第1章随机事件及其概率


★第一节 随机事件及其运算 ★第二节 随机事件的概率 ★第三节 条件概率 ★第四节 事件的独立性

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第一章 随机事件及随机事件的概率

第一章 随机事件及其概率
[教学要求]:

1、掌握随机试验,样本空间和随机事件的概念; 熟
悉事件乊间的关系与运算;

2、正确理解随机事件的概率定义,熟记概率性质;
3、熟练掌握古典概型的三类问题: (1).摸球问题;(2).分房问题;(3).随机取数问题.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

4、掌握条件概率和有关条件概率的三个公式:
乘法公式、全概率公式和贝叶斯(逆概率)公式. 5、掌握随机事件和随机试验的独立性概念,并能熟 练运用; 6、了解事件的互逆,互不相容(互斥)和相互独立三者

乊间的关系.
[学时数]:10
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第一章 随机事件及随机事件的概率

第一节 随机事件及其运算
一、基本概念
[ 随机试验 ] 具有下列特性的试验称为随机试验(记为E ): 1、试验的可能结果不止一个,但能事先明确试验 的所有可能的结果; 2、进行某一次试验之前,不能确定哪个结果会发生; 3、试验可以在相同条件下重复进行.
不满足3的试验称为不可重复的随机试验;同时满足 1,2,3的称为可重复的.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[复合试验 ] 由一串(简单)试验依次各做一次所组成的试验. 记为:

E ? E1 ? E2 ??? En

[例1.1]: 设有如下试验:

E1 : E2 :

掷一枚硬币,观察正(H)反(T)出现的情况; 袋中有编号为1, 2, …, n 的n个球,从中任取 一个球,观察球的编号;
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第一章 随机事件及随机事件的概率

E3 :

一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有区

间[0,3)上诸数字,在桌面上旋转它,当它停下来时,
观察圆周与桌面接着处的刻度;

E4 : 将一枚硬币连抛三次,观察正面出现的情况;
显然, 上面给出的四个试验都是随机试验,它们均 满足定义,且

E 4 是复合试验.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[随机事件] 在一次试验中,可能发生也可能不发生,而在大

量的重复试验中具有某种统计规律性的事情称为随
机事件(简称事件),常以大写字母A, B, C的表示. [必然事件] 每次试验中必然发生的事情. 记为S(或 ? ) [不可能事件] 每次试验中必然不发生的事情. 记为 ?
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[基本事件]
试验的每一个可能的结果.(也叫样本点)记为e.

注 意:
(i)必然事件与不可能事件本来是描述绝对型现象 的,但为了方便,把它们看作特殊的随机事件; (ii)基本事件是最简单的随机事件,试验中的任何事 件都是由基本事件组成的.

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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.2] 在E1中, A={出现正面}是随机事件,且是基本
事件; 在E2中, A1={取的号码数小于3}是随机事件, A2={取的号码数大于0}是必然事件, A3={取的号码数 小于1}是不可能事件, A4={取的号码是n}是基本事件.

[样本空间]
在随机试验E中, 基本事件(样本点)的全体所
组成的集合称为样本空间,记为S(或 ). ?

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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.3]

求[例1.1]试验的样本空间:

解: E1的样本空间 S1={H,T}; E2的样本空间 S2={1,2,…n}; E3的样本空间S3=[0 , 3);

E4的样本空间
S4= {(H T T), {T H T), (T T H), (H H T), (H T H), (T H H), (H H H), (T T T)}

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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.4 ] 袋中有5只球. 其中有三只红球, 编号为1, 2, 3; 有二只黄球, 编号为一, 二.现从中任取一只球, E1: 观察 颜色; E2: 观察号码. 试分别写出E1和E2的样本空间. 解: E1的样本空间S1={红, 黄}; E2的样本空间S2={1, 2, 3 ,一, 二}. 注 意: (i)样本空间是由随机试验决定的,不同的试 验具有不同的样本空间; (ii)样本空间可以是各种对象的集合,即可以 是数集也可以不是数集.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

二、事件之间的关系与运算 设E是随机试验, S是样本空间, 也表示必然事 件,Φ表示不可能事件,也表示空集. A, B, Ai(i=1, 2, ?) 是E的事件. 1. 子事件: 若A发生, 则B发生. 称A是B的子事件.

记为A ? B, ( B ? A)
2. 相等事件: 若A ? B, (即A ? B且B ? A), 则称A与B是相等事件,记为A ? B 3.和(并)事件: 表示A与B中至少有一个发生的事件.

记为A ? B, ( A ? B)
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第一章 随机事件及随机事件的概率

推 广: 可列个(或有限个)事件中至少有一个发生的 事件称为这可列个(或有限个)的和事件.记为:

?A
i ?1

?

i

或 (? Ai ? A1 ? A2 ??? An )
i ?1

n

4. 积(交)事件: 表示A与B同时发生的事件.记为:

A ? B, ( AB )
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第一章 随机事件及随机事件的概率

推广:
n

有限个(或可列个)事件同时发生的事件
?

称为有限个(或可列个)事件的积事件. 记为:
i ?1

? Ai ? A1 ? A2 ? ? ? An , ( ? Ai )
i ?1

5. 差事件: 表示A发生而B不发生的事件. 记为: A - B 6. 互不相容事件: 若A与B不能同时发生, 即AB=Φ, 则称A与B是 互不相容事件(或称为互斥事件).
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第一章 随机事件及随机事件的概率

7. 对立事件: 若A与B中有且仅有一个发生,即A∪B=S且

AB=Φ,则称A与B是对立事件,或B是A的对立事件,A
的对立事件记为 A (A,B互为对立事件). 注 意: (i)事件是由基本事件组成的,故它是样本空间的子 集,事件之间的关系与运算完全与集合之间的关系和 运算一致, 请见下表: (ii)事件运算的性质完全相同于集合运算的性质.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

记 Ω Φ ω



A
A

概率论 样本空间, 必然事件 不可能事件 基本事件(样本点) A 的对立事件 事件 A是 A与 A与 A与 A与 A与 B 的子事件 B 是相等事件 B 的和事件 B 的积事件 B 的差事件 B 互不相容

集合论 空间 空集 元素 A 的余集 子集 A是 A与 A与 A与 A与 A与 B 的子集 B 是相等集合 B 的并集 B 的交集 B 的差集 B 无相同元素
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A? B
A=B

A? B

A? B
A-B AB=Φ

第一章 随机事件及随机事件的概率

[事件运算的规则]
设A、B、C为三事件,则: 1. 交换律: 2.结合律:

A? B ? B ? A

A? B ? B ? A

? A ? B ? ? C ? A ? ?B ? C ?
? A ? B ? ? C ? A ? ?B ? C ?
? A ? B ? ? C ? ? A ? C ? ? ?B ? C ? ? A ? B ? ? C ? ? A ? C ? ? ?B ? C ?
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3.分配律:

第一章 随机事件及随机事件的概率

设Ai是有限个或可列个事件, 则: 4.(隶莫根定理):

? Ai ? ? Ai
i i

? Ai ? ? Ai
i i

特别有:

A1 ? A2 ? A1 ? A2 ; A1 ? A2 ? A1 ? A2
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第一章 随机事件及随机事件的概率

设A, B为任意二事件, 易证:
(1). A? B ? A? ( B ? AB ) ? A? B A

A( B ? AB ) ? ?, A? ( B A) ? ?
(2). A ? AB ? AB, ( AB ? AB ? ?) (3). (4).

