安徽省合肥市2017届高三第二次教学质量检测文数试题word版本精编


合肥市 2017 年高三第二次教学质量检测 数学试题(文)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知 i 为虚数单位,则 A.

2?i 5

2 2.已知集合 A ? x 1 ? x ? 4 , B ? x x ?1 ? 0 ,则 A ? B ? (

?

1? i ?( ) 3?i 2?i 1 ? 2i B. C. 5 5

D.

?

1 ? 2i 5


?

?

A. (1,2)

B. [1,2)
2

C. (?1,2) )

D. [?1,2)

3.已知命题 q : ?x ? R, x ? 0 ,则( A.命题 ?q : ?x ? R, x ? 0 为假命题
2

B.命题 ?q : ?x ? R, x ? 0 为真命题
2

C.命题 ?q : ?x ? R, x ? 0 为假命题
2

D. 命题 ?q : ?x ? R, x ? 0 为真命题
2

? x ? y ? ?1 ? 4.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? y?2 ?
A. 5 B. 6 C.



13 2

D. 7 )

5.执行如图所示的程序框图,输出的 s ? (

A. 5

B. 20

C. 60

D. 120

6.设向量 a, b 满足 a ? b ? 4, a ? b ? 1 ,则 a ? b ? ( A. 2 7.已知 ? A. ? B. 2 3 C. 3 D. 2 5



?1? ? 是等差数列,且 a1 ? 1, a4 ? 4 ,则 a10 ? ( a ? n?
B. ?



4 5

5 4

C.

4 13

D.

13 4

8.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左, 右焦点为 F1 , F2 , 离心率为 e . P 是椭圆上一点, 满足 PF2 ? F1F2 , a 2 b2
2

点 Q 在线段 PF1 上,且 F 1Q ? 2QP .若 F 1P ? F 2Q ? 0 ,则 e ? ( A. 2 ? 1 B. 2 - 2
4 4



C. 2 - 3

D. 5 ? 2 )

9.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x, x ? [? A. x1 ? x2 B. x1 ? x2

? ?
2

, ] ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则一定有( 4 4
2

C. x1 ? x2

D. x1 ? x2

2

2

10.中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在《梦澳笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术.隙积 术意即:将木捅一层层堆放成坛状,最上一层长有 a 个,宽有 b 个,共计 ab 个木桶.每一层长宽各比上一层 多一个,共堆放 n 层,设最底层长有 c 个,宽有 d 个,则共计有木桶

n[( 2a ? c)b ? (2c ? a)d ? (d ? b)] 个. 6


假设最上层有长 2 宽 1 共 2 个木桶, 每一层的长宽各比上一层多一个, 共堆放 15 层.则木桶的个数为 ( A. 1260 B. 1360 C. 1430 D. 1530

11.锐角 ..?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 ? a ? b ?? sin A ? sin B ? ? ? c ? b ? sin C ,若
a ? 3 ,则 b2 ? c 2 的取值范围是(

) C. ? 3,6 ? D. ?5,6?

A. ? 5,6?

B. ? 3,5?

12.已知函数 f ( x) ?

1 x a 2 ? e ? x ? (a ? 1) x ? a (a ? 0) ,其中 e 为自然对数的底数.若函数 y ? f ( x) 与 e 2


y ? f [ f ( x)] 有相同的值域,则实数 a 的最大值为(
A. e B. 2 C. 1 D.

e 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,则该双曲线的渐近线方程为 a 2 b2



14.某同学在高三学年的五次阶段性考试中,数学成绩依次为 110 ,114,121 ,119,126,则这组数据的方差是 . 15.几何体三视图如图所示,其中俯视图为边长为 1 的等边三角形,则此几何体的体积为 16.已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 ,且
2 an ?1 ? 4(an?1 ? an )(n ? N ? ) ,则其前 9 项的和 S9 ? an

. .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? cos?x(? ? 0) 的最小正周期为 ? . (1)求函数 y ? f ( x) 图像的对称轴方程; (2)讨论函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的单调性.

18. 某校在高一年级学生中,对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查.现从高一年级 学生中随机抽取 180 名学生,其中男生 105 名;在这名 180 学生中选择社会科学类的男生、女生均为 45 名. (1)试问:从高一年级学生中随机抽取 1 人,抽到男生的概率约为多少? (2)根据抽取的 180 名学生的调查结果,完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提 下认为科类的选择与性别有关? 选择自然科学类 男生 女生 合计 附: K 2 ? 选择社会科学类 合计

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
0.50 0.40

n ? ab ? bc ?

2

,其中 n ? a ? b ? c ? d .

