重庆市南开中学2015届高三上学期9月月考数学试卷(文科)


重庆市南开中学 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 M={1,2,3},N={x|log2x>1) ,则 M∩N=() A.{3} B.{2,3} C.{1,3} D.{1,2,3}

2. (5 分)已知等比数列{an}满足:a3?a7= A. B.

,则 cosa5=() C. ± D.±

3. (5 分)已知 sin( A.

+a)= ,则 cos2a 的值为() B. C.
2

D.

4. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:?x∈R,x >0,则() A.命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧q 是真命题 C. 命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 5. (5 分)若 x>0,y>0 且 2 = A.3 B. 2
2 x

,则 C. 2

的最小值为() D.3+2

6. (5 分)函数 f(x)=4lnx﹣x 的大致图象是()

A.

B.

C.
x

D.

7. (5 分)若 f(x)是奇函数,且 x0 是函数 y=f(x)﹣e 的一个零点,则﹣x0 一定是下列哪 个函数的零点() A.y=f(﹣x)e ﹣1 B.y=f(x)e +1
x
﹣x

C.y=f(x)e +1

x

D.y=f(x)e ﹣1

x

8. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 b﹣c= a,2sinB=3sinC, 则 cosA=() A. B. C. D.

9. (5 分)已知 P(x,y)为区域 ﹣y 的 最大值是() A.6

内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=2x

B. 0

C. 2

D.2

10. (5 分) 在△ ABC 中, E, F 分别在边 AB, AC 上, D 为 BC 的中点, 满足

=

=

=2,

? A.0

=0,则 cos A=() B. C. D.

二.填空题:本大题共 5 小题,每小 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上. 11. (5 分)已知 =b﹣2i(a,b∈R) ,其中 i 为虚数单位,则 a+b=.

12. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=8﹣a6,则 S9=.

13. (5 分)已知 为单位向量, =(3,4) ,| ﹣2 |=3,则 ? =. 14. (5 分)设 m,n,p∈R,且 m+n=2﹣p,m +n =12﹣p ,则 p 的最大值和最小值的差为.
2 2 2

15. (5 分)函数 f(x)=

,若 a,b,c,d 是互不相等的实数,

且 f(a)=f(b)=f(c)=f(d) ,则 a+b+c+d 的取值范围为.

三.解答题:本大题 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (13 分)等差数列{an}足:a2+a4=6,a6=S3,其中 Sn 为数列{an}前 n 项和. (Ⅰ)求数列{an}通项公式; (Ⅱ)若 k∈N*,且 ak,a3k,S2k 成等比数列,求 k 值. 17. (13 分)某中学 2014-2015 学年高二年级的甲、乙两个班中,需根据某次数学预赛成绩选 出某班的 5 名学生参加数学竞赛决赛,已知这次预赛他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶 图如图所示,其中甲班 5 名学生成绩的平均分是 83,乙班 5 名学生成绩的中位数是 86.

(Ⅰ)求出 x,y 的值,且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 S1 、S2 ,并根据结果, 你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛? (Ⅱ)从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名.求至少有 1 名来自甲班的概率.

2

2

18. (13 分)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间和极值. 19. (12 分)设函数 f(x)=sin(ωx﹣ )?cosωx+cos ωx﹣ (ω>0)图象上的一个最高点 .
2

为 A,其相邻的一个最低点为 B,且|AB|= (Ⅰ)求 ω 的值;

(Ⅱ)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 b+c=2,A=

,求 f(a)的值域.

20. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N*) . (Ⅰ)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{an}满足 bn=an?log2(an+1) (n∈N*) ,其前 n 项和为 Tn,试求满足 Tn+ 的最小正整数 n. 21. (12 分)对于函数 y=f(x)与常数 a,b,若 f(2x)=af(x)+b 恒成立,则称(a,b)为 函数 f(x)的一个“P 数对”;设函数 f(x)的定义域为 R ,且 f(1)=3. (Ⅰ)若(a,b)是 f(x)的一个“P 数对”,且 f(2)=6,f(4)=9,求常数 a,b 的值; n * (Ⅱ)若(1,1)是 f(x)的一个“P 数对”,求 f(2 ) (n∈N ) ; (Ⅲ)若(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,且当 x∈[1,2)时 f(x)=k﹣|2x﹣3|,求 k 的 n * 值及 f(x)在区间[1,2 ) (n∈N )上的最大值与最小值.
+

>2015

重庆市南开中学 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 M={1,2,3},N={x|log2x>1) ,则 M∩N=()

A.{3}

B.{2,3}

C.{1,3}

D.{1,2,3}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 N 中不等式的解集确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:由 N 中不等式变形得:log2x>1=log22,即 x>2, ∴N={x|x>2}, ∵M={1,2,3}, ∴M∩N={3}. 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)已知等比数列{an}满足:a3?a7= A. B.