A ? B ? AB

A? B? A? B

(5). A ? B ? B ? A ? ( B ? A), { A( B ? A) ? ?}

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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.5 ] 设A, B , C为三事件,试用事件的运算关系
表示下列事件: (1)A, B C 都发生;

(2)A, B , C都不发生;
(3)A, B, C中至少有一个发生;

(4)A, B, C中最多有一个发生;
(5)A, B, C中至少有两个发生;

(6)A, B, C中最多有两个发生.

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第一章 随机事件及随机事件的概率

解: (1) {A, B, C都发生} = ABC (2){A, B, C都不发生} = { A, B, C 都发生}

? A? B ?C
(3){A, B, C中至少有一个发生} =

{ A BC ? ABC ? A BC} ? { ABC ? A BC ? AB C} ? ( ABC ) ? A? B ?C

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第一章 随机事件及随机事件的概率

(4){A,B,C中最多有一个发生}={A,B,C都不发生或只
有一个发生}

? ABC ? ABC ? ABC ? ABC
(5){A,B,C中至少有两个发生}

? { AB C ? A BC ? ABC} ? ( ABC ) ? AB ? BC ? AC
(6){A,B,C中最多有两个发生}
? A BC ? { A BC ? ABC ? A BC} ? { ABC ? A BC ? ABC} ? ABC ? A ? B ? C
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?

?

第一章 随机事件及随机事件的概率

注 意:
(i)我们所考虑的事件的运算是对同一个试验 中的事件而言的;

(ii)事件A不发生, 则它的对立事件一定发生;
(iii)只要事件A包含的基本事件出现,就说A发生.

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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.6]

E: 某地区有100人是1920年出生的,考察

到2010年还有几个人活着.

(1) E的样本空间是什么?
(2)设A={只有5人活着}; B={至少有5人活着};

C={最多有4人活着}.
则A与B, A与C, B与C是否互不相容?A, B, C的对立

事件是什么?
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第一章 随机事件及随机事件的概率

解(1)

e0={无人活到2010年},

e1={有1人活到2010年},
e2={有2人活到2010年},









e100={有100人活到2010年} 这就是E的所有可能结果(基本事件),E的样本空 间有上面101个基本事件构成,即:

S ? {e0 , e1 , e2 ,?e100 }
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第一章 随机事件及随机事件的概率

(2)

A ? {e5 }, B ? {e5 , e6 ,?e100 }, C ? {e0 , e1 , e2 , e3 , e4 }
由于:

AB ? {e5 } ? ?, AC ? ?, BC ? ?

故A与B相容, A与C, B与C都互不相容, 且:

A ? S ? A ? {e0 , e1 , e2 , e3 , e4 , e6 ,?, e100 } B ? S ? B ? {e0 , e1 , e2 , e3 , e4 } ? C C ? B ? {e5 , e6 ,?, e100 }
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第一章 随机事件及随机事件的概率

第二节 随机事件的概率
一、概率的统计定义 1.频率 设事件A在n次重复独立试验中发生了rA次,

则比值rA/n叫做n次试验中A发生的频率,记作:

W (A) = r A / n
由定义知频率具有如下性质:

1 .0 ? w( A) ? 1
0

2 .w( S ) ? 1
0

w(? ) ? 0
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第一章 随机事件及随机事件的概率

注 意:
(1) 频率越大,A发生的可能性越大,并且,频 率具有稳定性,即当试验次数n充分大时,频率 w(A)在[0, 1]上的某一个确定的数p附近摆动,即

以p为“稳定中心”,这时 w(A)≈p. (2) A发生的可能性大小称为A的概率.由频率
的特性知,事件发生的可能性大小是事件本身所固 有,不以人们主观意志而改变的客观属性,于是我 们可以借助于频率来定义概率.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

2.概率的统计定义
定义1 随着试验次数n的增大,事件A发生的频率w(A)在[0, 1]
上某一个数p附近摆动,则定义事件A的概率为p,记为P(A)=P.

3.概率的性质
设E为试验, S为样本空间, 也表示必然事件, Φ表示不可 能事件, A, B, Ai (i=1,2, …)表示事件,则有:

(1)0 ? p ( A) ? 1;

(2) p(S ) ? 1; p(?) ? 0
(3)若Ai(i=1,2,…)是有限个两两互不相容事件,则有:
p(? Ai ) ? ? p( Ai )
i ?1 i ?1 n n

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第一章 随机事件及随机事件的概率

二、古典概率 1.古典概型

设E是试验,S是E的样本空间,若满足
(1) S只含有有限多个样本点; (有限性) (2)每个基本事件发生的可能性相等.(等可能性) 则称E为古典概型或等可能概型.

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第一章 随机事件及随机事件的概率

2.概率的古典定义
定义2 设E是含有n个样本点的古典概型, 事件A包含r个样本点, 则A的概率为 : A中包含的样本点数 r P ( A) ? ? ?中所含样本点的总数 n 在古典概型下定义的事件概率称为古典概率.

3.古典概率的性质
(1)对任意事件A, 有0 ? P ( A) ? 1; (2)对必然事件?, 有P (?) ? 1; (3)对两两互不相容的事件A1 , A2 , ? Am , 有P (? Ai ) ? ? P ( Ai )
i ?1 i ?1 m m

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第一章 随机事件及随机事件的概率

三、几何概型
具有下列特点的概率问题称乊为几何概型: (1) 有一个可度量的几何图形S, 试验E看成在S中随 机地投掷一点, 即S为样本空间. 而事件A就是所 投掷的点落在S中的可度量图形A中. (2) 事件A的概率与A的度量L(A)成正比. 定义3 在几何概型下,事件A的概率定义为
L ( A) P ( A) ? L( S ) (其中:L表示测度, 即度量, 指长度, 面积或体积. )

几何概率也满足非负性,规范性,有限可加性.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

四、概率的公理化定义 定义4 设A是一非空集合, 且S={e}, F是S的一些子集 (不必是全体子集)所组成的集类,如果满足下面条件:

(1).S ? F ; ( 2). A ? F ? A ? F ; (3). Ai ? F (i ? 1,2, ?) ? ? Ai ? F
i ?1 ?

则称F为S上的一个σ事件域(σ代数),称F中的集A 为事件.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

定义5

设P(*)是事件域F上的实值集函数,对每一事

件A赋予一个实数P(A),若P(*)满足下面三条件:
(1). 对任意事件A∈F, 有0≤ P(A). (2). P(S)=1. (非负性) (完备性)

(3). ?Ai ? F (i ? 1,2, ?), Ai A j ? ?, i ? j , i, j ? 1,2, ?
有P (? Ai ) ? ? P ( Ai )
i ?1 i ?1 ? ?

(可列可加性)

则称P(A)为A的概率.这时称三元总体(S, F, P)为 概率空间.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

注意:
(i)概率的统计定义直观, 具体, 但不够严格,不便
于理论研究;公理化定义严格,便于理论研究,但比

较抽象,对农科学生只需了解此定义. (ii)概率的统计定义和公理化定义都未给出计
算概率的具体公式,而在实际应用中,有些特殊的

概率是可以用简单公式来计算的,如古典概率.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

概率的性质

TH 1 : 不可能事件的概率为 ,即P(?) ? 0 0
证明 : 在公理3中取Ai ? ? (i ? 1,2,?)
? ? ? ? ? ??? ?? 据公理3有:P(?) ? P(?) ? P(?) ? ? ? P(?)?

