平面向量的应用


§ 5.4 平面向量的应用

1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平 行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a∥b?a=λb(b≠0) ?x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. (3)求夹角问题,利用夹角公式 x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2 (θ 为 a 与 b 的夹角). |a||b| x1+y1 x2+y2 2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相 似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即 W=F· s=|F||s|cos θ (θ 为 F 与 s 的夹角). 3.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识 结合,当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到 关于该未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的 综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平 行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) → → (1)若AB∥AC,则 A,B,C 三点共线. ( √ )

(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决. ( √ )

(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标

运算. ( √ ) → → (4)在△ABC 中,若AB· BC<0,则△ABC 为钝角三角形. ( × ) 2π (5)(理)作用于同一点的两个力 F1 和 F2 的夹角为 ,且|F1|=3,|F2|=5,则 F1+F2 的大 3 小为 19. ( √ ) → (6)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点 P 满足:OP → → → =OA+t(AB+AC),t∈R,则点 P 的轨迹方程是 x-y+1=0. ( √ ) ) → → 2.(2013· 福建)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 答案 C → → 解析 ∵AC· BD=0, ∴AC⊥BD. 1→ → ∴四边形 ABCD 的面积 S= |AC|· |BD| 2 1 = × 5×2 5=5. 2 3.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cos A, sin A).若 m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C,则角 A,B 的大小分别为 ) π π A. , 6 3 π π C. , 3 6 答案 C 解析 由 m⊥n 得 m· n=0,即 3cos A-sin A=0, π ? 即 2cos? ?A+6?=0, π π 7π π π π ∵ <A+ < ,∴A+ = ,即 A= . 6 6 6 6 2 3 又 acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A =2Rsin(A+B)=2Rsin C=c=csin C, π π π π 所以 sin C=1,C= ,所以 B=π- - = . 2 3 2 6 y? → → 4.平面上有三个点 A(-2,y),B? ?0,2?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨迹方程为 __________. 答案 y2=8x (x≠0) ( 2π π B. , 3 6 π π D. , 3 3 B.2 5 C.5 D.10

y? → ? y? → 解析 由题意得AB=? ?2,-2?,BC=?x,2?, → → → → 又AB⊥BC,∴AB· BC=0, y y ? ?x, ?=0,化简得 y2=8x (x≠0). 即? ?2,-2?· ? 2? 5.河水的流速为 2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小船的 静水速度大小为________. 答案 2 26 m/s 解析 如图所示小船在静水中的速度为 102+22=2 26 m/s.

题型一 平面向量在平面几何中的应用 例1 如图所示, 四边形 ABCD 是正方形, P 是对角线 DB 上的一点(不包

括端点),E,F 分别在边 BC,DC 上,且四边形 PFCE 是矩形,试用向量 法证明:PA=EF. 思维启迪 正方形中有垂直关系,因此考虑建立平面直角坐标系,求出所 求线段对应的向量,根据向量知识证明. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为 1,DP=λ(0<λ< 2), 2 2 则 A(0,1),P( λ, λ), 2 2 2 2 E(1, λ),F( λ,0), 2 2 2 2 2 2 → → ∴PA=(- λ,1- λ),EF=( λ-1,- λ), 2 2 2 2 → ∴|PA|= → |EF|= ? ?- 2 2 2 λ? +?1- λ?2 = λ2- 2λ+1, 2 2

2 2 λ-1?2+?- λ?2 = λ2- 2λ+1, 2 2

→ → ∴|PA|=|EF|,即 PA=EF. 思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化 为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. → → (1)平面上 O, A, B 三点不共线, 设OA=a, OB=b, 则△OAB 的面积等于( A. |a|2|b|2-?a· b?2 B. |a|2|b|2+?a· b?2 )

1 C. |a|2|b|2-?a· b?2 2 1 D. |a|2|b|2+?a· b?2 2 → → → → ? AB AC ? → AB AC 1 → → + (2)在△ABC 中,已知向量AB与AC满足? · BC=0 且 · = ,则△ABC 为 ? → → → → 2 ?|AB| |AC|? |AB| |AC| ( A.等边三角形 C.等腰非等边三角形 答案 解析 (1)C (2)A a· b (1)∵cos∠BOA= , |a||b| ?a· b?2 则 sin∠BOA= 1- 2 2, |a| |b| 1 ?a· b?2 ∴S△OAB= |a||b| 1- 2 2 2 |a| |b| 1 = |a|2|b|2-?a· b?2. 2 → → ? AB AC ? → → → + (2)因为非零向量AB与AC满足? · BC=0, 所以∠BAC 的平分线垂直于 BC, 所以 → →? ?|AB| |AC|? AB=AC. 又 cos∠BAC= → → AB AC 1 π · = ,所以∠BAC= . 3 → → 2 |AB| |AC| B.直角三角形 D.三边均不相等的三角形 )

所以△ABC 为等边三角形. 题型二 平面向量在三角函数中的应用 例2 已知在锐角△ABC 中,两向量 p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+sin

A),且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2)求函数 y=2sin2B+cos? C-3B? ? 2 ?取最大值时,B 的大小.

