黑龙江省牡丹江一中2014届高三12月月考数学理试卷


黑龙江省牡丹江一中 2014 届高三 12 月月考数学理试卷
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 12 小题 60 分) 1、设 0 ? a ? b ? 1,则下列不等式成立的是 1 1 A. a3 ? b3 B. ? C. ab ? 1 a b 2、已知数列 ?a n ? 为等比数列,且 a5 ? 4, a9 ? 64 ,则 a 7 = A. 8 B. ? 16 C. 16 ( )

D. lg(b ? a)? 0 ( D. ? 8 ) )

3、设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确 的是( ... A.当 m ? ? 时, “ n / /? ”是“ m / / n ”的必要不充分条件 B.当 m ? ? 时, “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 C.当 n ? ? 时, “ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 D.当 m ? ? 时, “ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 4、下列命题错误的是 A.若 a ? 0 , b ? 0 ,则 B.若
a?b ? ab 2





a?b ? ab ,则 a ? 0 , b ? 0 2 a?b ? ab ,则 a ? b 2

C.若 a ? 0 , b ? 0 ,且 D.若

a?b ? ab ,且 a ? b ,则 a ? 0 , b ? 0 2
*

5、知数列 {a n } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1(n ? N ) ,则 a12 ? A.2 -1
10

( D.2 -1
13



B.2 -1
2

11

C.2 -1

12

6、数列 {an } ,通项公式为 a n ? 2n ? an ,若此数列为递增数列,则 a 的取值范围是( A. a ? ?1 B. a ? ?

)

3 2

C. a ? ?1

D. a ? 0

7、正项等比数列 ?an ?中,存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,且 a6 ? a5 ? 2a4 ,则 最小值是( A. ) B.2 C.

1 4 ? 的 m n

3 2

7 3

D.

25 6
( D. )

8、已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 A.3 B.4 C.

9 2

11 2
( )

9、下列四个命题中,真命题的个数为 (1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M ? ? , M ? ? , ? ? ? ? l ,则 M ? l ; (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3

D.4



1第

?x ? 0 ? 10、已知 x,y 满足条件 ? y ? x (k 为常数) ,若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k=( ?2 x ? y ? k ? 0 ?
A. ?16 B.

)

?6

C.

?

8 3

D.

6

11、在半径为 R 的球内有一内接圆柱,设该圆柱底面半径为 r ,则圆柱侧面积最大时,

r 为( ) R

A.

1 4

B. .

1 2

C.

2 2
)

D.

3 2

12、如图,等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ,已知 ?A?ED 是△ ADE 绕 DE 旋转过程 中的一个图形,下列命题中,错误的是( A.动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.恒有平面 A?GF ⊥平面 BCDE C.三棱锥 A? ? EFD 的体积有最大值 D.异面直线 A?E 与 BD 不可能垂直 二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题 20 分) 13、不等式

x ?1 ? 0 的解集为________ 2x ?1

14、如右图,一个空间几何体的主视图、左视图是周长为 4 一个内角为 菱形, 俯视图是圆及其圆心, 那么这个几何体的表面积为________. 15、在等比数列 ?a n ?中,若 a7 ? a8 ? a9 ? a10 ?

60 0 的

15 , 8


主视图

左视图

1 1 1 1 9 ? ? ? a8 ? a9 ? ? ,则 ? a7 a8 a9 a10 8

16、已知空间 4 个球,它们的半径分别为 2, 2, 3, 3,每个球都与其他三 切,另有一个小球与这 4 个球都外切,则这个小球的半径为 三、解答题(6 小题共 10+10+12+12+12+14=70 分) 17、已知 a, b, c 为正数

俯视图

个球外

b c a ? ? ? 3; a b c a b c (2)求证: ? ? ?2 a?b b?c a?c
(1)求证:

1 ? ? ? x ? cos? 18、已知曲线 C1 : ? ( ? 为参数) ,曲线 C 2 : ? sin(? ? ) ? 2 ,将 C1 的横坐标伸长为原来 2 4 ? ? y ? 3 sin ?