据公理2:P(?) ? 0

?P(?) ? 0
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第一章 随机事件及随机事件的概率

TH 2 : 概率具有有限可加性,即若A1 , A2 ,? An两两互不相容



P(? Ai ) ? ? P( Ai )
i ?1 i ?1

n

n

证明 : 在公理3中取An?1 ? An? 2 ? ? ? ?
则? Ai ? ? Ai
i ?1 i ?1
n

n

?

据公理3有:P(? Ai ) ? P(? Ai ) ? ? P( Ai ) ? 0 ? ?
i ?1 n i ?1 i ?1

?

n

? P(? Ai ) ? ? P( Ai )
i ?1 i ?1
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n

第一章 随机事件及随机事件的概率

TH 3 : 设 A为A的对立事件, 则P( A) ? 1 ? P( A)

证明 :

? A? A ? ?

AA ? ?

P ( A ? A) ? P ( A) ? P ( A) P ( A ? A) ? P (?) ? 1

则P( A) ? 1 ? P( A)
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第一章 随机事件及随机事件的概率

TH 4:若B ? A, 则P( B) ? P( A)

证明 : B ? A ? ? A ? B ? AB
而B ? AB ? ?

由TH 2, P( A) ? P( B) ? P( AB) ? P(B) ? P( A) ? P( B)
A
B

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第一章 随机事件及随机事件的概率

推论1 : 对任意事件A, 有P( A) ? 1
推论2 : 当B ? A时, 有P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
推论3 : 对任意事件A, B, 有P( A ? B) ? P( A) ? P( AB)

证明: A ? AB ? AB且AB ? AB ? ? ?

? P( A) ? P( AB) ? P( AB)
则P ( A B ) ? P ( A) ? P ( AB) 即P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( AB)
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第一章 随机事件及随机事件的概率

TH 5 : 对于任意两个事件A, B, 有P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB)
证明:

(加法定理)

? A ? B ? AB ? AB ? AB

? P( A ? B) ? P( AB) ? P( AB) ? P( AB)
? P( A ? B) ? P( AB) ? P( B ? A)

? P( A) ? P( AB) ? P( AB) ? P( B) ? P( AB)
? P( A) ? P( B) ? P( AB)
AB

AB

AB

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第一章 随机事件及随机事件的概率

推论1 : 对任意三个事件A, B, C , 有 P( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? P ( AB) ? P ( AC ) ? P( BC ) ? P ( ABC )

推论2 : 一般地, 对任意n个事件A1 , A2 ,? An , 有 p(? Ai ) ? ? p( Ai ) ?
i ?1 i ?1 n n 1?i ? j ? n

? p( A A ) ? ? p( A A A )
i j 1?i ? j ?t ? n i j t

? ? ? (?1)

n ?1

p( A1 A2 ? An )

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第一章 随机事件及随机事件的概率

注意:
一般加法公式中的求和号“∑”是对一切满足1≤i<j<t <…≤n 的下标进行的.即积事件中各事件的排列次序是按下

标由小到大排列的,这样, n个事件按下标排列虽有n!种排法,
但只取其中一种即A1A2…An. 由此可计算出一般加法公式中, 含有总项数:
1 2 3 n n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn 0 ? (1 ? 1) n ? Cn ? 2 n ? 1

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第一章 随机事件及随机事件的概率

例1.7设随机事件A, B的概率P ( A) ? 0.4, P ( B ) ? 0.3 求下列情况下P ( A B )的值 : (1) A, B互不相容; ( 2) B ? A; (3) P ( AB) ? 0.12

解: AB ? A ? B ?
? P( AB) ? P( A ? B)

由推论 3

? P ( A) ? P ( AB)

( ) AB ? ?, 则P ( AB) ? 0 1? ? P ( A B ) ? P ( A ) 0 .4 ? ( 2) ? B ? A

? P ( A B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.1

(3) P( AB) ? P( A) ? P( AB) ? 0.28
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第一章 随机事件及随机事件的概率

例1.8 某城市共发行A,B,C三种报纸.调查表明居民家庭中订购C 报的占30%.同时订A,B两报的占10%,同时订A,C及B,C两报的各 8%,5%.三报都订的占3%.今在该城中任找一户.问该户(1)只订 A,B两报;(2)只订C报的概率各为多少?

解 : (1) P (只订A, B两报) ? P( ABC ) ? P( AB ? C ) ? P( AB) ? P( ABC) ? 10% ? 3% ? 7%

(2)P(只订C报) ? P(C AB) ? P(C A ? B) ? P(C ? A ? B)
? P(C ) ? P(C ( A ? B)) ? P(C ) ? P(CA ? CB)
? P(C ) ? [ P(CA) ? P(CB) ? P(CAB)]

? 30% ? [8% ? 5% ? 3%] ? 20%
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第一章 随机事件及随机事件的概率

古典概率的计算
1. 古典概型是一种非常重要的概率模型,在概率论发展 的初期曾经是主要的研究对象,今天仍是学习概率统 计的基础.在实际问题中如何判断一个试验是否是古 典概型呢?有限性往往比较容易判断,主要是等可能性 的问题.在样本空间中,当没有理由认为某些基本事件 发生的可能性比另一些基本事件出现的可能性大时, 我们可以认为每个基本事件出现的可能性相等,即都 等于1/n. 2. 按古典概型公式计算出的概率符合概率的统计定义,即 是频率的“稳定中心”;同时P(A)满足公理化定义的三 公理.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

3. 古典概率的计算步骤: (1). 弄清随机试验是什么? (判断有限性和等可能性); (2). 样本空间S是怎样构成的? (对于复杂问题,只要求

求出基本事件的个数n),
(3). 考察所讨论的事件A. (求出A所含的基本事件个数r); (4). 利用公式P(A)= r/ n , 计算出P(A).

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第一章 随机事件及随机事件的概率

一、 摸球问题 (产品的随机抽样问题 ) [例1.9] 袋中有5个红球, 3个黄球, 从中一次随机地

摸出两个球, 求摸出的两球都是红球的概率. 解: E: 从(5+3)个球中等可能地任取两球, 观察颜色.
2 2 n ? C5?3 ? C8 S含有基本事件数为:

设 A={所取二球全红}, 则A含有的基本事件个数为:

r?

2 C5

C52 5 r ? 2 ? ? P( A) ? n C8 14
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.10] 袋中有编号为1, 2, …, 10的十个球,从中一次 任意取出三个球,试求取出的三球中恰好是一个编号小 于5, 一个编号大于5, 一个编号等于5的概率. 解: E: 从10个球中任取三个观察编号. S含有的基本事件数为:

n ? c10
3

设 A={所取三球中,一个小于5,一个大于5,一个等于5} 则A含有的基本事件数为:

r ? c4 ? c5 ? c1
1 1

1

1 1 r c1 ? c5 ? c1 1 ? P( A) ? ? 4 3 ? c10 6 n
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.11] 某人有5把钥匙,其中有2把房门钥匙,但忘了开房门的是 哪二把,只好逐把试开.问此人在三次内打开房门的概率是多少? 解: E: 从5把钥匙中任意选三把(每次一把)逐把试开放门 (试后不放回). S含有的基本事件总数为:
1 n ? c51 ? c4 ? c31 ? 60 (? P53 )

设 A={三次内打开房门}, A = {三次都打不开房门}

则 A 含有的基本事件数为:

c3 ? c2 ? c1 ? 6
1 1 1

6 1 ? P ( A) ? ? 60 10

1 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? 0.9 10
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.12]

盒中有6只灯泡,其中有2只次品,4只正品,有放回地

从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率:
A={取到的二只都是次品} B={取到的二只中正、次品各一只} C={取到的二只中至少有一只正品} 解: E: 从6只灯泡中有放回地抽取2只,观察正品与次品出现 情况. S含有的基本事件总数为:

n ? 62 ? 36
A含有的基本事件数为:

r ? 2? 2 ? 4
r 4 1 ? P( A) ? ? ? n 36 9
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第一章 随机事件及随机事件的概率

设 B1={第一次取正品,第二次取次品}
B2={第一次取次品,第二次取正品} B=B1∪B2, 显然B1与B2互不相容

4? 2 2? 4 4 ? P( B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? ? ? 36 36 9

C?A 1 8 ? P (C ) ? 1 ? P (C ) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? ? 9 9
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.13] C的概率.

