1m2) (参考数据:1.24≈2.1 1.55=2.5 1.26=3.0 1.213≈10.7 1.214≈12.8)

21. (本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式: log a (ax ) ? log a 2 (a x) ? 2
2 2

1

(a ? 0 且 a ? 1)

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

22. (本小题满分 14 分)
2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 对一切 x ?R 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 解不

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等式 f ?log1 ( x 2 ? x ? )? ? f ?log1 (2 x 2 ? x ? )?

? ?

2

1 ? 2 ?

? ?

2

5 ? 8 ?

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

参考答案
一、选择题:
w.w. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

CDB B C ABAAB
5.

CB

4. 【解析】显然,充分性不成立.又,若 a - c > b - d 和 c > d 都成立,则同向不等式相 加得 a > b , 即由“ a - c > b - d ” ? “ a > b ”,选 B
w.w.。

8. 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0)错误!

过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而

2 3 ? = a b 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ( ? ) ? ?( ? )? ?2? , a b 6 6 a b 6 6

故选 A. 答案:A 说明:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地 画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求

2 3 ? 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. a b
二、填空题: 13. 0 ? m ?

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

4 3

14.[9,+∞]

15.

4 3

16. {x | 0 ? x ? 2}

15. 【解析】由 ?

?x ? 3y ? 4 ? 0 1 4 可得 C (1,1) ,故 S 阴 = ? AB ? xc ? . 2 3 ?3 x ? y ? 4 ? 0

w

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 解:∵ 函数 f (x) 的定义域为 R,
2
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

∴ 对于任意 x ? R ,恒有 (m ? 3m ? 2) x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0
2

………………3 分

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(i)若 m 2 ? 3m ? 2 ? 0, 则m ? 2或1 , 当 m=1 时,不等式即为 1>0,符合题意, 当 m=2 时,不等式即为 2 x ? 1 ? 0 ,不恒成立,∴ m=2 不合题意,舍去.…………5 分 (ii)若 m2-3m+2≠0,由题意得

?m 2 ? 3m ? 2 ? 2 ? ? ?? ? (m ? 1) 2 ? 4(m 2 ? 3m ? 2) ? 0 ?

………………8 分

?m ? 1或m ? 2 7 ? 解得 ? 7 ,即m ? 1或m ? 3 ?m ? 1或m ? 3 ?
综上可得,m 的取值范围是 m ? 1或m ? 18. (本小题满分 12 分)

………………10 分

7 3

………………12 分

解: (I)由题意得:每年的维修费构成一等差数列,n 年的维修总费用为

[0 ? 0.2(n ? 1)] n ? 0.1n 2 ? 0.1n (万元) 2
所以 f (n) ? 14.4 ? 0.7n ? (0.1n 2 ? 0.1n)

…………3 分

? 0.1n 2 ? 0.6n ? 14.4 (万元)
(II)该辆轿车使用 n 年的年平均费用为

…………6 分

f (n) 0.1n 2 ? 0.6n ? 14.4 ? n n
? 0.1n ? 0.6 ? 14.4 n
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

…………8 分

? 2 0.1n ?

14.4 ? 0.6 n

=3(万元) 当且仅当 0.1n ?

…………10 分

14.4 时取等号,此时 n=12 n
…………12 分

答:这种汽车使用 12 年报废最合算.

19.解:要使函数 f (x)=x2+ax+3,当 x∈ [-2, 2]时 f (x)≥a 恒成立,即函数 f (x)=x2+ax+3 在 x∈ [-2, 2]上的最小值大于等于 a. 又 f (x)=(x+
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a2 a 2 ) +3- , x∈ [-2, 2], 4 2
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① 当-2≤-

a2 a ≤2 时, 即 a∈ [-4, 4]时, f (x)的最小值为 3- ≥a, 4 2

∴a2+4a-12≤0, 解得-6≤a≤2, ∴ -4≤a≤2 ② 当- ∴a≤

a <-2 时, 即 a>4 时,f (x)的最小值为 f (-2)=7-2a≥a, 2

7 与 a≥4 矛盾. 3 a ③ 当- >2 时,即 a<-4 时,f (x)的最小值为 f (2)=7+2a≥a, ∴a≥-7, 2
∴ -7≤a<-4, 综上得 -7≤a≤2.
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20.本小题满分 21 分

解: )环保部门每年对工业垃圾的回收处理量构成一个等比数列,设为 {a n }, 首项 (Ⅰ a1 = 100,公比 q=1.2, 所以 2007 年回收处理的工业垃圾为 ………………3 分

a6 ? a1q 5 ? 100?1.25 ? 250(吨)
(Ⅱ )从 2002 年到 2015 年底能回收处理的工业垃圾为

………………6 分

S14 ?

a1 (1 ? q14 ) 100(1 ? 1.214 ) , ? ? 5900(吨) 1? q 1 ? 1.2

………………9 分 ………………10 分

则可节约土地为 5900× 4=23600(m2).

答:2007 年回收处理的工业垃圾约 250 吨,从 2002 年到 2015 年底,可节约土地约 23600m2. 21.本小题满分 12 分 解:原不等式等价于: 1 ? 2 log a x ? ①当 log a x ? ? ………………12 分

1 1 2 ? log a x ? 2 2

1 1 1 时,原不等式可化为: 1 ? 2 log a x ? ?2 ? log a x ? ? ,解得: 2 2 2 1 1 1 log a x ? ,故 ? ? log a x ? ; 3 2 3 1 1 1 ② ? 2 ? log a x ? ? 时,原不等式可化为: ? 1 ? 2 log a x ? ?2 ? log a x ? ? ,解 当 2 2 2 1 得: loga x ? ?1 ,故 ? 1 ? log a x ? ? ; 2 1 1 ③当 loga x ? ?2 时,原不等式可化为: ? 1 ? 2 log a x ? ?2 ? log a x ? ? ,解得: 2 2
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1 log a x ? ? ,故无解。 3
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综上可知: ? 1 ? log a x ?

1 , 3 1 ? x ? 3 a ;当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解为 a

∴当 a ? 1 时 , 原 不 等 式 的 解 为
3a ?x? 1

a

22.本小题满分 14 分 ∵ l o g( x 2 ? x ? ) ? l o g ( x ? ) 2 ? ? 2, 1 1? 2 2 4?
2

1

? 2?

1

1? ?

5 1 1? ? log1 (2 x 2 ? x ? ) ? log1 ?2( x ? ) 2 ? ? ? 1 , 8 4 2? 2 2?
又 f(x)在 (?? ,2 ] 上递增, 由原不等式,得: log1 ( x 2 ? x ? ) ? log1 (2 x 2 ? x ? )
2 2

1 2

5 8

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

1 ? 2 ?x ? x ? 2 ? 0 ? 5 ? ? ?2 x 2 ? x ? ? 0 8 ? 1 5 ? 2 2 ?x ? x ? 2 ? 2x ? x ? 8 ?

?1?

14 14 。 ? x ?1? 4 4

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