思维启迪 向量与三角函数的结合往往是简单的组合. 如本题中的条件通过向量给出, 根据 向量的平行得到一个等式.因此这种题目较为简单. 解 (1)∵p∥q, ∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A)=0, 3 3 ∴sin2A= ,sin A= , 4 2 ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60° . C-3B? (2)y=2sin2B+cos? ? 2 ? 180° -B-A-3B? =2sin2B+cos? 2 ? ?

=2sin2B+cos(2B-60° ) =1-cos 2B+cos(2B-60° ) =1-cos 2B+cos 2Bcos 60° +sin 2Bsin 60° 1 3 =1- cos 2B+ sin 2B=1+sin(2B-30° ), 2 2 当 2B-30° =90° ,即 B=60° 时,函数取最大值 2. 思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键, 准确利用向量的坐标运算化简已知 条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决. △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,设向量 m=(a+b, sin C),n=( 3a+c,sin B-sin A),若 m∥n,则角 B 的大小为________. 5π 答案 6 a b c 解析 ∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C( 3a+c)=0,又∵ = = , sin A sin B sin C 则化简得 a2+c2-b2=- 3ac, a2+c2-b2 3 5π ∴cos B= =- ,∵0<B<π,∴B= . 2ac 2 6 题型三 平面向量在解析几何中的应用 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 → 1→ → 1→ Q,且(PC+ PQ)· (PC- PQ)=0. 2 2 (1)求动点 P 的轨迹方程; → → (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求PE· PF的最值. 思维启迪 (1)直接利用数量积的坐标运算代入; → → (2)将PE· PF转化为关于 y 的函数,求函数的最值. 解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). → 1→ → 1→ 由(PC+ PQ)· (PC- PQ)=0, 2 2 1 → → 得|PC|2- |PQ|2=0, 4 1 即(x-2)2+y2- (x-8)2=0, 4 x2 y2 化简得 + =1. 16 12 x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12 → → → → → → (2)∵PE=PN+NE,PF=PN+NF, → → 又NE+NF=0. → → →2 →2 ∴PE· PF=PN -NE =x2+(y-1)2-1 y2 =16(1- )+(y-1)2-1 12 例3

1 =- y2-2y+16 3 1 =- (y+3)2+19. 3 ∵-2 3≤y≤2 3. → → ∴当 y=-3 时,PE· PF的最大值为 19, → → 当 y=2 3时,PE· PF的最小值为 12-4 3. → → 综上:PE· PF的最大值为 19; → → PE· PF的最小值为 12-4 3. 思维升华 平面向量与平面解析几何交汇的题目, 涉及向量数量积的基本运算, 数量积的求 解以及轨迹、 直线和圆、 直线和椭圆中最值等问题, 解决此类问题应从向量的坐标运算入手, 这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法. → → 已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正半轴上,点 M 满足PA· AM 3 → → =0,AM=- MQ,当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程. 2 解 设 M(x,y)为所求轨迹上任一点, 设 A(a,0),Q(0,b)(b>0), → 则PA=(a,3), → → AM=(x-a,y),MQ=(-x,b-y), → → 由PA· AM=0,得 a(x-a)+3y=0.① 3→ → 由AM=- MQ, 2 3 得(x-a,y)=- (-x,b-y) 2 3 3 =( x, (y-b)), 2 2 3 x x-a= x, a=- , 2 2 ∴ ∴ 3 3 y y= y- b, b= . 2 2 3 x x x 把 a=- 代入①,得- (x+ )+3y=0, 2 2 2 1 整理得 y= x2(x≠0). 4

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题型四 平面向量在物理中的应用 例4 25 在长江南岸渡口处,江水以 km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂 2

直地渡过长江,则航向为________. 思维启迪 题中涉及的三个速度(向量):江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度,三个 速度的关系是本题的核心. 答案 北偏西 30° → → 解析 如图所示,渡船速度为OB,水流速度为OA,

