山东省聊城市2012-2013学年高二数学上学期“七校联考”期末检测试题 文 新人教A版


山东省聊城市 2012-2013 学年高二上学期“七校联考”期末检测 文科数学试题
考试时间:100 分钟; 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 一 二 三 总分

评卷人

得分 一、选择题

1.函数 f(x)= ln x ? A.3 个 B.2 个

1 的零点的个数是( x ?1
C.1 个 D.0 个



2. (2010 年江西理 12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面, 记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S ? t ? S ? 0 ? ? 0 , 则导函数 y ? S ? t ? 的图像大致
'

?

?

为(



A.
x

B.

C.

D.

3.将函数 y ? 2 的图象向左平移一个单位,得到图象 C1 ,再将 C1 向上平移一个单位得到图 象 C2 ,作出 C2 关于直线 y ? x 的对称图象 C3 ,则 C3 的解析式为( A. y ? log 2 ( x ? 1) ? 1 C. y ? log 2 ( x ? 1) ? 1 B. y ? log 2 ( x ? 1) ? 1 D. y ? log 2 ( x ? 1) ? 1 )

4.已知函数 f (x) 是 (??,??) 上的遇函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当

-1-

x ? ?0,2? 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1), 则f (2009 ) ? f (?2010 ) 的值为 (
A.-2 5.曲线 y= B.-1 C.1 D.2



1 5 2 x +3x +4x 在 x=-1 处的切线的倾斜角是 5 ? ? 3? A.- B. C. 4 4 4
) C. -a D. a

( D.



5? 4

6. 3 a · 6 ? a 等于( A.- -a

B.- a

7.已知集合 M ? {x | x ? m ?

1 n 1 , m ? Z } , N ? {x | x ? ? , n ? Z } , 6 2 3
( )

P ? {x | x ?
A. M ? N

p 1 ? , p ? Z } ,则 M , N , P 的关系 2 6

P
x

B. M

N?P

C. M

N

P

D. N

P

M


4x ? b 8. f x) 设 ( =lg(10 +1)+ax 是偶函数, (x) g = 是奇函数, 那么 a+b 的值为 ( 2x
A. 1 B.-1 C.-

1 2

D.

1 2

9.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f(x)=min{ 2 , x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最大值为(
x



A.4

B.5

C.6

D.7

x2 y 2 ? 2 ?1 ? 2 F,F2 F b 10.双曲线 a ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 1 ,过 1 作倾斜角为 30
的直线交双曲线右支于 M 点,若

MF2

垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为(



A. 6

B. 3

C. 2

3 D. 3
( )

11.已知数列{ an }的前 n 项和 S n = a n -1(a 是不为 0 的常数) ,那么数列{ an } A.一定是等差数列 C.或者是等差数列或者是等比数列 B.一定是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

-2-

12.下列函数中,周期为 ? ,且在 [ A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( x ?

? ?

?
2

, ] 上为减函数的是 4 2
B. y ? cos(2 x ? D. y ? cos( x ?





)

?
2

)

?
2

)

?
2

)

第 II 卷(非选择题)

评卷人

得分 二、填空题

11.某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界) ,其边界是长 轴长为 2a,短轴长为 2b 的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h1 , h2 ,且两个 导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小 忽略不计) ,在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 ?1 , ? 2 ,那么船只已进入该浅水区的判

别条件是

.

12.由命题“Rt ? ABC 中,两直角边分别为 a,b,斜边上的高为 h,则得

1 1 1 ? 2 ? 2 ”由此可 2 h a b

类比出命题“若三棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA,SB,SC 两两垂直,长分别为 a,b,c,底面 ABC 上的高为 h,则得____________________. 13.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行 了抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别为 x1 ,?, x4 (单位:吨).根据图 2 所示的程 序框图,若 x1 , x2 , x3 , x4 ,分别为 1,1.5 ,1.5 , 2 ,则输出的结果 s 为 .