将[例1.12]中的有放回地抽取两次,改

为无放回地抽取两次,其它条件不变,试求A, B,

解: E: “从6只灯泡中无放回地抽取两次,每次一只, 观察正品与次品发生的情况”. S含有的基本事 件总数为:
1 1 n ? A6 ? A5 ? 6 ? 5 ? 30

A含有的基本事件数为:
1 r ? A2 ? A1 ? 2 1

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第一章 随机事件及随机事件的概率

B含有的基本事件数为:

A4 ? A2 ? A2 ? A4 ? 16
1 1 1 1

C?A
2 1 16 8 ? P( A) ? ? , P( B) ? ? 30 15 30 15 1 14 P(C ) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? 15 15
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第一章 随机事件及随机事件的概率

*[例1.14]

将[例1.12]中的取法改为一次抽取二只,

其它条件不变,试求A, B, C的概率. 解: E: “从6只灯泡中,一次取出二只,观察正品与次 品发生的情况”. S含有的基本事件总数为:
2 n ? c6 ? 15

A含有的基本事件数为:
B含有的基本事件数为:

c2 ? 1
2

c4 ? c2 ? 8
1 1

1 8 14 ? P( A) ? , P( B) ? , P(C ) ? 15 15 15
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第一章 随机事件及随机事件的概率

注 意:
从产品中任抽一件进行检验之后放回原产品 中,再抽一件进行检验,以至进行数次,这种抽取产 品的方式叫有放回抽样,若每次抽取的产品都不放 回原产品中,则叫无放回抽样.

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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.15]

袋中有a 个白球, b 个黑球,从中任意地连续一个一个

地摸出k+1个球(k+1≤a+b),每次摸出的球不放回袋中,试求最后 一次摸到白球的概率. 解: S含有的基本事件总数为:
k ?1 n ? Aa ?b

设 A={在摸出的k+1个球的排列中,最后一个是白球},

Aa1 ? Aak?b?1 则A含有的基本事件数为:
1 k Aa ? Aa ?b ?1 ? P ( A) ? k ?1 Aa ?b

a a ? (a ? b ? 1) ? (a ? b ? k ) ? ? a?b ( a ? b) ? ( a ? b ? k )
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第一章 随机事件及随机事件的概率

注 意:
[例1.15]中所求事件的概率与k无关,即每一 次摸到白球的概率是一样的,这是抽签问题的模型, 即抽签时各人机会均等,与抽签的先后顺序无关,

所以抽签不必争先恐后.

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第一章 随机事件及随机事件的概率

二、分房问题(球在盒中的分布问题)
[例1.16] 将张三, 李四, 王五3人等可能地分配到

三间房中去,试求每个房间恰有一人的概率. 解: E:将三人等可能地分配到三间房中去.

33 ? 27 S含有的基本事件总数为:
设 A={每个房间恰有一人},则A含有的基本事件数 为: 3!=6

3! 6 2 ? P( A) ? 3 ? ? 27 9 3
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.17] 将n个人等可能的分配到N(n≤N)间房

中的每一间去,试求下列事件的概率:
A={某指定的n间房中各有一人};

B={恰有n间房各有1人};
C={某指定的一间房中恰有m个人(m≤n)} 解: E: 将n个人等可能地分配到N间房中去 则S含有的基本事件总数为:

N

n

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第一章 随机事件及随机事件的概率

A含有的基本事件数为:

n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 1 ? n!

n! ? P ( A) ? n N
又B含有的基本事件数为:
n CN
n N

? n!

C ? n! ? P( B) ? n N
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第一章 随机事件及随机事件的概率

C含有的基本事件数为:

m Cn

? ( N ? 1)
n?m

n?m

? P (C ) ?

m Cn

? ( N ? 1) n N

注 意: 分房问题中的人与房子一般都是有个性的, 处理这类问题是将人一个一个地往房间里面分 配(看成复合试验).处理实际问题时,要分清什么 是“人”,什么是“房”,不可颠倒.常遇到的分

房问题有: n个人的生日问题; n封信装入n个信
封的问题(配对问题).分房问题有时也叫球在盒 中的分布问题.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.18]

某年级有10名大学生是1986年出生的,试求下

列事件的概率: (1). 至少有两人同年同月同日生; (2). 至少有一人在十月一日过生日.

解: E: 考察10人的生日是一年中的哪一天(将10人 的生日分配到一年的365天中去). S含有的基本事件总数为:

36510

(1). 设 A={至少有二人同年同月同日生};

A = {没有任何二人的生日是同一天}
则 A 含有的基本事件数为:
10 P365
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第一章 随机事件及随机事件的概率

10 P365 365 364 363 365 ? 9 ? P ( A) ? ? ? ? ??? 10 365 365 365 365 365 1 2 9 ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) 365 365 365 1? 2 ? 3 ??? 9 45 ? 1? ? 1? 365 365 45 ? P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ? (1 ? ) 365 45 ? ? 0.1233 365
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第一章 随机事件及随机事件的概率

(2). 设 B={至少有一人的生日在十月一日};

B ={无一人的生日在十月一日}.
B 含有的基本事件数为:
10

364 10
10

364 ? 364 ? ? P( B) ? ?? ? 10 365 ? 365 ?

? 0.9729

? P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 0.9729 ? 0.0271
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.19]

电话号码是由0, 1, 2, … 9等10个数字中

的任意i个(i=1,2,3,4,5)数字所排列成的五位数(包括0
排在首位),求号码由完全不同的数字组成的概率. 解:我们可以把电话号码的五个数看成5个人, 而把0,1,2,3,...9等10个数字看成10间房

10 5 故样本空间S含有的基本事件总数为:
设 A= {号码由5个完全不同的数字排列而成}
5 P 10

则A含有的基本事件数为:
5 P 10 5

189 ? P ( A) ? ? ? 0.3024 625 10
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第一章 随机事件及随机事件的概率

三、随机取数问题 [例1.20] 在0---9这十个数字中无重复地任意取4个

数字,试求所取的4个数字能组成四位偶数的概率.
解: E: 从十个数字中任取4个进行排列

则S含有的基本事件总数为:

A

4 10

设 A={排成的是四位偶数},则A含有的基本事件数为:

A ? A ? A ? A ? A ? 56 ? 41
1 5 3 9 1 1 1 4 2 8

56 ? 41 41 ? P( A) ? ? ? 0.4556 4 A10 90
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.21]

从1, 2, 3, 4, 5这五个数字中等可能地,

有放回地连续抽取3个数字,试求下列事件的概率:

A={三个数字完全不同};
B={三个数字中不含1和5}; C={三个数字中5恰好出现两次}; D={三个数字中至少有一次出现5}. 解: E: 从5个数字中有放回抽取3个数字.则S含有