P ? K 2 ? k0 ?
K0

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001
10.828

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

cos ?EDC ? 19. 如图, 平面五边形 ABCDE 中,AB ∥ CE , 且 AE ? 2, ?AEC ? 60? , CD ? ED ? 7 ,
将 ?CDE 沿 CE 折起,使点 D 到 P 的位置,且 AP ? 3 ,得到四棱锥 P ? ABCE .

5 . 7

(1)求证: AP ? 平面 ABCE ; (2)记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l ,求证: AB ∥ l .

20. 如图,已知抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 与圆 O : x ? y ? 8 相交于 A, B 两点,且点 A 的横坐标为 2 .
2 2 2

过劣弧 AB 上动点 P( x0 , y0 ) 作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C,D 两点, 分别以 C,D 为切点作抛物线 E 的切 线 l1 , l2 , l1 与 l 2 相交于点 M . (1)求抛物线 E 的方程; (2)求点 M 到直线 CD 距离的最大值. 21. 已知 f ( x) ? ln x ? x ? m ( m 为常数). (1)求 f ( x) 的极值; (2)设 m ? 1 ,记 f ( x ? m) ? g ( x) ,已知 x1 , x2 为函数 g ( x) 是两个零点,求证: x1 ? x2 ? 0 .

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为

? ? 4cos? .
(1)求出圆 C 的直角坐标方程; (2)已知圆 C 与 x 轴相交于 A , B 两点,直线 l : y ? 2 x 关于点 M ? 0, m?? m ? 0? 对称的直线为 l ' .若直线 l ' 上存在点 P 使得 ?APB ? 90 ,求实数 m 的最大值.
?

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 4 ? ax ? 2 ? a ? 0? . (1)求函数 f ? x ? 的定义域;

(2)若当 x ? ?0,1? 时,不等式 f ? x ? ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

合肥市 2017 年高三第二次教学质量检测

数学试题(文)参考答案
一、选择题
1-5:DADCC 6-10:BACDB 11、12:AB

二、填空题
13. y ? ? 2 x 14. 30 .8 15.

3 4

16. 1022

三、解答题
17.解: (1)? f ( x) ? sin ?x ? cos ?x ?

2 sin(?x ? ) ,且 T ? ? ,∴ ? ? 2 . 4 ? ? ? k? 3? ? (k ? Z ) , 于是 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ,令 2 x ? ? k? ? ,得 x ? 4 4 2 2 8 k? 3? ? (k ? Z ) . 即函数 f ( x) 的对称轴方程为 x ? 2 8
(2)令 2k? ? 注意到 x ? [0,

?

?

?

2

? 2x ?

?

4

? 2k? ?

?

2

,得函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

?

8

, k? ?

3? ]( k ? Z ) . 8

3? 3? ? ] ;同理,其单调减区间为 [ , ] . 2 8 8 2 105 7 ? . 18.(1)从高一年级学生中随机抽取 1 人,抽到男生的概率约为 180 12
得函数 f ( x) 在 [0,

2

] ,令 k ? 0 ,

?

] 上的单调增区间为 [0,

(2)根据统计数据,可得列联表如下: 选择自然科学类 男生 女生 合计
K ?
2

选择社会科学类
45

合计
105

60

30
90
2

45
90

75
180

180 ? ? 60 ? 45 ? 30 ? 45 ? 105 ? 75 ? 90 ? 90

?

36 ? 5.1429 ? 5.024 , 7

所以,在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为科类的选择与性别有关. 19.解: (1)在 ?CDE 中,∵ CD ? ED ? 7 , cos ?EDC ? 连接 AC ,∵ AE ? 2, ?AEC ? 60 ,? AC ? 2 .
?
2 2 2 又∵ AP ? 3 ,∴在 ?PAE 中, PA ? AE ? PE ,即 AP ? AE .

5 ,由余弦定理得 CE ? 2 . 7

同理, AP ? AC , AC, AE ? 平面 ABCE , AC ? AE ? A ,故 AP ? 平面 ABCE .

(2)∵ AB ∥ CE ,且 CE ? 平面 PCE , AB ? 平面 PCE , ∴ AB ∥平面 PCE ,又平面 PAB ? 平面 PCE ? l ,∴ AB ∥ l .
2 20.解: (1)由 x A ? 2 得 y A ? 4 ,故 2 pxA ? 4, p ? 1 .

于是,抛物线 E 的方程为 y 2 ? 2 x .
? y2 ? ? y2 ? ? y2 ? (Ⅱ)设 C ? 1 , y1 ? , D ? 2 , y2 ? ,切线 l1 : y ? y1 ? k ? x ? 1 ? , 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?