-3-

14.已知函数 y ? f ( x)是偶函数, y ? g ( x) 是奇函数,它们的定域 [?? , ? ] ,且它们在 x ? [0, ? ] 上 的图象如图所示,则不等式
f ( x) ? 0 的解集是 g ( x)

.

评卷人

得分

三、解答题

15.如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, OD ? AB , P 是半圆弧上一 点,?POB ? 30? , 曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹, 且曲线 C 过点 P . (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积不小于 2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围.

-4-

16.证明:函数 f ( x) ?

2x ? 5 在区间(2,3)上至少有一个零点。 x2 ? 1

17.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形. (Ⅰ)证明:BN⊥平面 C1B1N; (Ⅱ)设二面角 C-NB1-C1 的平面角为 ? ,求 cos ? 的值; (Ⅲ)M 为 AB 中点,在 CB 上是否存在一点 P,使得 MP∥平面 CNB1,若存在,求出 BP 的长; 若不存在,请说明理由.

18 . 已 知 f (x) 是 定 义 在 [?e,0) ? (0, e] 上 的 奇 函 数 , 当 x ? (0, e] 时 ,

f ( x) ?

a? 2 l n x , a x ?(

?a , 0

R )

(1)求 f (x) 的解析式; (2)是否存在实数 a ,使得当 x ? [?e,0)时, f ( x) 的最小值是 4?如 果存在,求出 a 的值;
-5-

如果不存在,请说明理由。 19.已知函数 f ( x) ? px ?
p ? 2ln x . x

(Ⅰ)若 p ? 3 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 p ? 0 且函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求实数 p 的取值范围; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 在 x ? (0,3) 存在极值,求实数 p 的取值范围. 20.设函数 f(x)= x 2 ? 1 -ax,(a>0),试确定:当 a 取什么值时,函数 f(x)在 0,+∞) 上为单调函数.

参考答案
-6-

一、选择题 1.B

解析:分别画 y=lnx 和 y=

的图象;如图。则容易看出,这两个函数有 2 个交点。即函数

f(x)=

的零点的个数是 2。

2.A 解析:本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识,重点考查的是对数学的探究能 力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除 C;总面积一直保持增 加,没有负的改变量,排除 B;考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数 的意义,判断此时面积改变为突变,产生中断,选择 A。

3.A

4.C

5.C

6.A

7.B

8.D

9.C

解析:画出 y=2 ,y=x+2,y=10-x 的图象,如右图, 观察图象可知,当 0≤x≤2 时,f(x)=2 ,当 2≤x≤3 时,f(x)=x+2,当 x>4 时,f (x)=10-x,f(x)的最大值在 x=4 时取得为 6,故选 C。
-7x

x

10.B

解析:如图在

中,



11.C 解析:判断该数列是什么数列,可把通项公式求出,再进行判断

12.A

二、填空题

13.

14.

15.

16.( 三、解答题

)

17.(Ⅰ)解法 1:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则
-8-

A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P( |MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

),依题意得

∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 ,∴a2=2,b2=c2-a2=2.

∴曲线 C 的方程为

.

解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB| |AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为

>0,b>0).

则由

解得 a2=b2=2,

∴曲线 C 的方程为 (Ⅱ)解法 1:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理得 (1-k2)x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,



设 E(x,y),F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=

,于是
-9-

|EF|=

=

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

,

∴S△DEF= 若△OEF 面积不小于 2 ,即 S△OEF ,则有

③ 综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为 解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1-k2)x2-4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,