,则 cosa5=() C. ± D.±

考点: 等比数列的通项公式;三角函数的化简求值. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接利用等比数列的性质结合已知求得 解答: 解:在等比数列{an}中, 由 a3?a7= ∴cosa5= ,得 . ,∴ . .则答案可求.

故选:C. 点评: 本题考查了等比数列的性质,考查了三角函数的值,是基础题.

3. (5 分)已知 sin( A.

+a)= ,则 cos2a 的值为() B. C. D.

考点: 二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式知 sin( 1= ﹣1=﹣ . 解答: 解:sin(
2

+a)=cosα= ,根据二倍角的余弦公式从而有 cos2α=2cos α﹣

2

+a)=cosα= ,

cos2α=2cos α﹣1= ﹣1=﹣ .

故选:D. 点评: 本题主要考察二倍角的余弦公式和诱导公式的综合运用,属于中档题. 4. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:?x∈R,x >0,则() A.命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧q 是真命题 C. 命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 考点: 专题: 分析: 解答: 全称命题;复合命题的真假. 常规题型. 先判断出命题 p 与 q 的真假,再由复合命题真假性的判断法则,即可得到正确结论. 解:由于 x=10 时,x﹣2=8,lgx=lg10=1,故命题 p 为真命题,
2 2

令 x=0,则 x =0,故命题 q 为假命题, 依据复合命题真假性的判断法则, 得到命题 p∨q 是真命题,命题 p∧q 是假命题,¬q 是真命题, 进而得到命题 p∧(¬q)是真命题,命题 p∨(¬q)是真命题. 故答案为 C. 点评: 本题考查复合命题的真假,属于基础题.
x

5. (5 分)若 x>0,y>0 且 2 = A.3 B. 2

,则 C. 2

的最小值为() D.3+2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: x>0,y>0 且 2 = 的性质即可得出. 解答: 解:∵x>0,y>0 且 2 = = (x+2y) =3+ +
x x

,2 =2

x

1﹣2y

,x+2y=1.再利用“乘 1 法”和基本不等式

,∴2 =2 =3+2

x

1﹣2y

,可得 x=1﹣2y,即 x+2y=1. y= ﹣1 取等号.

, 当且仅当 x=

故选:D. 点评: 本题考查了指数函数的单调性、“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题. 6. (5 分)函数 f(x)=4lnx﹣x 的大致图象是()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 先求导,从而可求得函数 f(x)=4lnx﹣x 的单调区间与极值,问题即可解决.

解答: 解:∵f(x)=4lnx﹣x ,其定义域为(0,+∞) ∴f′(x)= ﹣2x= 由 f′(x)>0 得,0<x< ;f′(x)<0 得,x> ; 2 ∴f(x)=4lnx﹣x ,在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减; ∴x= 时,f(x)取到极大值.又 f( )=2(ln2﹣1)<0, 2 ∴函数 f(x)=4lnx﹣x 的图象在 x 轴下方,可排除 A,C,D. 故选:B. 点评: 本题考查函数的图象,是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用,注重考查学 生分析转化解决问题的能力,属于基础题. 7. (5 分)若 f(x)是奇函数,且 x0 是函数 y=f(x)﹣e 的一个零点,则﹣x0 一定是下列哪 个函数的零点() A.y=f(﹣x)e ﹣1 B.y=f(x)e +1
x
﹣x