→ 船实际垂直过江的速度为OD, → 25 → 依题意知|OA|= ,|OB|=25. 2 → → → ∵OD=OB+OA, → → → → →2 ∴OD· OA=OB· OA+OA , → → → → ∵OD⊥OA,∴OD· OA=0, 25 25 ∴25× cos(∠BOD+90° )+( )2=0, 2 2 1 1 ∴cos(∠BOD+90° )=- ,∴sin∠BOD= , 2 2 ∴∠BOD=30° ,∴航向为北偏西 30° . 思维升华 在使用向量解决物理问题时要注意: (1)认真分析物理问题,深刻把握物理量之间的相互关系; (2)通过抽象、概括,把物理问题转化为与之相关的向量问题; (3)利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解; (4)利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题. 质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已 知 F1,F2 成 60° 角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为________. 答案 2 7 解析 方法一 由已知条件 F1+F2+F3=0,
2 2 则 F3=-F1-F2,F2 =28. 3=F1+F2+2|F1||F2|cos 60°

因此,|F3|=2 7. → 方法二 如图,|F1F2|2=|F1|2+ |F2|2-2|F1||F2|cos 60° =12, → 2 → 2 → 2 则|OF1| +|F1F2| =|OF2| , 即∠OF1F2 为直角, ?|F→ ? 1F2|?2=2 7. |F3|=2 F2 1+ ? ? 2 ?

高考中以向量为背景的创新题 α· β 典例: (1)(5 分)对任意两个非零的平面向量 α 和 β, 定义 α?β= .若两个非零的平面向量 a, β· β π π n b 满足 a 与 b 的夹角 θ∈( , ),且 a?b 和 b?a 都在集合{ |n∈Z}中,则 a?b 等于( ) 4 2 2 5 3 1 A. B. C.1 D. 2 2 2 n 思维启迪 先根据定义表示出 a?b 和 b?a,利用其属于集合{ |n∈Z},将其表示成集合中元 2

π π 素的形式,两式相乘即可表示出 cos θ,然后利用 θ∈( , )确定 cos θ 的取值范围,结合集 4 2 合中 n∈Z 的限制条件即可确定 n 的值,从而求出 a?b 的值. a· b |a||b|cos θ |a| b· a |a||b|cos θ |b| 解析 根据新定义,得 a?b= = = cos θ,b?a= = = cos θ. b· b |b|2 |b| a· a |a|2 |a| n n1 n2 又因为 a?b 和 b?a 都在集合{ |n∈Z}中,设 a?b= ,b?a= (n1,n2∈Z),那么(a?b)· (b?a) 2 2 2 n1n2 =cos2θ= , 4 π π 又 θ∈( , ),所以 0<n1n2<2. 4 2 n1 1 所以 n1,n2 的值均为 1.故 a?b= = . 2 2 答案 D (2)(5 分)设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积 a?b=(a1b1,a2b2),已知向量 m 1 π =(2, ),n=( ,0),点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动,Q 是函数 y=f(x)图象上的点, 2 3 → → 且满足OQ=m?OP+n(其中 O 为坐标原点),则函数 y=f(x)的值域是________. → → 思维启迪 根据定义先写出 m?OP,进而求出OP,确定函数 y=f(x)的解析式. 解析 设 Q(c,d),由新的运算可得 1 π → → OQ=m?OP+n=(2x, sin x)+( ,0) 2 3 π 1 =(2x+ , sin x), 3 2 π c=2x+ , 3 由 消去 x 得 1 d= sin x, 2 1 1 π d= sin( c- ), 2 2 6 1 1 π 所以 y=f(x)= sin( x- ), 2 2 6 1 1? 易知 y=f(x)的值域是? ?-2,2?. 1 1 - , ? 答案 ? ? 2 2?

? ? ?

温馨提醒 解答创新型问题, 首先需要分析新定义的特点, 把新定义所叙述的问题的本质弄 清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的关键所在

方法与技巧 1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运 用向量的有关知识可以解决某些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一

类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类 问题的一般方法. 3.向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化 为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问 题. 失误与防范 1.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价. 2.注意向量共线和两直线平行的关系;两向量 a,b 夹角为锐角和 a· b>0 不等价.