的基本事件总数为: 53

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第一章 随机事件及随机事件的概率

考察A: 相当于从5个数字中任意选取3个进行排列,

故A含有的基本事件数为:A53

A 12 ? P( A) ? ? ? 0.48 5 25
考察B: 三个数字中不含1和5,只能在2, 3, 4三个数字
中选取,每次有3种取法,故B含又的基本事件数为: 33

3 5 3

3 27 ? P( B) ? 3 ? ? 0.216 125 5
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3

第一章 随机事件及随机事件的概率

考察C: 三个数字中5恰好出现两次,可以是三次中
2 的任意两次,出现的方式有3 种,剩下的一次只能 C 从1, 2, 3, 4中任取一个数字,有4种取法,故C含有

的基本事件数为:3 4 ? C2
2 4 ? C3 12 ? P (C ) ? ? ? 0.096 3 125 5

考察 D : D ={三个数字中,5一次也不出现},说明 三次抽取都是在1, 2, 3, 4中任取一个数字,故 D 有43个基本事件.
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第一章 随机事件及随机事件的概率 3

4 ? P ( D ) ? 3 ? 0.512 5

? P( D) ? 1 ? P( D) ? 1 ? 0.512 ? 0.488
[例1.22] 从1-100的一百个整数中任取一数,试求取

到的整数能被6或8整除的概率.
解: E: 从1, 2, 3, … ,100中任取一数.显然S含有100个 基本事件 设 A={取到的数能被6整除},B={取到的数能被8整

除},C={取到的数能被6或8整除}
显然:

C ? A? B
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第一章 随机事件及随机事件的概率

考察A: 设100个整数有x个能被6整除,则6x≤100,故
x=16即A含有16个基本事件; 考察B: 设100个整数中有y个能被8整除,则8y≤100,故 y=12即B含有12个基本事件; 考察AB: 能被6整除又能被8整除的数就是能被24整 除的数,设共有z个,则24z≤100,故z=4.即AB含有4个

基本事件.

? P(C ) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB ) 16 12 4 ? ? ? ? 0.24 100 100 100
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第一章 随机事件及随机事件的概率

几何概率的计算 [例1.23 ] 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有

[0 , 5) 上诸数字, 在桌面上旋转它, 求当它停下来时,
圆周与桌面接触处的刻度位于区间[2 , 2.5]上的概率. 解:

S = [0 , 5) , A= [2 , 2.5] , L(S) =5-0=5, L(A)=2.5-2=0.5

L( A) 0.5 ? P ( A) ? ? ? 0.1 L( S ) 5
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.24] (约会问题) 甲乙二人相约上午7点到8点乊间于某

地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离去. 试求两人能
会面的概率. 解: 设 x , y 分别表示甲乙二人到达会面地点的时间,则能 会面的充要条件是: 如果把以60为边长的正方形看成 样本空间S, 则A={两人能会面}就是不 y 60

| x ? y |? 20, (0 ? x ? 60,0 ? y ? 60)

等式所表示的区域,如右图所示.

L( A) 60 ? 40 5 ? P ( A) ? ? ? 2 L( S ) 9 60
2 2

A
20 o 20 60 x
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第一章 随机事件及随机事件的概率

例1.25( Buffon)投针问题 在平面上有距离为a (? 0) 的一组平行线.向平面上任意投掷一长为l (l ? a )的针, 求针与任一平行线相交的概率.
x
a 2

l
m

l x ? sin ? 2

?

a

x
?
0

A

?

?

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第一章 随机事件及随机事件的概率

解:设x表示针的中点m到最近一条平行线的距离, a 则0 ? x ? , ?表示针与平行线的夹角 0 ? ? ? ? ,则 2
a a ?由[0, ? ], [0, ]构成的矩形表示, 则L(?) ? ? 2 2 ? l l A ? {针与平行线相交} ? x ? sin ?, L( A) ? ? sin ?d? 2 2 0

P( A) ?

?

?

0

l sin ?d? 2l 2 ? ? ?a a 2
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第一章 随机事件及随机事件的概率

第三节 条件概率
一、条件概率 1.条件概率的定义 定义1 设试验E, S是E的样本空间, A, B是E的事件, 且P(A) > 0,则称 :

P ( AB ) P ( B / A) ? P ( A)

为事件A已发生的条件下, B发生的条件概率.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

注 意:
(i)条件概率满足概率的三公理, 具有概率的一般性质; (ii)对于古典概型, 若S由n个基本事件组成, A由m个基 本事件组成( m > 0), AB由k个基本事件组成, 则:
P ( AB ) k / n k P ( B / A) ? ? ? P ( A) m/n m

这时, 把作为条件的事件A=SA看作缩减的样本空间. (iii)定义可推广到:
P( A1 A2 ? Ai ) P( Ai / A1 A2 ? Ai ?1 ) ? , i ? 1,2, ? P( A1 A2 ? Ai ?1 ) P( A1 A2 ? Ai ?1 ) ? 0
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第一章 随机事件及随机事件的概率

2.条件概率的性质
(1)非负性 0 ? P( B / A) ? 1

(2)规范性
(3)可列可加性

P(? / A) ? 1
? ?

若事件Bi (i ? 1,2, ?)两两互不相容, 则P(? Bi / A) ? ? P( Bi / A)

(4) P(? / A) ? 0
(5) P( B / A) ? 1 ? P( B / A)

i ?1

i ?1

(6) P( B1 ? B2 / A) ? P( B1 / A) ? P( B2 / A) ? P( B1B2 / A)

(7)当B ? C时, P[(C ? B) / A] ? P(C / A) ? P( B / A)
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.26] 证: (1)

验证条件概率满足概率的三公理.

? AB ? A, P( AB) ? P ( A)
0 ? P( B / A) ? P( AB) ? 1
P( A)

P ( AS ) P ( A) ? ?1 (2) P ( S / A) ? P ( A) P ( A)
(3) Bi ? B j ? ? ? ( Bi A) ? ( B j A) ? ?
? P[(? Bi ) / A] ?
i ?1 ? ?

P (? Bi A)
i ?1

P ( A)
?

?

? P( B A)
i ?1 i

?

P ( A)

P( Bi A) ? ?? ? ? P( Bi / A) i ?1 P ( A) i ?1
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.27] 袋中有16个球,颜色与材料如下表所示:
木质球 红球
黄球

玻璃球 3 7

2 4

现从中任意摸取一个球, 若已知摸到的是红球, 那

么这红球是木质球的概率是多少?
解1:

E : 从16个球中人取一个, 观察颜色和材料.
则S含有16个基本事件. 设A={摸到的是红球}, B={摸到的是木质球} 题中要求的概论率是P(B/A)
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第一章 随机事件及随机事件的概率

5 6 3 2 ? P( A) ? , P( B) ? ? , P( AB) ? 16 16 8 16
P( AB) ? P( B / A) ? P( A)

2 ? 5

解2:

因为S含有16个基本事件, A含有5个基本事件,

AB含有2个基本事件,

2 ? P( B / A) ? 5
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第一章 随机事件及随机事件的概率

二、乘法公式

设E是试验, S是E的样本空间, A, B, Ai(i=1,2,…,n)
是E的事件, 且P(A) > 0, (或P(B) > 0),

P(A1A2…An-1) >0, 则有:

(1) P ( AB) ? P ( A) ? P ( B / A), P ( AB) ? P ( B ) ? P ( A / B )
(2) P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) ? P( An / A1 A2 ? An ?1 )
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第一章 随机事件及随机事件的概率

证明(2) : 用数学归纳法

1 当n ? 2时, 显然有P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 / A1 )
0

2 假设当n ? k ? 1时, 结论成立,即
0

P( A1 A2 ? Ak ?1 ) ? P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) ? P( Ak ?1 / A1 A2 ? Ak ?2 )

现证当n ? k时结论也成立
P( A1 A2 ? Ak ?1 Ak ) ? P( A1 A2 ? Ak ?1 )P( Ak / A1 A2 ? Ak ?1 )
? P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 ) ? P ( Ak ?1 / A1 A2 ? Ak ? 2 )P ( Ak / A1 A2 ? Ak ?1 )
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.28] 一批灯泡共100只,次品率为10%. 不放回抽取三次, 每 次一只, 求第三次才取得合各格品的概率.