2第

的 2 倍,纵坐标缩短为原来的

1 得到曲线 C 3 , 3

(1)求曲线 C 3 的普通方程,曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)若点 P 为曲线 C 3 上的任意一点,Q 为曲线 C 2 上的任意一点,求线段 PQ 的最小值,并求此时的 P 的坐标。 19、已知公差不为零的等差数列 ?a n ?,等比数列 ?bn ? ,满足 b1 ? a1 ? 1 ? 2 , b2 ? a 2 ? 1, b3 ? a 4 ? 1 ; (1)求数列 ?a n ?的通项公式 (2)若 c n ? a n ? bn ,求数列{ c n }的前 n 项和。

20 、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在

x?

5? 处取得最大值。 12

(1)当 x ? (0,

?

2

) 时,求函数 f ( x) 的值域;
13 3 ,求 ?ABC 的面积。 14

(2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ?

21、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC , ?ADC ? 900 ,平面 PAD ? 底面

ABCD , Q 为 AD 中点,M 是棱 PC 上的点, PD ? PA ? 2, BC ?
P

1 AD ? 1, CD ? 3 . 2

M D Q A C B

(1)若点 M 是棱 PC 的中点,求证: PA / / 平面 BMQ ; (2)求证:平面 PQB ? 底面 PAD ; (3)若二面角 M ? BQ ? C 为 300 ,设 PM ? tMC ,试确定 t 的值. 22、已知函数 f ( x) ?


1 ? ln x x
3第

(1)若函数 f ( x) 在区间 ? t , t ?

? ?

1? ? (其中 t ? 0 )上存在极值,求实数 t 的取值范围; 2?

(2) 如果 x ? 1时, 不等式 f ( x) ? ( n ? N )的大小。
*

a 2 n?2 恒成立, 求实数 a 的取值范围, 并判断代数式 ??n ? 1?!? 与 ?n ? 1?e x ?1

牡一中 2013 高三数学考试 12 月 13 日考试题答案
选择 答案 填空 答案 1 D 2 C 13
? 1 ? ? ? ,1? ? 2 ?

3 A

4 D

5 C 14

6 B

7 A

8 B 15
? 5 3

9 A

10 B

11 C 16
6 11

12 D

?

b c a ? ? ?1 a b c b c a b c a ? ? ? ?3 ? ? ?3 a b c a b c (2)? a, b, c 为正数 a a?c b a?b c b?c ? ? ; ? ; ? a?b a?b?c b?c a?b?c a?c a?b?c

17、 (1)?

?

a b c a?c a?b b?c ? ? ? ? ? ?2 a?b b?c a?c a?b?c a?b?c a?b?c
2 2

18、 (1)曲线 C 3 : x ? y ? 1 ,曲线 C 2 : x ? y ? 2 (2)设 P( cos? , sin ? ) ,则线段 PQ 的最小值为点 P 到直线 x ? y ? 2 的距离。

1?1 19、 (1) a n ? 2n ? 1
(2) c n ? (2n ? 1)2
n

? PQ m i n?

0?0?2

?1 ? 2 ?1

S n ? c1 ? c 2 ? c3 ? ?? ? c n 2S n ?

? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ?? ? ?2n ? 1? ? 2 n

? ? S n ? 2 ? 2 2 2 ? 2 3 ? ?? ? 2 n ? ?2n ? 1? ? 2 n ?1
n ?1 n ?1

? ? 8?1 ? 2 ? ? 2? ? ?2n ? 1? ? 2 1? 2
? ?6 ? ?2n ? 3?2 n ?1

1 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ?? ? ?2n ? 3? ? 2 n ? ?2n ? 1? ? 2 n ?1

? S n ? 6 ? ?2n ? 3?2 n ?1



4第

? sin 2 x cos A ? cos 2 x sin A ? sin(2 x ? A) 5 ? f ?x ? 在 x ? ? 处取得最大值 12 5 ? ? ? 2 ? ? ? A ? 2k? ? (k ? Z ) 即 A ? ? 2k? ( k ? Z ) 12 2 3

20、

f ( x) ? 2 cos x(sin x cos A ? cos x sin A)) ? sin A

(1) ? A ? ?0, ? ?? A ?