∴ . 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得

. ②

|x1-x2|= 当 E、F 在同一去上时(如图 1 所示),



S△OEF= 当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

S△ODE=

综上得 S△OEF=

于是

由|OD|=2 及③式,得 S△OEF=

- 10 -

若△OEF 面积不小于 2

④ 综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为

18.证明: 函数

的定义域为 R, 函数 f(x)的图像灾区间(2,3)上是连续的。

又 间(2,3)上至少有一个零点。



, f(2)f(3)<0,

函数 f(x)在区

19.法一:(Ⅰ)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直. 以 BA,BC,BB1 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 N(4,4,0),B1 (0,8,0),C1 (0,8,4),C(0,0,4) ∵=(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0 =(4,4,0)·(0,0,4)=0 ∴BN⊥NB1 , BN⊥B1 C1 且 NB1 与 B1 C1 相交于 B1 , ∴BN⊥平面 C1 B1 N; (Ⅱ)∵BN⊥平面 C1 B1 N, 是平面 C1 B1 N 的一个法向量=(4,4,0), 设=(x,y,z)为平面 NCB1 的一个法向量, 则,取=(1,1,2), 则 cosθ ===; (Ⅲ)∵M(2,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则=(-2,0,a),∵MP∥平面 CNB1 , ∴⊥·=(-2,0,a) ·(1,1,2)=-2+2 a =0 a =1. 又 MP 平面 CNB1 , ∴MP∥平面 CNB1 , ∴当 BP=1 时 MP∥平面 CNB1 . 法二:(Ⅰ)证明:由已知得 B1 C1 ⊥平面 BNB1 ,∴B1 C1 ⊥BN, 2 2 2 BN=4= B1 N,BB1 =8, ∴BB1 = BN + B1 N , ∴BN⊥B1 N 又 B1 C1 与 B1 N 交于 B1 , ∴BN⊥平面 C1 B1 N; (Ⅱ)过 N 作 NQB1 C1 ,则 BCQN,又 BN⊥平面 C1 B1 N, ∴CQ⊥平面 C1 B1 N,则 CQ⊥B1 N, QN⊥B1 N ,∴∠CNQ 是二面角 C-B1 N-Q 的平面角 θ , 在 Rt△CNQ 中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ ==; (Ⅲ)延长 BA、B1 N 交于 R,连结 CR,∵MP∥平面 CNB1 , MP 平面 CBR, 平面 CBR∩平面 CRN 于 CR, ∴MP∥CR, △RB1 B 中 ANBB1 ,∴A 为 RB 中点, ∴==,∴BP=1,因此存在 P 点使 MP∥平面 CNB1 .

- 11 -

20.(1)设 上的奇函 数,

故函数

的解析式为:

(2)假设存在实数 ,使得当

有最 小值是 3。

①当 由于 数。

时, 故函数 上的增函

解得

(舍去)

②当

x — ↘ + ↗

解得 综上所知,存在实数 21. (Ⅱ), ,使得当 最小值 4。

- 12 -

要使在定义域内是增函数,只需在内恒成立 即在上恒成立, (法一)即在上恒成立 ∴,设 则 ∵,∴ ,当且仅当时取等号 ∴ ,即,∴ 所以实数的取值范围是 (法二)令, 要使在定义域内是增函数,只需在内恒成立. 由题意,的图象为开口向上的抛物线, 对称轴方程为,∴, ∴, 解得 ∴实数的取值范围是.(Ⅲ)∵,令,即 设 当时,方程()的解为,此时在无极值, 所以; 当时,的对称轴方程为 ①若在恰好有一个极值 则 ,解得 此时在存在一个极大值; ②若在恰好两个极值,即在有两个不等实根 则 或 ,解得 . 综上所述,当时,在存在极值.

22.任取 x1 、x2 ∈0,+

且 x1

2

,则

f(x1 )-f(x2 )=

-

-a(x1 -x2 )=

-a(x1 -x2 )

=(x1 -x2 )(

-a)

(1)当 a≥1 时,∵ 又∵x1 -x2 1 )-f(x2 )>0,即 f(x1 )>f(x2 ) ∴a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.

(2)当 01 =0,x2 = ∴0 上不是单调函数

,满足 f(x1 )=f(x2 )=1

- 13 -

注: ①判断单调性常规思路为定义法;

②变形过程中 ③从 a 的范围看还须讨论 0

>|x1 |≥x1 ;

>x2 ;

- 14 -


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