2

x

C.y=f(x)e +1

x

D.y=f(x)e ﹣1

x

考点: 函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x 分析: 根据 f(x)是奇函数可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,因为 x0 是 y=f(x)﹣e 的一个零点, 代入得到一个等式,利用这个等式对 A、B、C、D 四个选项进行一一判断. 解答: 解:f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) 且 x0 是 y=f(x)﹣e 的一个零点,∴f(x0)﹣ 面四个选项, A、y=f(x0) B、y=f(x0) C、y=e D、y=
﹣x0

x

=0,∴f(x0)=

,把﹣x0 分别代入下

﹣1=﹣ +1=(
2

﹣1=0,故 A 正确; ) +1≠0,故 B 错误;

f(﹣x0)+1=﹣e

﹣x0

f(x0)+1=﹣e

﹣x0

+1=﹣1+1=0,故 C 正确;

f(﹣x0)﹣1=﹣1﹣1=﹣2,故 D 错误;

故选:A. 点评: 此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质,此题是一道中档题,需要一一验 证. 8. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 b﹣c= a,2sinB=3sinC, 则 cosA=() A. B. C. D.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形.

分析: 由条件利用正弦定理求得 a=2c, b= c. 再由余弦定理可得 cosA=

的值.

解答: 解:在△ ABC 中,∵b﹣c= a,2sinB=3sinC,利用正弦定理可得 2b=3c,求得 a=2c, b= c.

再由余弦定理可得 cosA=

=

=﹣ ,

故选:A. 点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于基础题.

9. (5 分)已知 P(x,y)为区域 ﹣y 的 最大值是() A.6

内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=2x

B. 0

C. 2

D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域, 求出使可行域面积为 4 的 a 值, 化目标函数为直线方程的斜 截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 解答: 解:由 作出可行域如图,

由图可得 A(a,﹣a) ,B(a,a) , 由 ,得 a=2.

∴A(2,﹣2) , 化目标函数 z=2x﹣y 为 y=2x﹣z, ∴当 y=2x﹣z 过 A 点时,z 最大,等于 2×2﹣(﹣2)=6.

故选:A. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

10. (5 分) 在△ ABC 中, E, F 分别在边 AB, AC 上, D 为 BC 的中点, 满足

=

=

=2,

? A.0

=0,则 cos A=() B. C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据共线向量基本定理及已知的边的关系即可用向量 , ,根据 ,及 表示 :

即可求出 cosA.

解答: 解:如图,根据已知条件得: = = ;

= ; ∴ 把 带入上式并整理得:cosA= . =

=

=0;

故选:D. 点评: 考查共线向量基本定理,向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数量积的运算 及运算公式. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上. 11. (5 分)已知 =b﹣2i(a,b∈R) ,其中 i 为虚数单位,则 a+b=5.

考点: 复数相等的充要条件. 专题: 计算题;数系的扩充和复数.

分析: 先化简等式左边,再由复数相等的条件建立方程求出 a,b 的值,即可得出. 解答: 解: =b﹣2i,

∴a=2,b=3, ∴a+b=2+3=5. 故答案为 5. 点评: 复数相等即实部与实部相等,虚部与虚部相等,由此关系建立方程求参数的值是复 数题中求参数常用的理论依据. 12. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=8﹣a6,则 S9=36. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知求得 a5,代入 S9=9a5 得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中, 由 a4=8﹣a6,得 a4+a6=8, 即 2a5=8,a5=4. 则 S9=9a5=9×4=36. 故答案为:36. 点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和,项数为奇数的等差数列的前 n 项和等于中间项乘 以项数,是基础题.

13. (5 分)已知 为单位向量, =(3,4) ,| ﹣2 |=3,则 ? =23. 考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的平方等于其模的平方,将| ﹣2 |=3 平方,得到 ? 的等式解之. 解答: 解:∵ 为单位向量, =(3,4) , ∴| |=1,| |=5, ∴| ﹣2 | = ∴ ? =
2 2

+4

2

﹣4 ? =9,

=23;

故答案为:23. 点评: 本题考查了向量的模的平方等于向量的平方以及向量的数量积的求法. 14. (5 分)设 m,n,p∈R,且 m+n=2﹣p,m +n =12﹣p ,则 p 的最大值和最小值的差为
2 2 2