解:

设Ai={第i次取得合格品}, i=1, 2, 3. 显然所求的概率是 P(第一次取次品且第二次取次品且第三次取合格品)

? P( A1 A2 A3 )

? P( A1 ) ?

10 100

9 P( A2 / A1 ) ? 99

P( A3 / A1 A2 ) ?

90 98

由乘法公式:P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )
? 10 9 90 ? ? ? 0.0083 100 99 98
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.29] 七人抓阄, 其中6张空票, 1张戏票. 求每个人抓到 戏票的概率是多少? 解 1: 设 Ai={第i个人才抓到戏票} Bi={第i次抓到戏票}. i=1, 2, … 7

1 ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? 7 6 1 1 P ( A2 ) ? P ( B1 B2 ) ? P( B1 ) ? P( B2 / B1 ) ? ? ? 7 6 7

??

P ( A7 ) ? P ( B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 )
? P ( B1 ) P ( B2 / B1 ) P ( B3 / B1 ? B2 ) ? P ( B7 / B1 ? B6 )

6 5 4 3 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 7 6 5 4 3 2 1 7
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第一章 随机事件及随机事件的概率

解2:

本题可理解为, 一次一次把七张票无放回地取
完, 则样本空间为:

A

7 7

最后一人取得戏票为:

A ?A
1 1
1 1 6 6

6 6

A ?A 1 ? P( A7 ) ? ? 7 A7 7
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.30] 某人有5把钥匙,其中有2把房门钥匙,但忘了开
房门的是哪二把,只好逐把试开.问此人在三次内打开房

门的概率是多少?
解 : 设Ai ? {第i次打开房门}i ? 1,2,3 B ? {三次内打开房门 }

2 P( A1 ) ? 5
3 2 3 P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 / A1 ) ? . ? 5 4 10

3 2 2 1 P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) ? . . ? 5 4 3 5

P( B) ? P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ) ? 0.9
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第一章 随机事件及随机事件的概率

例1.31

已知P ( A) ? 0.6 A? B

P (C ) ? 0.2 求P[( A ? B ) / C ]

P ( AC ) ? 0.1

P ( B / C ) ? 0 .7

解: A ? B ?

则AB ? ?

( AC )( BC ) ? ?

P( AC ) ? P( A ? C ) ? P( A) ? P( AC ) ? 0.5
P( BC ) ? P(C ) P( B / C ) ? 0.8[1 ? P( B / C )] ? 0.24
P[( A ? B)C ] P( AC ? BC ) P[( A ? B) / C ] ? ? P(C ) P(C )

P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC ) ? ? 0.93 P(C )
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第一章 随机事件及随机事件的概率

三、全概率公式 定义2 设E是试验, S是样本空间(或必然事件), B, Ai

是E的事件(i=1, 2, … n), 且满足:
(1)

Ai A j ? ?

(i ? j i, j ? 1,2, ? n)

(2)

A1 ? A2 ? ? ? An ? S

则称A1 , A2 ? An为样本空间的一个划分 .
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第一章 随机事件及随机事件的概率

定理1(全概率公式) : 设A1,A2, ,An为样本空间?的一个 ? 划分, 且P ( Ai ) ? (i ? 1, ? n) 0 2, , 则对?中的任一事件B, 有 P ( B ) ? ? P ( Ai ) P ( B / Ai )
i ?1 n

证明 : B ? B? ? B( ? Ai ) ? ? BAi
i ?1 i ?1

n

n

且(BAi(BAj) ? (i ? j ) ) ?

An

? P( B) ? P( ? BAi )
i ?1

n

A1
A2

B
?

? ? P( BAi )

n

? ? P( Ai ) P( B / Ai )
i ?1
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i ?1 n

第一章 随机事件及随机事件的概率

四、逆概率公式 定理2 (贝叶斯公式)在全概率公式的条件下, 若P(B) >0则有

逆概率公式(简称逆概公式): P ( Ai / B ) ? nP ( Ai ) ? P ( B / Ai )
P ( Ai B ) 证明 :? P ( Ai / B ) ? P( B)
i ?1

? P ( Ai ) ? P ( B / Ai )

P( B) ? ? P( Ai ) P( B / Ai )
i ?1

n

P ( Ai B ) ? P ( Ai ) P ( B / Ai )

? P( Ai / B) ?

P( Ai ) ? P( B / Ai )

? P( A ) ? P( B / A )
i ?1 i i
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n

第一章 随机事件及随机事件的概率

注意:在全概和逆概公式中的Ai是导致试验结果的各

种原因, P(Ai) (i=1, 2, …n) 是各种原因发生的概率,
称为先验概率, 一般是由实际经验给出的. P(Ai/B)称 为后验概率, 它反映了试验之后各种原因Ai发生的概 率的新结果, 是P(Ai)的修正值. 凡是已知试验结果, 要 找某种原因发生的可能性, 即已知信息, 问信息来自

何方的问题, 可用逆概公式来解决.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.32]

设甲箱中有a个白球, b个红球, (a > 0, b > 0),

乙箱中有c个白球, d个红球(c>0,d>0). 从甲箱中任取一 球放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一球, 试求从乙箱 中取到的球为白球的概率. 解1 : 设B={从乙箱中取到的球为白球}, B是试验结果. A1={从甲箱中取出的球为白球}

A2={从甲箱中取出的球为红球}

A1 ? A2 ? S , A1 ? A2 ? ?, B ? BA1 ? BA2
白a, 红 b
A1=从甲箱中取出白球 A2=从甲箱中取出红球

白c, 红d

B=从乙箱中取白球

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第一章 随机事件及随机事件的概率

由全概率公式 ? P ( B ) ? P ( A1 ) P ( B / A1 ) ? P ( A2 ) P ( B / A2 )

a c c ?1 b ? ? a ? b c ? d ?1 a ? b c ? d ?1

a(c ? 1) ? bc ? (a ? b)(c ? d ? 1)
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第一章 随机事件及随机事件的概率

解2 :

设A1={从乙箱中取出的球原是甲箱中的} A2={从乙箱中取出的球是原在乙箱中的} 显然

A1 ? A2 ? S

A1 A2 ? ?