?

3

3 ? ?? ? ? 2 ? ? x ? ? 0, ? ? 2 x ? A ? ? ? , ? ? ? ? ? sin(2 x ? A) ? 1 2 ? 2? ? 3 3 ? ? 3 ? ? ? f ? x ? 的值域为 ? ? 2 ,1? ? ?
b?c 3 13 b?c ? ? 3 ,? b ? c ? 13 sin A ,即 7 2 14 a 2 2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得, a ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc cos A ?bc ? 40 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? 10 3 2
(2)由正弦定理的 sin B ? sin C ? 21、证明: (1)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ∵BC∥AD 且 BC=

1 AD,即 BC // AQ.∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 2

又∵点 M 是棱 PC 的中点,∴ MN // PA ∵ MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB, ∴ PA // 平面 MBQ. (2)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . 2
z P M D Q A x N B y C

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点∴ BC // DQ 且 BC= DQ, 2

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅲ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. (不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ;

?

Q(0,0,0) , P (0, 0, 3) , B (0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) .
设 M ( x, y, z ) , 则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z ) ,∵ PM ? tMC ,
页 5第

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? x ? ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ?
???? ?



在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0, t ) . ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, ∴ t ? 3. 22、解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

??? ?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

??

? ?? n?m t 3 , cos30 ? ? ?? ? ? 2 2 n m 3? 0?t
?

1 ? ln x ln x , x ? 0 ,则 f ?( x) ? ? 2 , x x

当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增;在 (1, ? ?) 上单调递减, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值.
1? ? 因为函数 f ( x) 在区间 ? t , t ? ? (其中t ? 0) 上存在极值, 2? ? ?t ? 1, 1 ? 所以 ? 1 解得 ? t ? 1. 2 t ? ? 1, ? ? 2

a ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , , 即为 ≥a, 记 g ( x) ? x ?1 x x [( x ? 1)(1 ? ln x)]? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x 所以 g ?( x) ? . ? x2 x2

(Ⅱ)不等式 f ( x)≥

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x) ? 1 ?

1 , x

∵x≥ 1 ,∴h?( x)≥0 ,
∴h( x) 在 [1, ? ?) 上单调递增,
∴ [h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 ,

故 g ( x) 在 [1, ? ?) 上也单调递增,所以 [ g ( x)] min ? g (1) ? 2,
页 6第

所以 a≤2 .
2 x ?1 2 2 恒成立,即 ln x≥ ?1? ?1? , x ?1 x ?1 x ?1 x 2 令 x ? n(n ? 1) ,则 ln[n(n ? 1)] ? 1 ? , n(n ? 1)

由上述知 f ( x)≥

∴ ln(1? 2) ? 1 ?

2 2 2 , ln(2 ? 3) ? 1 ? , ln(3 ? 4) ? 1 ? ,?, 1? 2 2?3 3? 4 2 , ln[n(n ? 1)] ? 1 ? n(n ? 1)

? 1 1 1 ? 叠加得 ln[1 ? 22 ? 32 ? ? ? ?? n2 (n ? 1)] ? n ? 2 ? ? ? ??? ? n(n ? 1) ? ?1 ? 2 2 ? 3 ?

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ??n?2 . ? n ?1?

则 1? 22 ? 32 ? ???? n2 (n ? 1) ? en ?2 , 所以 [(n ? 1) ! ]2 ? (n ? 1) ? en ?2 (n ? N? ) .



7第


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