考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据条件求出 mn 的值,构造一元二次方程,利用判别式与方程根的对应关系即可得 到结论. 2 2 2 解答: 解:∵m+n=2﹣p,m +n =12﹣p , 2 2 2 2 2 2 ∴(m+n) ﹣(m +n )=4﹣4p+p ﹣12+p =2p ﹣4p﹣8, 2 ∴mn=p ﹣2p﹣4, 2 2 ∴m、n 是方程 x ﹣(2﹣p)x+p ﹣2p﹣4=0 的两根, ∵m,n∈R, 2 2 2 2 2 ∴△=(2﹣p) ﹣4(+p ﹣2p﹣4)=4﹣4p+p ﹣4p +8p+16=﹣3p +4p+20≥0, 2 即 3p ﹣4p﹣20≤0. ∴﹣2≤p≤ , ﹣(﹣2)= ,

∴p 的最大值和最小值差为 故答案为:

点评: 本题主要考查一元二次方程与判别式△ 之间的关系,根据条件构造一元二次方程是 解决本题的关键.综合性较强,难度较大.

15. (5 分)函数 f(x)=

,若 a,b,c,d 是互不相等的实数,

且 f(a)=f(b)=f(c)=f(d) ,则 a+b+c+d 的取值范围为(4,2017) . 考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;数形结合;函数的性质及应用. 分析: 作出函数 f(x)的图象,令直线 y=t 与 f(x)的图象交于四个点,其横坐标由左到 右依次为 a,b,c,d,则由图象可得,b+c=2,log2015(d﹣1)=( ) ﹣1=t,由于 0<t<1, 即可求得 a,d 的范围,从而得到 a+b+c+d 的范围. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象,令直线 y=t 与 f(x)的图象交于四个点, 其横坐标由左到右依次为 a,b,c,d 则由图象可得,b+c=2, log2015(d﹣1)=( ) ﹣1=t, 由于 0<t<1,则得到﹣1<a<0, 2<d<2016,则 2<a+d<2015, 即有 4<a+b+c+d<2017, 故答案为: (4,2017) .
a a

点评: 本题考查分段函数及运用,考查数形结合的思想方法和运用,注意通过图象观察, 考查运算能力,属于中档题. 三.解答题:本大题 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (13 分)等差数列{an}足:a2+a4=6,a6=S3,其中 Sn 为数列{an}前 n 项和. (Ⅰ)求数列{an}通项公式; (Ⅱ)若 k∈N*,且 ak,a3k,S2k 成等比数列,求 k 值. 考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设出等差数列的首项和公差,由已知列方程组求得首项和公差,则数列{an} 通项公式可求; (Ⅱ)求出 S2k,结合 ak,a3k,S2k 成等比数列列式求 k 值. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 a2+a4=6,a6=S3,得 ,解得 ∴an=1+1×(n﹣1)=n; (Ⅱ) , .

由 ak,a3k,S2k 成等比数列,得 2 2 9k =k(2k +k) ,解得 k=4. 点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,是基础 的计算题. 17. (13 分)某中学 2014-2015 学年高二年级的甲、乙两个班中,需根据某次数学预赛成绩选 出某班的 5 名学生参加数学竞赛决赛,已知这次预赛他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶 图如图所示,其中甲班 5 名学生成绩的平均分是 83,乙班 5 名学生成绩的中位数是 86. (Ⅰ)求出 x,y 的值,且分别求甲、乙两个班中 5 名学生成绩的方差 S1 、S2 ,并根据结果, 你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛? (Ⅱ)从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽取 2 名.求至少有 1 名来自甲班的概率.
2 2

考点: 古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意知求出 x=5,y=6.从而求出乙班学生的平均数为 83,分别求出 S1 和 2 S2 ,根据甲、乙两班的平均数相等,甲班的方差小,得到应该选派甲班的学生参加决赛. (Ⅱ)成绩在 85 分及以上的学生一共有 5 名,其中甲班有 2 名,乙班有 3 名,由此能求出随 机抽取 2 名,至少有 1 名来自甲班的概率. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知 解得 x=5,y=6. 乙班学生的平均数 =
2 2 2 2 2