B ? BA1 ? BA2

? P( B) ? P( A1 ) P( B / A1 ) ? P( A2 ) P( B / A2 )
1 a c c?d ? ? c ? d ?1 a ? b c ? d ?1 c ? d

a(c ? 1) ? bc ? (a ? b)(c ? d ? 1)
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.33]

某仓库有同样规格的产品6箱, 其中有3箱,

2箱和1箱依次是由甲, 乙, 丙三个厂家生产的, 且三
厂的次品率分别为1/10, 1/15, 1/20. 现从这6箱中 任取一箱, 再从取得的一箱中任取一件, 试求取得的 一件是次品的概率. 解: 设 B = {取得的一件是次品} A1= {取得的一件是甲厂生产的} A2 ={取得的一件是乙厂生产的} A3 ={取得的一件是丙厂生产的}
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第一章 随机事件及随机事件的概率

1 1 1 由题意得: P( B / A1 ) ? , P( B / A2 ) ? , P( B / A3 ) ? 10 15 20

在6箱产品中, 甲, 乙, 丙三厂分别占3/6, 2/6, 1/6, 即有:

3 P( A1 ) ? 6
故由全概率公式得:
3

2 P( A2 ) ? 6

1 P( A3 ) ? 6

P( B) ? ? P( Ai ) P( B / Ai )
i ?1

3 1 2 1 1 1 29 ? ? ? ? ? ? ? ? 0.081 6 10 6 15 6 20 360
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.34]

在[例1.33]中, 若已知取得的一件是次品,

试求所取得的产品是丙厂生产的概率.
解: A1, A2, A3, B 如[例1.33]所设事件,依题意, 已知结果B已发生, 要求第三个原因发生的概率,

则用逆概公式:
P( A3 B) P( A3 ) P( B / A3 ) P( A3 / B) ? ? P( B) P( B)

?

1 6

?

1 20

29 360

3 ? 29
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.35] 设用一种化验来诊断某种疾病, 患该病的人中 有90%呈阳性反应, 而未患该病的人中有5%呈阳性反 应,该人群中有1%的人患这种疾病.若某人做这种化验 呈阳性反应,则他患这种疾病的概率是多少?
解 : 设A ? {某人患有这种疾病 } 则A与 A构成S的一个划分 B ? {化验呈阳性反应}

? P ( A) ? 0.01

P ( A) ? 0.99
P( B / A) ? 0.05

P( B / A) ? 0.9
由逆概率公式

P( A) P( B / A) P( A / B) ? ? 0.15 P( A) P( B / A) ? P( A) P( B / A)
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第一章 随机事件及随机事件的概率

第四节 事件的独立性
一、事件的独立性 定义 1 设 Ai (i=1, 2, …n)是E的事件, 若对任意一组数 k1, k2, …ks(2≤s≤n; 每组数k1, k2, … ks取1, 2, …n中s个

不同的值)有:

P( Ak1 Ak 2 ? Aks ) ? P( Ak1 ) P( Ak 2 )? P( Aks )
则称事件A1, A2, …An相互独立.
特别地, 当n ? 2时, 有P ( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) 称为A1与A2两事件相互独立
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第一章 随机事件及随机事件的概率

定义2设A1 , A2 ? An (n ? 2)是n个事件, 若Ai , A j (i ? j ) 是其中任意两个事件, 有P ( Ai A j ) ? P ( Ai ) P ( A j ), 则称这n个事件两两独立.
显然 (1)必然事件S与任意事件B相互独立

P(SB) ? P( B) ? P( B) P(S )
(2)不可能事件Φ与任意事件B相互独立

P(?B) ? P(?) ? P(?) P( B)
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注意: (i) 若Ai(i=1, 2, …n)中任意多个事件的积事件的概率
等于每一个的概率乊积, 则称Ai相互独立,故定义的等

式是一组等式,包含有:
个等式.
2 3 n 1 0 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? 2n ? n ? 1

(ii) 若A1, A2,…An中任意两个事件是相互独立的, 则称 A1, A2,…An两两独立, 相互独立一定两两独立; 反乊不然. (iii)事件的独立性常常不是根据定义来判别的, 而是 根据实际问题来判断.
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由事件的独立性可以推出下列命题:
定理1 若事件A与B相互独立, 则A与B; A与B; A与B也 分别相互独立.

证明 : ? A B ? A ? AB, AB ? A且P ( AB) ? P ( A) P ( B )

? P ( A B ) ? P ( A ? AB) ? P ( A) ? P ( AB)

? P( A) ? P( A) P( B)
? P ( A)[1 ? P ( B )]

? P( A) P( B)
其余两个同理可证.(略)
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定理2 若P ( A) ? 0, 则对任意事件B, A与B独立的充分必要 条件是P ( B / A)、P ( B / A)、P ( B )三者中有两个相等.

证明 : (必要性) 设A与B独立,即P( AB) ? P( A) P( B)
而P( AB) ? P( A) P( B / A)

? P( A) P( B) ? P( A) P( B / A)

则P( B) ? P( B / A)

当A与B独立时, A与B也独立, 即P ( AB ) ? P ( A) P ( B )

而P ( AB ) ? P ( A) P ( B / A)

? P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( B / A)

则P ( B ) ? P ( B / A)

由以上证明可得: P( B / A) ? P( B / A)
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(充分性) 如果P( B / A) ? P( B / A)
P( AB) P ( B ) ? P ( AB) P ( B A) 即 ? ? 1 ? P ( A) P( A) P ( A)
?交叉相乘得 : P ( AB)[1 ? P ( A)] ? P ( A)[ P( B ) ? P ( AB)]

整理得 : P( AB) ? P( A) P( B)
如果P( B / A) ? P( B)

即A与B独立

P( AB) 即 ? P( B) P( A)

? P( AB) ? P( A) P( B)

即A与B独立

同理可得当P( B / A) ? P( B)时, A与B独立
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定理3 若A1 , A2 , ? An是n个相互独立的随机事件, 则这n个事件 至少发生一个的概率为: P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? 1 ? ? [1 ? P ( Ai )]
i ?1 n

证明 : P( A1 ? A2 ? ? An )

? 1 ? P ( A1 ? A2 ? ? An )

? 1 ? P( A1 A2 ? An )
? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( An )

? 1 ? ? [1 ? P( Ai )]
i ?1
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n

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例1.36 设某种型号的炮,每一门(只发射一枚炮弹)击中 敌机的概率为0.6.现有若干门同时发射,问要以99%的 把握击中敌机,至少需要配臵几门炮弹?

解 : 设Ai ? {第i门炮击中敌机} B ? {敌机被击中 }

i ? 1,2,? n

显然P ( Ai ) ? 0.6
n

P ( Ai ) ? 0.4

P ( B ) ? P ( A1 ? A2 ? ? An )
? 1 ? ? [1 ? P( Ai )] ? 1 ? 0.4 n
i ?1

由题意P( B) ? 0.99

n ? 5.026
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所以至少配置6门炮.

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例1.37设一袋中有四张形状相同的卡片, 依次标有数字110 ,101,011, 000 , 从这袋中任取一张, 依次用A1 , A2 , A3表示卡片上第一位, 第二位 第三位上的数字为 这事件.求证 : A1 , A2 , A3两两独立, 但不相互独立. 1

证明 : P( A1 ) ? 0.5 ?
P( A1 A2 A3 ) ? 0

P( A2 ) ? 0.5

P( A3 ) ? 0.5

P( A1 A2 ) ? 0.25 P( A1 A3 ) ? 0.25 P( A2 A3 ) ? 0.25

显然P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 )
P ( A2 A3 ) ? P ( A2 ) P ( A3 )

? A1 , A2 , A3两两独立

P( A1 A3 ) ? P( A1 ) P( A3 )
但是P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ), 即A1 , A2 , A3不相互独立
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第一章 随机事件及随机事件的概率

[例1.38] 袋中装有a个白球, b个黑球, 每次有放回地从

中任意取一个, 直到取得白球为止. 试求取出的黑球数
恰好是k的概率. 解: E : 从a+b个球中有放回地任意取一个, 直到取得 白球为止.设 Ai= {第i次取得白球},i=1,2, …, 显然

