求函数最值常用的方法及经典例题讲解


求函数最值常用的方法及经典例题讲解 知识点: 一、函数最大(小)值定义 最大值:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值. 思考:依照函数最大值的定义,结出函数 y ? f ( x) 的最小值的定义. 注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ; ② 函 数 最 大 ( 小 ) 应 该 是 所 有 函 数 值 中 最 大 ( 小 ) 的 , 即 对 于 任 意 的 x?I , 都 有

f ( x) ? M ( f ( x) ? m) .
二、求函数最大(小)值常用的方法.

案例分析: 例 1、画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ① f ( x) ? ? x ? 3 ② f ( x) ? ? x ? 3

x ?[?1, 2]

③ f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 x ?[?2, 2]
2

-1-

类型一、直接观察法 对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例 1、求函数

y?

1 , x ? [1, 2] x 的值域

例 2、若函数 f ( x) ?

1 ,则该函数在(1,+∞)上( 2 ? log2 x
B、单调递减,有最小值 D、单调递增,有最大值



A、单调递减,无最小值 B、单调递增,无最大值

小试牛刀: 1、求函数 y ?

2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

2、求函数 f ? x ? ?

6 在[-1,2]上的最小值? 2 ? 3x
x

3、已知 x ? y ?, 求
2 2

y ?3 的取值范围。 x?2

-2-

类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)

例: 求函数

y?

3x ? 4 5x ? 6 值域。

实战训练场: 1) 求函数 y ?

3x ? 1 的值域; x?2

2)

函数 y ?

1? x 的值域是 1? x

.

类型三、倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况

y?
例 1、求函数

x?2 x ? 3 的值域。

例 2 、求函数

f ?x ? ?

x2 ? 5 x2 ? 5

的值域。

-3-

类型四、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一
2 2 (二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) a ? 0时, 值域是[ 4ac ? b ,? ?); a ? 0时, 值域是(??,4ac ? b ] )。 4a 4a

例、求函数 y ? x ? 2 x ? 5, x ? R 的值域。
2

实战训练场: 1、 求函数y ? 3x 2 ? x ? 2

x ? (?3,5] 的值域;

2、求 函数y

?

? x 2 ? 6 x ? 5 的值域;

类型五、根判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他 方法进行化简

2x2 ? 2 x ? 3 例 1、求 y ? 的最值 x2 ? x ? 1

-4-

例 2、求函数 y ? x ?

1 的值域; x

例 3、已知函数 y ? ax ? b ( x ? R ) 的值域为 ?? 1,4?, 求常数 a, b

x2 ?1

实战训练场: (1)求函数 y ?

x2 ? x x2 ? x ?1

的值域

(2) 求函数 y ?

2x2 ? 4x ? 7 的值域 x2 ? 2x ? 3

二、 y ?

ax2 ? bx ? c ( x ? ?e, f ?) 类型 m x? n

解法:用代定系数法将它化为 y ?

p(mx ? n)2 ? q(mx ? n) ? k k ? p(mx ? n) ? ?q mx ? n mx ? n

? pt ?

k b ? q(t ? mx ? n), 再利用函数y ? ax ? 的图象和单调性来解。 t x

例 1、求 y ?

x 2 ? 3x ? 3 5 (2 ? x ? )的最小值 x?2 2
-5-

三、 y ?

mx ? n ( x ? [e, f ])类型 ax 2 ? bx ? c

解法:用代定系数法将它化为:

y?

mx ? n 1 ? 2 p(mx ? n) ? q(mx ? n) ? k p(mx ? n) ?
b 的图象和单调性来解。 x

k ?q mx ? n

?

1 (t ? mx ? n), k pt ? ? q t

再利用函数 y ? ax ?

例 1、求 y ?

x?2 (5 ? x ? 6) 的最值 x ? 3x ? 6
2

变式训练: 1、求函数 y ?

x2 ? 4x ? 5 5 ( x ? ) 的值域. 2x ? 4 2

2、函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值?

类型六、换元法: “ 形如y ? ax ? b ? cx ? d (ac ? 0)的函数,可令 t? 例 1、求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域

cx ? d ;

-6-

例 2、求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值.

练习: (1) 求函数 y ? 2 x ? 1 ? x 的值域.

类型七、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。 我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。 例 1:求函数 y ? e ? 1 的值域。
x

ex ?1

例 2、求出下列函数的值域: 1、y=
1 1 ? sin x

2、 y= ? 2 cos x

例 3、求函数 y ? 2 ? sin x 的最大值和最小 值

2 ? cos x

-7-

例 4、求函数 y ?

2 sin ? ? 1 2 sin ? ? 1 的值域。 ,y? 1 ? sin ? 1 ? cos ?

类型八、 函数单调性法 例1. 求函数y ? 2
x ?5

? log3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。

类型九、一一映射法 原理:因为 另一个变量范围。 例1、求函数

y?

ax ? b (c ? 0) cx ? d 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个 变量中,若 知道一个变量范围, 就可以求

y?

1 ? 3x 2x ? 1 的值域。

例 2、设函数 y=|x2-x|+|x+1|,求-2≤x≤2 时,y 的最大值和最小值.

-8-

例3、已知函数 ? 3 ? log 1 x ? ?
2

x x 1 , 求函数 y ? log 2 ? log 2 的最大值和最小值。 2 4 2

例3、已知 ? 1 ? log 1 x ? 1, 求函数 y ? ? ?
2

?1? ?4?

x ?1

?1? ? 4? ? ? 2 的最大值和最小值。 ?2?

x

1、求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 1| 的最大值和最小值.

2、求函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 4 | 的值域

3.已知直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 和点 A(-1,2) 、B(0,3) ,试在 l 上找一点 P,使得 PA ? PB 的值 最小, 并求出这个最小值。

-9-

4. 已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ? 1 x 上,求 2

PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标。

2

2

5. 求函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值。

2 2 6、求函数y ? (x ? 2) ? (x ? 8) 的值域。

2 2 8、求函数y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。

2 2 9、 求函数y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。

- 10 -

10、求函数 f ? x ? ? 8 x ? x ? 14 x ? x ? 48 的最小值和最大值。
2 2

11、若 x, y ? R 且满足: x ? y ? 2 xy ? x ? y ? 0, 则 xmax ?
2 2

ymin ?



12、若 x, y ? R,1 ? x ? y ? 4. 求 u ? x ? xy ? y 的最值。
2 2 2 2

13、设 x

1 2 ? 0, y ? 0且x ? 2 y ? , 求当 x, y 为何值, u ? log 1 (8 xy ? 4 y ? 1) 取得最大值和最小 2 3

值,并求出最大值和最小值。

- 11 -

14、已知 x, y ? R且3 x ? 2 y ? 6 x ? 0, 求 x ? 2 y 的值域。
2 2 2 2

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