=83,
2 2

S1 = [(74﹣83) +(82﹣83) +(84﹣83) +(85﹣83) +(90﹣83) ]=35.2, S2 = [(73﹣83) +(75﹣83) +(86﹣83) +(90﹣83) +(91﹣83) ]=73.2, ∵甲、乙两班的平均数相等,甲班的方差小, ∴应该选派甲班的学生参加决赛. (Ⅱ)成绩在 85 分及以上的学生一共有 5 名,其中甲班有 2 名,乙班有 3 名, 随机抽取 2 名,至少有 1 名来自甲班的概率: P=1﹣ =0.7.
2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查茎叶图的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要注意等可能事件概 率计算公式的合理运用. 18. (13 分)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间和极值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)把 a=2 代入原函数解析式中,求出函数在 x=1 时的导数值,直接利用直线方程 的点斜式写直线方程; (2)求出函数的导函数,由导函数可知,当 a≤0 时,f′(x)>0,函数在定义域(0,+∝) 上单调递增,函数无极值,当 a>0 时,求出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段, 利用原函数的单调性得到函数的极值. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=1﹣ . (1)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx,f′(x)=1﹣ (x>0) , 因而 f(1)=1,f′(1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣1=﹣(x﹣1) , 即 x+y﹣2=0

(2)由 f′(x)=1﹣ =

,x>0 知:

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a﹣alna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a﹣alna,无极大值. 点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的极 值,考查了分类讨论得数学思想,属中档题.
2

19. (12 分)设函数 f(x)=sin(ωx﹣

)?cosωx+cos ωx﹣ (ω>0)图象上的一个最高点 .

为 A,其相邻的一个最低点为 B,且|AB|= (Ⅰ)求 ω 的值;

(Ⅱ)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 b+c=2,A=

,求 f(a)的值域.

考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)先对函数 f(x)进行化简,然后研究最高点与相邻最低点的坐标关系,根据 条件,得出参数 ω 的值; (Ⅱ)利用余弦定理,得到边 a 的取值范围,再结合正弦函数的图象, 研究 f(a)的值域. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=sin(ωx﹣ =(sinωxcos = = ﹣cosωxsin
2

)?cosωx+cos ωx﹣
2

2

)?cosωx+cos ωx﹣

sinωxcosωx+ cos ωx﹣ sin2ωx+ cos2ωx ) . , , . , , .

= sin(2ωx+

∴y=f(x)的周期为 ∴

∵|AB|= ∴ ∴

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f(x)= sin(πx+ ∴f(a)= sin(πx+ ) , ) . ,

∵△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= ∴a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc. ∵b+c=2, ∴ ∴1≤a<2. ∴ ≤πa+ < . )< . )< .
2 2 2 2 2 2

∴﹣1≤sin(πa+ ∴﹣ ≤ sin(πa+

∴f(a)的值域为[﹣ , ) . 点评: 本题考查了两角和与差的三角函数公式、两点间距离公式、三角函数的图象、周期、 值域,本题容量适中,运算量大,属于中档题. 20. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N*) . (Ⅰ)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{an}满足 bn=an?log2(an+1) (n∈N*) ,其前 n 项和为 Tn,试求满足 Tn+ 的最小正整数 n. 考点: 数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得 an=2an﹣1+1,从而 an+1=2(an﹣1+1) (n≥2,n∈N ) ,由此能证明数列 n {an+1}为等比数列,从而 an=2 ﹣1. n n (Ⅱ)因为 bn=an?log2(an+1)=(2 ﹣1)n=n?2 ﹣n,由此利用错位相减法能求出 Tn=(n﹣1) ?2
n+1 *

>2015

+2﹣

.由 Tn+

>2015,得(n﹣1)?2

n+1

>2013,由此能求出满足不等式

Tn+

>2015 的最小正整数 n 的值.
*

解答: (Ⅰ)证明:因为 Sn+n=2an,所以 Sn﹣1=2an﹣1﹣(n﹣1) (n≥2,n∈N ) . 两式相减,得 an=2an﹣1+1. * 所以 an+1=2(an﹣1+1) (n≥2,n∈N ) , 所以数列{an+1}为等比数列. 因为 Sn+n=2an,令 n=1 得 a1=1.a1+1=2, n n 所以 an+1=2 ,所以 an=2 ﹣1.