S ? { A1 , A1 A2 , A1 A2 A3 ,? }

又设 B={取出的黑球数恰好是k} 则 B={前k次取到黑球, 第k+1次取到白球}

? A A2 ? Ak Ak ?1 1
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第一章 随机事件及随机事件的概率

由于是有放回抽样, 故每次取到白球或黑球是相互独
立的,则:

a b P( Ai ) ? , P( Ai ) ? 1 ? P( Ai ) ? , (i ? 1,2,?) a?b a?b

? P ( B ) ? P ( A1 A2 ? Ak Ak ?1 )
? P ( A1 ) P( A2 ) ? P ( Ak ) P( Ak ?1 )
k b ? a ? ab ?? ? ? ? a ? b ? a ? b ( a ? b) k ?1 ?
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k

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二、可靠性问题

[可靠度] 指系统能正常工作的概率. 假设系统中各元件能否正常工作是相互独立的
设Ai ? {第i个元件正常工作}(i ? 1,2 ? n) P ( Ai ) ? pi A ? {系统正常工作}

1.串联系统
1
n

2

n

A ? ? Ai
i ?1

P ( A) ? ? P ( Ai ) ? ? pi ? p n
i ?1 i ?1

n

n

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第一章 随机事件及随机事件的概率

2.并联系统
1

2

A ? ? Ai
i ?1

n

P ( A) ? 1 ? ? P ( Ai )
i ?1

n

? 1 ? (1 ? p ) n
n

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例1.39 一个混联系统 如图所示,由5个元件组成,每个 元件可靠度为p,求系统可靠度
5 2 1 3 4

解 : 2与3组成的并联系统(1), 可靠度为: 1 ? (1 ? p) 2 ? p(2 ? p)
(1)与1,4组成的串联系统(2), 可靠度为 : p 2 p (2 ? p ) ? p 3 (2 ? p )

(2)与5组成并联系统, 可靠度为 : 1 ? (1 ? p )[1 ? p 3 ( 2 ? p )] ? p 5 ? 3 p 4 ? 2 p 3 ? p
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三、n重贝努里试验 1.重复独立试验 如果一个试验在相同条件下可重复进行n次,各次试 验中每个结果出现的概率保持不变,且每次试验的结果 相互独立,则称这n次试验为n重独立试验. 特别地,当试验只有两个结果,即事件A 出现或 A 出 现,其概率分别为 P( A) ? p, P( A) ? 1 ? p (0 ? p ? 1), 则称 这样的n重独立试验为n重贝努里试验. 如:抛掷硬币,观察正面与反面;

有放回地抽查产品,观察正品与次品; 射击时中与不中.
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第一章 随机事件及随机事件的概率

2.二项概率公式
定理 设在贝努里试验中, 事件A出现的概率为p (0 ? p ? 1), 则在n重贝努里试验中, 事件A恰出现k次的概率为
k bk ( n, p ) ? Cn p k (1 ? p ) n ? k

(k ? 0,1,2, ? n)

证明 : 先计算事件A在某指定的k次(假设前k次)发生的概率 : P( ??? ??? ) ? p k (1 ? p) n ?k AA? A A A? A ? ? ? ?
k次 n ? k次

k A恰发生k次, 共有Cn 个顺序

所以 bk (n, p ) ? C p (1 ? p )
k n k

n?k

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例1.40 设一批产品数量很大,其中一级品率为0.3.现从中
抽取5件 样品.求:

(1)5个样品中恰有2个一极品的概率;
(2)5个样品中至少有2个一极品的概率.

解 : 这是一个5重贝努里试验

(1)b2 (5,0.3) ? C (0.3) (1 ? 0.3) ? 0.309
2 5 2 3

(2)b2 (5,0.3) ? b3 (5,0.3) ? b4 (5,0.3) ? b5 (5,0.3)

? 1 ? b0 (5,0.3) ? b1 (5,0.3)
? 1 ? C (0.3) (0.7) ? C (0.3) (0.7) ? 0.472
0 5 0 5 1 5 1 4
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例1.41 从一个工厂的产品中进行重复抽样检查,共取 200件.检查结果其中有4件次品.问该厂废品率0.005 是否可信? 解:这是一个200重的贝努里试验.不妨假定废品率为 0.005,则200件产品中恰抽到4件次品的概率为:

b4 (200 ,0.005 ) ? C

4 200

(0.005 ) (0.995 )

4

196

? 0.015

这表明,在200件产品中抽到4件次品的概率 0.015(小概率),属于小概率事件,而它竟然发生了. 我们认为,废品率为0.005不可信..
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第一章 随机事件及随机事件的概率

例1.42 设每次射击打中目标的概率为0.001,如果射击 5000 次,试求打中目标的概率. 解: 这是一个5000 重贝努里试验.

设Ai ? {第i次击中目标}(i ? 1,2, ?5000 ) B ?{ 目标被击中 } P( B) ? P( A1 ? A2 ? ? ? A5000 )

? 1 ? b0 (5000 ,0.001)
? 1? C
0 5000

(0.001) (0.999 )

0

5000

? 0.99

这表明,虽然小概率事件在一次试验中几乎不可能 发生,而在多次重复试验下,却很容易发生.
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第一章小结 1.计算概率的常用公式:
P(? Ai ) ? ? P( Ai )
i ?1
n

(1) P( A) ? r / n P( A) ? L( A) / L(S ) (2) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) (加法定理)
n n i ?1

(设A1 , A2 ? An两两互斥, 有限可加性)
( A1 , A2 ,? An相互独立时)

P(? Ai ) ? 1 ? ? [1 ? P( Ai )]
i ?1 i ?1

n

(3) P( B / A) ? P( AB) / P( A) (4) P( AB) ? P( A) P( B / A) ? P( B) P( A / B)
P( AB) ? P( A) P( B) ( A与B独立时)

(5) P( A ? B) ? P( AB) ? P( A) ? P( AB) P( A ? B) ? P( AB) ? P( A) ? P( B)
n i ?1

(当B ? A时)

(6) P( B) ? ? P( Ai ) P( B / Ai )(全概率公式)(其中A1 , A2 ? An为?的一个划分, 且P( Ai ? 0))

(7) P( Ai / B) ?

P( Ai ) P( B / Ai )

? P( A ) P( B / A )
i ?1 i i

n

(逆概率公式)
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2.概率为零的事件未必是不可能事件,概率为1的事件 也未必是必然事件.

例如 : 在几何概型中, 设? ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 4} A ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 4}
L(?) ? 4? L( A) ? 0 0 但A . 所以P( A) ? ? 0, 是可能发生的 4?

而 A ? {( x, y) x 2 ? y 2 ? 4}

L( A) ? 4?

所以L( A) ? 1, 但事件A不是必然事件.
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3.相互独立与互不相容的区别与联系
A, B互不相容 ? AB ? ?(表A与B不同时发生) A, B相互独立 ? P( AB) ? P( A) P( B)(表A的发生与否不改变B发生的概率)

例如 : 若P ( A) ? 0, P ( B ) ? 0, 则有 (1)当A、B两事件相互独立时, A、B不互不相容(即AB ? ? ); (2)当A、B互不相容时,A与B不相互独立. 证明 : (1) ? A, B相互独立, 且P ( A) ? 0, P ( B ) ? 0
? P ( AB) ? P ( A) P ( B )

?0

这表明AB ? ?(即不互不相容)

(2) ? AB ? ?, P ( AB) ? P (? ) ? 0 而P ( A) ? 0, P ( B ) ? 0, P ( A) P( B) ? 0

显然有P( AB) ? P( A) P( B)
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