A 组 专项基础训练 一、选择题 → → → 1.已知 P 是△ABC 所在平面内一点,若CB=λPA+PB,其中 λ∈R,则点 P 一定在( A.△ABC 的内部 C.AB 边所在直线上 答案 B → → → 解析 由题意知:CB-PB=λPA, → → → → → → → 即CB+BP=λPA,∴CP=λPA,即CP与PA共线, ∴点 P 在 AC 边所在直线上. → → → →2 2.在△ABC 中,(BC+BA)· AC=|AC| ,则△ABC 的形状一定是 A.等边三角形 C.直角三角形 答案 C → → → →2 解析 由(BC+BA)· AC=|AC| , → → → → 得AC· (BC+BA-AC)=0, → → → → → → 即AC· (BC+BA+CA)=0,2AC· BA=0, → → ∴AC⊥BA,∴A=90° . → → 又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|, 故△ABC 一定是直角三角形. 3.已知|a|=2|b|,|b|≠0 且关于 x 的方程 x2+|a|x-a· b=0 有两相等实根,则向量 a 与 b 的夹 角是 π A.- 6 答案 D 解析 由已知可得 Δ=|a|2+4a· b=0, π B.- 3 π C. 3 2π D. 3 ( ) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 B.AC 边所在直线上 D.BC 边所在直线上 )

(

)

即 4|b|2+4· 2|b|· |b|cos θ=0, 1 2π ∴cos θ=- ,又∵0≤θ≤π,∴θ= . 2 3 → → 4.已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足PA· PB=x2,则点 P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ( )

答案 D → → 解析 PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y), →→ ∴PA· PB=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x+6. π 5. 若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象如图所示, 2 → → M, N 分别是这段图象的最高点和最低点, 且OM· ON=0(O 为坐标原点), 则 A 等于 π A. 6 答案 B π 7 解析 由题意知 M( ,A),N( π,-A), 12 12 → → π 7 又OM· ON= × π-A2=0, 12 12 7 ∴A= π. 12 二、填空题 → → 6.(2013· 天津)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60° ,E 为 CD 的中点.若AC· BE= 1,则 AB 的长为________. 1 答案 2 → → 解析 在平行四边形 ABCD 中,取 AB 的中点 F,则BE=FD, → → → 1→ → → → ∴BE=FD=AD- AB,又AC=AD+AB, 2 → → → → → 1→ ∴AC· BE=(AD+AB)· (AD- AB) 2 1 1 → → → → → → =AD2- AD· AB+AD· AB- AB2 2 2 1→ → 1→ → =|AD|2+ |AD||AB|cos 60° - |AB|2 2 2 1 1→ 1→2 =1+ × |AB|- |AB| =1. 2 2 2 1 →?→ → → 1 ∴? ?2-|AB|?|AB|=0,又|AB|≠0,∴|AB|=2. 7.已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物 体保持平衡,再加上一个力 f4,则 f4=________. 答案 (1,2) ( B. 7 π 12 C. 7 π 6 D. 7 π 3 )

解析 由物理知识知:f1+f2+f3+f4=0, 故 f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).

8.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点 P(x,y)满足不等式 → → → → → → 0≤OP· OM≤1,0≤OP· ON≤1,则 z=OQ· OP的最大值为________. 答案 3 → → → 解析 OP=(x,y),OM=(1,1),ON=(0,1), → → → → ∴OP· OM=x+y,OP· ON=y, ? ?0≤x+y≤1, 即在? 条件下,求 z=2x+3y 的最大值,由线性规划知识,当 x=0,y=1 ?0≤y≤1 ? 时,zmax=3. 三、解答题 9.已知△ABC 中,∠C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上一点,且 AE=2EB, 求证:AD⊥CE. 证明 建立如图所示的直角坐标系, 设 A(a,0),则 B(0,a),E(x,y). a ∵D 是 BC 的中点,∴D(0, ). 2 → → 又∵AE=2EB,即(x-a,y)=2(-x,a-y), ? ?x-a=-2x, a 2 ∴? 解得 x= ,y= a. 3 3 ?y=2a-2y, ? a a → ∵AD=(0, )-(a,0)=(-a, ), 2 2 → → a 2 OE=CE=( , a), 3 3 a 2 a → → ∴AD· CE=-a× + a× 3 3 2 1 2 1 2 =- a + a =0. 3 3 → → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE. π 3π 10.已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),其 α∈( , ). 2 2 → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值. π → → (2)若AC· BC=-1,求 tan(α+ )的值. 4 → 解 (1)∵AC=(cos α-3,sin α), → BC=(cos α,sin α-3), → ∴|AC|= ?cos α-3?2+sin2α = 10-6cos α, → |BC|= 10-6sin α. → → 由|AC|=|BC|得 sin α=cos α, π 3π 5 又 α∈( , ),∴α= π. 2 2 4 → → (2)由AC· BC=-1,