代入 y 2 ? 2 x 得 ky 2 ? 2 y ? 2 y1 ? ky12 ? 0 ,由 ? ? 0 解得 k ?
? l1 方程为 y ?
y y 1 1 x ? 1 ,同理 l2 方程为 y ? x? 2 , y1 2 y2 2

1 , y1

? ?y ? ? 联立 ? ?y ? ? ?

y 1 x? 1 y1 2

y ?y ? x? 1 2 ? ? 2 ,解得 ? , y y2 1 1 ? y2 ? y? x? ? ? 2 y2 2

2 2 ? 易得 CD 方程为 x0 x ? y0 y ? 8 ,其中 x0 , y0 满足 x0 ? y0 ? 8 , x0 ? ? ? 2, 2 2 ? ,

2y ? y1 ? y2 ? ? 0 ? x0 ? y ? 2x ? ? 联立方程 ? 得 x0 y 2 ? 2 y0 y ? 16 ? 0 ,则 ? , 16 ? ? x0 x ? y0 y ? 8 ?y ? y ? ? 1 2 ? x0 ?
2

8 ? ?x ? ? x y 8 ? 0 ∴ M ? x, y ? 满足 ? ,即点 M 为 (? ,? 0 ) . x0 x0 ? y ? ? y0 ? x0 ?

?8?
点 M 到直线 CD : x0 x ? y0 y ? 8 的距离 d ?

2 y0 ?8 x0

2 2 x0 ? y0

2 2 y0 8 ? x0 8 ? 16 ? 16 ? x0 ? 16 x0 x0 x0 ? ? ? 2 2 2 2 2 2

关于 x0 单调减,故当且仅当 x0 ? 2 时, d max ? 21.解: (1)? f ( x) ? ln x ? x ? m,? f ( x) ?

18 9 2 . ? 2 2 2

1 ? 1,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 , x

且 0 ? x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 . 故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1,??) .

所以,函数 f ? x ? 的极大值为 f (1) ? m ? 1 ,无极小值. (2)由 g ( x) ? f ( x ? m) 及(1)知 g ( x) 的单调递增区间为 (?m,1 ? m) ,单调递减区间为 (1 ? m,??) .
mx ? ? ?x ? m ? e 1 ?ln ? x1 ? m? ? mx1 由条件知 ? ,即 ? 1 , mx2 ln x ? m ? mx x ? m ? e ? ? ? ? 2 2 ? 2 ?

构造函数 h( x) ? e x ? x ,知 h( x) ? e x ? x 与 y ? m 图像两交点的横坐标为 x1 , x 2 ,

h?( x) ? e x ?1 ,由 h?( x) ? 0 得 x ? 0 ,易知函数 h( x) 的单调递减区间为 (?m,0) ,单调递减区间为 (0,??) .
欲证 x1 ? x2 ? 0 ,只需证 x2 ? ? x1 ,不妨设 x1 ? 0 ? x2 , 考虑到 h( x) 在 (0,??) 上递增,只需证 h( x2 ) ? h(? x1 ) , 由 h( x2 ) ? h( x1 ) 知,只需证 h( x1 ) ? h(? x1 ) , 令 r ( x) ? h( x) ? h(? x) ? e ? 2 x ? e ,
x ?x

则 r ?( x) ? e ? ( ) ln
x x

1 e

1 1 ? 2 ? ex ? x ? 2 ? 0 , e e

即 r ( x) 单调增,注意到 r (0) ? 0 , 结合 x1 ? 0 知 r ( x1 ) ? 0 ,即 h( x1 ) ? h(? x1 ) 成立, 即 x1 ? x2 ? 0 成立. 22.解: (1)由 ? ? 4cos? 得 ? 2 ? 4? cos? ,即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,即圆 C 的标准方程为 ? x ? 2? ? y2 ? 4 .
2

(2) l : y ? 2 x 关于点 M ? 0, m? 的对称直线 l ' 的方程为 y ? 2 x ? 2m ,而 AB 为圆 C 的直径,故直线 l ' 上存在 点 P 使得 ?APB ? 90? 的充要条件是直线 l ' 与圆 C 有公共点,故
4 ? 2m 5 ? 2 ,于是,实数 m 的最大值为

5?2.

23.解: (1) ax ? 2 ? 4 ? ?4 ? ax ? 2 ? 4 ? ?2 ? ax ? 6 ,
2 6? 2? ? ? 6 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的定义域为 ? x | ? ? x ? ? ;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的定义域为 ? x | ? x ? ? ? . a a? a? ? ? a

(2) f ? x ? ? 1 ? ax ? 2 ? 3 ,记 f ? x ? ? ax ? 2 ,因为 x ? ?0,1? ,所以需且只需

? ?2 ? 3, ?2 ? 3, ? g ? 0? ? 3, ? ? ?? ?? ? ?1 ? a ? 5 ,又 a ? 0 ,所以, ?1 ? a ? 5 ,且 a ? 0 . ? a ? 2 ? 3 a ? 2 ? 3 g 1 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?


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