(Ⅱ)解:因为 bn=an?log2(an+1)=(2 ﹣1)n=n?2 ﹣n, 2 3 n 所以 Tn=1?2+2?2 +3?2 +…+n?2 ﹣(1+2+3+…+n) ,① 2 3 4 n+1 2Tn=2 +2?2 +3?2 +…+n?2 ﹣2(1+2+3+…+n) ,② 2 4 n n+1 ①﹣②,得﹣Tn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 +(1+2+3+…+n) =
n+1

n

n

﹣n?2
n+1

n+1

+

=2

﹣2﹣n?2

+
n+1

, +2﹣ .

∴Tn=(n﹣1)?2 ∵Tn+

>2015,
n+1

∴(n﹣1)?2 >2013, n+1 n=7 时, (n﹣1)?2 =6×256=1536, n+1 n=8 时, (n﹣1)?2 =7×512=3584, ∴满足不等式 Tn+ >2015 的最小正整数 n 的值是 7.

点评: 本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法,考查满足不等式的最小正整数 的求法,是中档题,解题时要注意错位相减法的合理运用. 21. (12 分)对于函数 y=f(x)与常数 a,b,若 f(2x)=af(x)+b 恒成立,则称(a,b)为 函数 f(x)的一个“P 数对”;设函数 f(x)的定义域为 R ,且 f(1)=3. (Ⅰ)若(a,b)是 f(x)的一个“P 数对”,且 f(2)=6,f(4)=9,求常数 a,b 的值; (Ⅱ)若(1,1)是 f(x)的一个“P 数对”,求 f(2 ) (n∈N ) ; (Ⅲ)若(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,且当 x∈[1,2)时 f(x)=k﹣|2x﹣3|,求 k 的 n * 值及 f(x)在区间[1,2 ) (n∈N )上的最大值与最小值. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用 f(2)=6,f(4)=9,建立方程组,即可求常数 a,b 的值; k k+1 (Ⅱ)由已知,f(2x)=f(x)+1 恒成立,整理 f(2x)﹣f(x)=1,令 x=2 ,则 f(2 )﹣ k k f(2 )=1,{f(2 )}是等差数列,利用通项公式求解 (Ⅲ)令 x=1,则 f(1)=k﹣1=3,解得 k=4,当 x∈[1,2)时 f(x)=4﹣|2x﹣3|,得出 f(x) n 在[1,2)上的取值范围是[3,4].利用由已知,f(2x)=﹣2f(x)恒成立⊕,将[1,2 )分解 k﹣1 k k﹣1 k 成[2 ,2 ) , (k∈N*)的并集,通过⊕式求出 f(x)在各段[2 ,2 )上的取值范围,各段 上最大值、最小值即为所求的最大值,最小值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知 ,即 ,
n * +

解得:

;…3 分
k

(Ⅱ)由题意知 f(2x)=f(x)+1 恒成立,令 x=2 (k∈N*) , k+1 k k 可得 f(2 )=f(2 )+1,∴{f(2 )}是公差为 1 的等差数列,

故 f(2 )=f+n,又 f=3,故 f(2 )=n+3. …8 分 (Ⅲ)当 x∈[1,2)时,f(x)=k﹣|2x﹣3|, 令 x=1,可得 f(1)=k﹣1=3,解得 k=4,…10 分 所以,x∈[1,2)时,f(x)=4﹣|2x﹣3|,故 f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4]. 又(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,故 f(2x)=﹣2f(x)恒成立, 当 x∈[2
k﹣1

n

n

,2 ) (k∈N*)时, =…=
k﹣1 k

k

, ,…9 分
k﹣1 k+1

故 k 为奇数时,f(x)在[2 ,2 )上的取值范围是[3×2 ,2 ]; k﹣1 k k+1 k﹣1 当 k 为偶数时,f(x)在[2 ,2 )上的取值范围是[﹣2 ,﹣3×2 ]. …11 分 n 所以当 n=1 时,f(x)在[1,2 )上的最大值为 4,最小值为 3; n n+1 n 当 n 为不小于 3 的奇数时,f(x)在[1,2 )上的最大值为 2 ,最小值为﹣2 ; n n n+1 当 n 为不小于 2 的偶数时,f(x)在[1,2 )上的最大值为 2 ,最小值为﹣2 .…13 分. 点评: 本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力.考查转化计算,分类讨论、构造 能力及推理论证能力,思维量大,属于难题.


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