得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 π 2 ∴sin α+cos α= ,∴sin(α+ )= >0. 3 4 3 π 3π 由于 <α< , 2 2 3π π π 7 ∴ <α+ <π,∴cos(α+ )=- . 4 4 4 3 π 14 故 tan(α+ )=- . 4 7 B 组 专项能力提升 1 1.(2013· 浙江)设△ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 P0B= AB,且对于边 AB 上任一点 P, 4 → → → → 恒有PB· PC≥P0B· P0C,则 ( ) A.∠ABC=90° C.AB=AC 答案 D 解析 设 BC 中点为 M, → →? ?→ → ? → → ?PB 则PB· PC=? +PC?2-?PB-PC?2 ? 2 ? ? 2 ? → 2 1→2 =PM - CB , 4 1→ → → → 同理P0B· P0C=P0M2- CB2, 4 → → → → ∵PB· PC≥P0B· P0C恒成立, → → ∴|PM|≥|P0M|恒成立. 即 P0M⊥AB, 1 取 AB 的中点 N,又 P0B= AB, 4 则 CN⊥AB,∴AC=BC.故选 D. 15 → → 2. 已知在△ABC 中, AB=a, AC=b, a· b<0, S△ABC= , |a|=3, |b|=5, 则∠BAC=________. 4 答案 150° → → 解析 ∵AB· AC<0,∴∠BAC 为钝角, 1 15 又 S△ABC= |a||b|sin∠BAC= . 2 4 1 ∴sin∠BAC= ,∴∠BAC=150° . 2 3.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点, → → 则|PA+3PB|的最小值为________. 答案 5 解析 方法一 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面 直角坐标系,设 DC=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), B.∠BAC=90° D.AC=BC

→ → PA=(2,-x),PB=(1,a-x), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. → → 方法二 设DP=xDC(0<x<1). → → ∴PC=(1-x)DC, → → → → → PA=DA-DP=DA-xDC, → → → → 1→ PB=PC+CB=(1-x)DC+ DA. 2 → → 5→ → ∴PA+3PB= DA+(3-4x)DC, 2 25 → 5 → → → → → |PA+3PB|2= DA2+2× ×(3-4x)DA· DC+(3-4x)2· DC2 4 2 → =25+(3-4x)2DC2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. 4.已知点 A(2,0),B(0,2),C(cos α,sin α),且 0<α<π. → → → → (1)若|OA+OC|= 7,求OB与OC的夹角; → → (2)若AC⊥BC,求 tan α 的值. → → 解 (1)因为|OA+OC|= 7, 1 所以(2+cos α)2+sin2α=7,所以 cos α= . 2 π 又因为 α∈(0,π),所以 α=∠AOC= . 3 π π → → 又因为∠AOB= ,所以OB与OC的夹角为 . 2 6 → → (2)AC=(cos α-2,sin α),BC=(cos α,sin α-2). → → → → 因为AC⊥BC,所以AC· BC=0, 1 所以 cos α+sin α= ,① 2 3 2 1 所以(cos α+sin α) = ,所以 2sin αcos α=- . 4 4 π 又因为 α∈(0,π),所以 α∈( ,π). 2 7 因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α= ,cos α-sin α<0, 4 7 所以 cos α-sin α=- .② 2 1- 7 1+ 7 由①②得 cos α= ,sin α= , 4 4 4+ 7 所以 tan α=- . 3 5. 如图所示,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的一动点, → → → → 过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且QP· QF=FP· FQ. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

→ → → → (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 l 于点 M.已知MA=λ1AF,MB=λ2BF, 求 λ1+λ2 的值. 解 (1)设点 P(x,y),则 Q(-1,y), → → → → 由QP· QF=FP· FQ,得 (x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y),化简得 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x. (2)设直线 AB 的方程为 x=my+1(m≠0). 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),又 M(-1,- ), m ?y2=4x, ? 联立方程? 消去 x,得 ?x=my+1, ? y2-4my-4=0,Δ=(-4m)2+16>0, ? ?y1+y2=4m, 故? ?y1y2=-4. ? → → → → 由MA=λ1AF,MB=λ2BF,得 2 2 y1+ =-λ1y1,y2+ =-λ2y2,整理,得 m m 2 2 λ1=-1- ,λ2=-1- , my1 my2 2 1 1 2 y1+y2 所以 λ1+λ2=-2- ( + )=-2- · m y1 y2 m y1y2 2 4m =-2- · =0. m -4


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