(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:专题四第二讲综合验收评估(北师大版)


一、选择题 1.(2011· 浙江)下列命题中错误的是 A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析 两个平面 α,β 垂直时,设交线为 l,则在平面 α 内与 l 平行的线都平行

于平面 β,故 A 正确;如果平面 α 内存在直线垂直于平面 β,那么由面面垂直的判 定定理知 α⊥β,故 B 正确;两个平面都与三个平面垂直时,易证交线与第三个平 面垂直,故 C 正确;两个面 α,β 垂直时,平面 α 内与交线平行的直线与 β 平行, 故 D 错误. 答案 D

2.设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中正确的是 A.若 α∩β=n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β B.若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α 解析 对于 A,m 也可能在面 α 内或面 β 内,故 A 错;对于 B,若 m 与 n 平

行,则 α 与 β 可能相交,故 B 错,对于 C,m 与 β 可能平行,故 C 错.所以选 D. 答案 D

3.(2011· 中山模拟)已知 m、n 为直线,α、β 为平面,给出下列命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; ③若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β;④若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β. 其中正确命题的个数是 A.0 C.2 解析 B.1 D.3 对于①,由线面的位置关系可以判定是正确的;对于②,直线 n 可能

在平面 α 内,所以②错误;对于③,举一反例:m?β 且 m 与 α、β 的交线平行时,

也有 m∥α,③错误;对于④,可以证明其正确性,④正确.故选 C. 答案 C

4.已知 l,m 是两条不重合的直线,α,β,γ 是三个不重合的平面,给出下列 条件,能得到 α∥β 的是 A.l∥α,l∥β C.m?α,l?α,m∥β,l∥β 解析 B.α⊥γ,β⊥γ D.l⊥α,m⊥β,l∥m

选项 A 得不到 α∥β;选项 B 中的平面 α,β 可能平行也可能相交;选

项 C 中的直线 m,l 可能平行,则 α 与 β 可能相交;选项 D 中,由 l∥m,m⊥β, 可得 l⊥β,再由 l⊥α 可得 α∥β.故选 D. 答案 D

5.(2011· 温州联考)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面, 则下列命题正确的是 A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β 解析 B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n D.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β

对于选项 A,若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 可能平行、相交或异面;对于

选项 C,α 与 β 也可能相交;对于选项 D,α 与 β 也可能相交.故选 B. 答案 B

6.设 a,b 为两条直线,α,β 为两个平面,则下列结论成立的是 A.若 a?α,b?β,且 a∥b,则 α∥β B.若 a?α,b?β,且 a⊥b,则 α⊥β C.若 a∥α,b?α,则 a∥b D.若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b 解析 分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线, 故选项 A

的结论不成立;任意两个相交平面,在一个平面内垂直于交线的直线,必然垂直 于另一个平面内平行于交线的直线,故选项 B 中的结论不成立;当直线与平面平 行时,只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及已知平面内平行于交线的直 线与这条直线平行,其余的直线和这条直线不平行,故选项 C 中的结论不成立; 根据直线与平面垂直的性质定理知,选项 D 中的结论成立.故选 D. 答案 D

二、填空题

7.给出下列四个命题: ①对确定的两条异面直线,过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面 直线都平行; ②一条直线与两个相交平面平行,则它必与这两个平面的交线平行; ③过平面外一点,作与该平面成 θ 角的直线一定有无穷多条; ④对两条异面直线,存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等. 其中正确命题的序号为________. 解析 ①显然错误,若点在其中一条异面直线上明显不可能作出,既使点在

两条异面直线外,也不一定能作出;②正确;③错误,θ=90° 时,即过平面外一点 作与该平面垂直的直线有且只有一条;④正确. 答案 ②④

8.如图所示,在(1)中的矩形 ABCD 内,AB=4,BC=3,E 是 CD 的中点, 沿 AE 将△ADE 折起, 如图(2)所示, 使二面角 D-AE-B 为 60° , 则四棱锥 D-ABCE 的体积是________.

解析

在平面图形中,Rt△ADE 斜边上的高是 6 3 39 sin 60° = 13 , 13

6 , 13

故折起后棱锥的高是

棱锥的底面积为 9,故其体积为 1 3 39 9 39 V=3×9× 13 = 13 . 答案 9 39 13

9.(2011· 福建)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的 中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________. 解析 由于在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,

∴AC=2 2. 又 E 为 AD 中点,EF∥平面 AB1C,EF?平面 ADC,平面 ADC∩平面 AB1C 1 =AC,∴EF∥AC,∴F 为 DC 中点,∴EF=2AC= 2. 答案 2

三、解答题 10.(2011· 陕西)如图,在△ABC 中,∠ABC=45° ,∠BAC=90° ,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90° .

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积. 解析 (1)证明 ∵折起前 AD 是 BC 边上的高,

∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB. 又 DB∩DC=D,∴AD⊥平面 BDC. ∵AD?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA. ∵DB=DA=DC=1,∴AB=BC=CA= 2, 1 1 从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= , 2 2 1 3 S△ABC=2× 2× 2×sin 60° =2, 1 3 3+ 3 ∴三棱锥 D-ABC 的表面积 S=2×3+ 2 = 2 . 11.(2011· 济南模拟)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P 分别为 所在棱的中点,O 为面对角线 A1C1 的中点.

(1)求证:平面 MNP∥平面 A1C1B; (2)求证:OM⊥平面 A1C1B. 证明 (1)连接 D1C,则 MN 为△DD1C 的中位线,

∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B. 同理,MP∥C1B.

而 MN 与 MP 相交,MN,MP 在平面 MNP 内, A1B,C1B 在平面 A1C1B 内, ∴平面 MNP∥平面 A1C1B. (2)连接 C1M 和 A1M,设正方体的棱长为 a, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,C1M=A1M, 又∵O 为 A1C1 的中点, ∴A1C1⊥MO, 连接 BO 和 BM,在△BMO 中, 6 3 3 经计算知:OB= 2 a,MO= 2 a,BM=2a, ∴OB2+MO2=MB2, 即 BO⊥MO,而 A1C1,BO?平面 A1C1B, ∴MO⊥平面 A1C1B. 12.在三棱锥 P-ABC 中,△PAC 和△PBC 是边长为 2的等边三角形,AB= 2,O 是 AB 中点.

(1)在棱 PA 上求一点 M,使得 OM∥平面 PBC; (2)求证:平面 PAB⊥平面 ABC. 证明 (1)当 M 为棱 PA 中点时,OM∥平面 PBC.

证明如下:∵M,O 分别为 PA,AB 中点, ∴OM∥PB,又 PB?平面 PBC,OM?平面 PBC, ∴OM∥平面 PBC. (2)连接 OC,OP,∵AC=CB= 2,O 为 AB 中点,AB=2, ∴OC⊥AB,OC=1. 同理,PO⊥AB,PO=1.

又 PC= 2, ∴PC2=OC2+PO2=2, ∴∠POC=90° .∴PO⊥OC. 又 AB∩OC=O, ∴PO⊥平面 ABC. ∵PO?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 ABC.

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